26. (12分)解题与遐想.
如图,$Rt△ ABC$的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$,$AD=4$,$BD=5$.求$Rt△ ABC$的面积.

王小明:这道题算出来面积刚好是20,太凑巧了吧.刚好是$4×5=20$,有种白算的感觉……我把4和5换成$m$、$n$再算一遍,$△ ABC$的面积总是$m· n!$确实非常神奇了……
数学刘老师:大家想一想,既然结果如此简单极致,不计算能不能得到呢? 比如,拼图?
霍佳:刘老师,我在想另一个东西,这个图能不能用尺规画出来啊,感觉图都定了,我怎么想不出来呢?
【计算验证】
(1)通过计算求出$Rt△ ABC$的面积.
【拼图演绎】
(2)将$Rt△ ABC$分割放入矩形中(左图),通过拼图能直接“看”出“20”,请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置,做必要标注并简要说明.

【尺规作图】
(3)尺规作图:如图,点$D$在线段$AB$上,以$AB$为斜边求作一个$Rt△ ABC$,使它的内切圆与斜边$AB$相切于点$D$. (保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

解​$： (1) $​如图​$①，$​设​$\odot O$​的半径为​$r，$​连接​$OE、$​​$OF。$
​ ∵​$\odot O$​内切于​$\triangle ABC，$​∴​$OE\perp AC，$​​$OF\perp BC，$​​$AE = AD = 4，$​​$BF = BD = 5，$​∴​$∠OEC=∠OFC=∠C = 90°，$​∴四边形​$ECFO$​是矩形，∴​$CF = OE = r，$​​$CE = OF = r，$​∴​$AC = 4 + r，$​​$BC = 5 + r。$​​$ $​在​$Rt\triangle ABC$​中，由勾股定理得​$(r + 4)^2+(r + 5)^2=9^2，$​化简得​$r^2+9r = 20，$​∴​$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AC·BC=\frac {1}{2}(r + 4)·(r + 5)$​​$=\frac {1}{2}(r^2+9r + 20)=\frac {1}{2}×(20 + 20)=20。$​​$ (2) $​如图​$②$​所示。简要说明：
将甲、乙图形放在​$OE$​边的上方，将丙、丁图形放在​$OF $​边的右侧，围成矩形的边长是​$4$​和​$5。$​​$ (3) $​设​$\triangle ABC$​的内切圆为​$\odot F，$​∴​$AF $​和​$BF $​平分​$∠BAC$​和​$∠ABC，$​​$FD\perp AB，$​∴​$∠BAF=\frac {1}{2}∠CAB，$​​$∠ABF=\frac {1}{2}∠ABC，$​∴​$∠BAF+∠ABF=\frac {1}{2}(∠BAC+∠ABC)$​​$=\frac {1}{2}×90°=45°，$​∴​$∠AFB = 135°。$​ 可以按以下步骤作图（如图③）：​$ ①$​作​$AB$​的垂直平分线交​$AB$​于点​$O，$​以​$O$​为圆心，​$BA$​为直径作圆，交​$AB$​的垂直平分线于点​$E；$​​$ ②$​以​$E$​为圆心，​$AE$​为半径作圆；​$ ③$​过点​$D$​作​$AB$​的垂线，交​$\odot E$​于点​$F；$​​$ ④$​连接​$EF $​并延长交​$\odot O$​于点​$C，$​连接​$AC、$​​$BC，$​则​$\triangle ABC$​就是所求作的三角形。