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三、解答题(共66分)
19. (6分)解下列方程:
(1) $3x^2 - 8x = 3$;
(2) $(2x - 1)^2 = 3(1 - 2x)$.
19. (6分)解下列方程:
(1) $3x^2 - 8x = 3$;
(2) $(2x - 1)^2 = 3(1 - 2x)$.
答案
解:(1) $3x^{2}-8x = 3，$
移项得$3x^{2}-8x - 3 = 0，$
因式分解得$(3x + 1)(x - 3)=0，$
则$3x+1 = 0$或$x - 3 = 0，$
解得$x_{1}=3，$$x_{2}=-\frac{1}{3}。$ ; 解:(2) $(2x - 1)^{2}=3(1 - 2x)，$
移项得$(2x - 1)^{2}+3(2x - 1)=0，$
提取公因式$(2x - 1)$
得$(2x - 1)(2x - 1 + 3)=0，$
即$(2x - 1)(2x + 2)=0，$
则$2x - 1 = 0$或$2x + 2 = 0，$
解得$x_{1}=\frac{1}{2}，$$x_{2}=-1。$
移项得$3x^{2}-8x - 3 = 0，$
因式分解得$(3x + 1)(x - 3)=0，$
则$3x+1 = 0$或$x - 3 = 0，$
解得$x_{1}=3，$$x_{2}=-\frac{1}{3}。$ ; 解:(2) $(2x - 1)^{2}=3(1 - 2x)，$
移项得$(2x - 1)^{2}+3(2x - 1)=0，$
提取公因式$(2x - 1)$
得$(2x - 1)(2x - 1 + 3)=0，$
即$(2x - 1)(2x + 2)=0，$
则$2x - 1 = 0$或$2x + 2 = 0，$
解得$x_{1}=\frac{1}{2}，$$x_{2}=-1。$
20. (6 分)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (k+3)x + 2k + 2 = 0 $。
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ x_1 + x_2 + 2x_1x_2 = 17 $，求 $ k $ 的值。
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ x_1 + x_2 + 2x_1x_2 = 17 $，求 $ k $ 的值。
答案
证明$： (1) b^2-4ac=[-(k + 3)]^2-4(2k + 2)$$=k^2+6k + 9-8k - 8$$=k^2-2k + 1$$=(k - 1)^2。$∵$(k - 1)^2\geq 0，$∴$b^2-4ac\geq 0，$∴方程总有两个实数根。$ (2) $∵方程$x^2-(k + 3)x+2k + 2 = 0$的两根分别为$x_{1}、$$x_{2}，$∴$x_{1}+x_{2}=k + 3，$$x_{1}x_{2}=2k + 2。$∵$x_{1}+x_{2}+2x_{1}x_{2}=17，$∴$k + 3+2(2k + 2)=17，$解得$k = 2。$
21.(6分)(2023·十堰中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC$,点$O$在$AB$上,以$O$为圆心,$OA$为半径的半圆分别交$AC$、$BC$、$AB$于点$D$、$E$、$F$,且点$E$是$\overset{\frown}{DF}$的中点.
(1)求证:$BC$是$\odot O$的切线;
(2)若$CE=\sqrt{2}$,求图中阴影部分的面积(结果保留$π$).
(1)求证:$BC$是$\odot O$的切线;
(2)若$CE=\sqrt{2}$,求图中阴影部分的面积(结果保留$π$).
答案
证明$：(1) $连接$OE、$$OD，$∵$∠C = 90°，$$AC = BC，$∴$∠OAD=∠B = 45°。$∵$OA = OD，$∴$∠OAD=∠ADO = 45°，$∴$∠AOD = 90°。$ ∵点$E$是$\overset {\frown }{DF}$的中点，∴$∠DOE=∠EOF=\frac {1}{2}∠DOF = 45°，$∴$∠OEB = 180°-∠EOF-∠B = 90°，$∴$OE\perp BC。$∵$OE$为$\odot O$的半径，∴$BC$是$\odot O$的切线。$ (2) $∵$OE\perp BC，$$∠B = 45°，$∴$\triangle OEB$为等腰直角三角形。设$BE = OE = x，$则$OB=\sqrt {2}x，$∴$AB=x+\sqrt {2}x。$∵$AB=\sqrt {2}BC，$∴$x+\sqrt {2}x=\sqrt {2}(\sqrt {2}+x)，$解得$x = 2，$∴$S_{阴影}=S_{\triangle OEB}-S_{扇形OEF}$$=\frac {1}{2}×2×2-\frac {45\pi ×2^2}{360}$$=2-\frac {\pi }{2}。$
22. (8分)(2024·扬州模拟)深圳市某商场销售某女款上衣,刚上市时每件可盈利100元,销售一段时间后开始滞销,经过连续两次降价后,每件盈利为81元,平均每天可售出20件.
(1)求平均每次降价盈利减少的百分率.
(2)为扩大销售量,尽快减少库存,在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施,经调查发现,该女款上衣的单价每降价1元,每天可多售出2件.若商场每天要盈利2 940元,每件应降价多少元?
23. (10分)(2024·日照中考)为进一步推动阳光体育运动,提高学生身体素质,今年5月学校举行健美操比赛,最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛.团体决赛需要分别进行五个单项比赛,计分规则如下表:
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析,并绘制统计图表,部分信息如下:
a.甲、乙两班五个单项得分折线图:
b.丙班五个单项得分表:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)已知丙班第二个单项比赛中,五名裁判的打分分别为80,84,86,83,82,求丙班第二个单项的得分m;
(2)若团体最终成绩相同,则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前,那么获得团体比赛冠军的________班;(填“甲”“乙”或“丙”)
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励,现有A、B、C三种图书可供选择,请用列表或画树状图的方法,求两个班级都选择同一种图书的概率.
(1)求平均每次降价盈利减少的百分率.
(2)为扩大销售量,尽快减少库存,在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施,经调查发现,该女款上衣的单价每降价1元,每天可多售出2件.若商场每天要盈利2 940元,每件应降价多少元?
23. (10分)(2024·日照中考)为进一步推动阳光体育运动,提高学生身体素质,今年5月学校举行健美操比赛,最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛.团体决赛需要分别进行五个单项比赛,计分规则如下表:
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析,并绘制统计图表,部分信息如下:
a.甲、乙两班五个单项得分折线图:
b.丙班五个单项得分表:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)已知丙班第二个单项比赛中,五名裁判的打分分别为80,84,86,83,82,求丙班第二个单项的得分m;
(2)若团体最终成绩相同,则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前,那么获得团体比赛冠军的________班;(填“甲”“乙”或“丙”)
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励,现有A、B、C三种图书可供选择,请用列表或画树状图的方法,求两个班级都选择同一种图书的概率.
答案
解:(1) 设平均每次降价盈利减少的百分率为$a。$
根据题意，得$100(1 - a)^{2}=81，$
解得$a = 1.9$（舍去）或$a = 0.1 = 10\%。$ 答：平均每次降价盈利减少的百分率为$10\%。$ (2) 设每件应降价$x$元。根据题意，得$(81 - x)(20 + 2x)=2940，$
解得$x_{1}=60，$$x_{2}=11。$
$∵$尽快减少库存，
$∴x = 60。$ 答：若商场每天要盈利$2940$元，每件应降价$60$元。 ; 乙
; 解$：(1)$由题意得去掉一个最高分$86$分，去掉一个最低分$80$分，则m= $\frac {84+83+82}{3}$=83(分).$ (3) $列表如下：
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有$9$种，两个班级选择同一种图书的情况有$3$种，∴$P($选择同一种图书$)=\frac {3}{9}=\frac {1}{3}。$
