1. 如图,在$□ ABCD$中,连接 BD,作 $DE ⊥ BC$ 于点 E,$BF ⊥ CD$ 于点 F,DE 与 BF 相交于点 H,求证:$∠ A = ∠ BHE$. 第1题图

证明:$\because DE ⊥ BC,BF ⊥ CD,\therefore ∠ BEH = ∠ BFC = 90°.\therefore ∠ BHE + ∠ HBE = ∠ HBE + ∠ C.\therefore ∠ C = ∠ BHE. \because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore ∠ A = ∠ C.\therefore ∠ A = ∠ BHE.$

【分析】要证明∠A=∠BHE，可通过等量代换的思路推导：首先根据平行四边形对角相等的性质，可知∠A=∠C，因此只需证明∠BHE=∠C即可完成求证。结合已知条件DE⊥BC、BF⊥CD，可得△BEH和△BFC都是直角三角形，两个三角形共有锐角∠HBE，根据直角三角形两锐角互余，可得∠BHE与∠C都是∠HBE的余角，利用同角的余角相等即可得到∠BHE=∠C，最后结合平行四边形的性质即可得到结论。
【解析】证明：$\because DE ⊥ BC,BF ⊥ CD,\therefore ∠ BEH = ∠ BFC = 90°$。
$\therefore ∠ BHE + ∠ HBE = ∠ HBE + ∠ C$，
$\therefore ∠ C = ∠ BHE$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore ∠ A = ∠ C$，
$\therefore ∠ A = ∠ BHE$。
【答案】$\boldsymbol{∠A=∠BHE}$，证明成立。
【知识点】平行四边形的性质；同角的余角相等；垂直的定义
【点评】本题属于基础几何证明题，核心考查平行四边形性质和余角性质的综合应用，解题的关键是找到中间等量∠C完成代换，推导逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,已知E,F分别为OB,OD中点,连接AE,CF.求证:∠OAE=∠OCF.

解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore OA=OC,OB=OD. \because E,F$分别为 $OB,OD$ 中点,$\therefore OE=\frac{1}{2}OB,OF=\frac{1}{2}OD.\therefore OE=OF.$$\because ∠ AOE = ∠ COF,\therefore △ AOE ≌ △ COF(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ OAE = ∠ OCF.$

【分析】
要证明∠OAE=∠OCF，可通过证明两角所在的△AOE与△COF全等实现。首先观察已知条件，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得到OA=OC，OB=OD；再结合E、F分别是OB、OD中点的条件，可推出OE=OF；又因为∠AOE和∠COF是对顶角，二者相等，即可利用SAS判定△AOE≌△COF，最后根据全等三角形对应角相等，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵ E，F分别为OB，OD的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$（中点的定义），
∴ OE=OF。
在△AOE和△COF中：
$\begin{cases}OA=OC \\∠ AOE=∠ COF \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OE=OF\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF(\mathrm{SAS})$，
∴ ∠OAE=∠OCF（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
∠OAE=∠OCF
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形的综合基础题，解题的关键是合理利用平行四边形对角线的性质，结合中点条件得到全等三角形的判定条件，侧重考察对基础几何性质和判定的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,∠C=4∠BAE.
(1)求∠B的度数;
(2)若CE=4BE,AB=8,求AB与CD之间的距离.

(1)$\because AE ⊥ BC,\therefore ∠ AEB = ∠ AEC = 90°. \because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB // CD,∠ BAD = ∠ C.\therefore ∠ B + ∠ C = 180°.$$\because ∠ C = 4∠ BAE,\therefore ∠ BAD = 4∠ BAE = 4(90° - ∠ B).\therefore ∠ B + 4(90° - ∠ B) = 180°.\therefore ∠ B = 60°.$
(2)由(1)得,$∠ AEB = 90°,∠ B = 60°,\therefore ∠ EAB = 30°.\therefore BE = \frac{1}{2}AB = 4.\therefore AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = 4\sqrt{3}. \because CE = 4BE,\therefore BC = BE + 4BE = 5BE = 20.$ 设 $AB$ 和 $CD$ 之间的距离为 $d$,$\because AB · d = BC · AE = S_{□ ABCD},\therefore 8d = 20 × 4\sqrt{3}.\therefore d = 10\sqrt{3}.\therefore AB$ 和 $CD$ 之间的距离为 $10\sqrt{3}.$

【分析】
(1) 求解∠B的度数时，首先由AE⊥BC可得△ABE是直角三角形，因此∠BAE与∠B互余，可将∠BAE用含∠B的式子表示；再结合平行四边形邻角互补的性质，以及题目给出的∠C和∠BAE的数量关系，把∠C也用含∠B的式子代换，列一元一次方程即可求出∠B的度数。
(2) 求AB与CD之间的距离时，先利用(1)的结论，在Rt△ABE中根据直角三角形30°角的性质求出BE的长度，再用勾股定理求出AE的长度；接着根据CE和BE的数量关系求出BC的长度；最后利用平行四边形面积的两种计算方式（以BC为底时高为AE，以AB为底时高就是AB与CD的距离），列等式即可求出所求距离。
【解析】
(1) $\because AE ⊥ BC$，$\therefore ∠ AEB = 90°$，在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE + ∠ B = 90°$，即$∠ BAE = 90° - ∠ B$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，$∠ B + ∠ C = 180°$。
又$\because ∠ C = 4∠ BAE$，将$∠ BAE = 90° - ∠ B$代入得：
$∠ B + 4(90° - ∠ B) = 180°$
展开计算：$∠ B + 360° - 4∠ B = 180°$
整理得：$-3∠ B = -180°$
解得：$∠ B = 60°$。
(2) 由(1)得$∠ B = 60°$，因此在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE = 90° - 60° = 30°$。
$\because$ 直角三角形中30°角所对的直角边为斜边的一半，且$AB=8$，
$\therefore BE = \frac{1}{2}AB = 4$。
由勾股定理得：$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$。
$\because CE = 4BE$，$\therefore BC = BE + CE = BE + 4BE = 5BE = 5×4 = 20$。
设$AB$与$CD$之间的距离为$d$，根据平行四边形面积公式，$S_{□ ABCD} = BC· AE = AB· d$，代入数值得：
$20×4\sqrt{3} = 8d$
解得：$d = 10\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ B=60°}$；
(2) $\boldsymbol{10\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题是四边形计算的典型基础题，综合考察了平行四边形和直角三角形的核心性质，解题的关键是利用角的数量关系列方程求角度，再通过面积法快速求解平行线间的距离，解题思路清晰，是巩固四边形基础知识点的优质习题。
【难度系数】
0.7