4. 如图，在$□ ABCD$中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得$AE=CF$，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. 求证：四边形BMDN是平行四边形.

证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore ∠ DAB = ∠ BCD,AD // BC,AB = CD,AB // CD.\therefore ∠ EAM = ∠ FCN,∠ E = ∠ F.$ 在 $△ AEM$与$△ CFN$ 中,$\begin{cases} ∠ EAM = ∠ FCN, \\ AE = CF, \\ ∠ E = ∠ F, \end{cases}$ $\therefore △ AEM ≌ △ CFN(\mathrm{ASA}).$$\therefore AM = CN.\therefore BM = DN. \because BM // DN,\therefore$ 四边形 $BMDN$ 是平行四边形.

【分析】
要证明四边形BMDN是平行四边形，可优先选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。首先根据平行四边形ABCD的性质，可得AB//CD，因此BM//DN，接下来只需证明BM=DN即可。结合已知条件AE=CF，以及AD//BC推导得到的对应角相等，可证明△AEM和△CFN全等，得到AM=CN，结合AB=CD的性质即可推出BM=DN，结合平行关系即可完成证明。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore ∠ DAB = ∠ BCD,AD // BC,AB = CD,AB // CD.\therefore ∠ EAM = ∠ FCN,∠ E = ∠ F.$
在 $△ AEM$与$△ CFN$ 中,
$\begin{cases} ∠ EAM = ∠ FCN, \\ AE = CF, \\ ∠ E = ∠ F, \end{cases}$
$\therefore △ AEM ≌ △ CFN(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AM = CN.$
$\therefore AB-AM=CD-CN$，即$BM = DN.$
$\because BM // DN,\therefore$ 四边形 $BMDN$ 是平行四边形.
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore ∠ DAB = ∠ BCD,AD // BC,AB = CD,AB // CD.\therefore ∠ EAM = ∠ FCN,∠ E = ∠ F.$ 在 $△ AEM$与$△ CFN$ 中,$\begin{cases} ∠ EAM = ∠ FCN, \\ AE = CF, \\ ∠ E = ∠ F, \end{cases}$ $\therefore △ AEM ≌ △ CFN(\mathrm{ASA}).$$\therefore AM = CN.\therefore BM = DN. \because BM // DN,\therefore$ 四边形 $BMDN$ 是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应边相等的结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$AB$边上任意一点,$F$是$AC$的中点,过点$C$作$CE// AB$交$DF$的延长线于点$E$,连接$AE$,$CD$.
(1)求证:四边形$ADCE$是平行四边形;
(2)若$∠ B=30°,∠ CAB=45°,AC=\sqrt{2}$,求$AB$的长.

(1)证明:$\because AB // CE,\therefore ∠ CAD = ∠ ACE,∠ ADE = ∠ CED.$$\because F$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore AF = CF.$ 在 $△ AFD$ 与 $△ CFE$ 中,$\begin{cases} ∠ CAD = ∠ ACE, \\ ∠ ADE = ∠ CED, \\ AF = CF, \end{cases}$ $\therefore △ AFD ≌ △ CFE(\mathrm{AAS}).\therefore DF = EF.\therefore$ 四边形 $ADCE$ 是平行四边形.
(2)如图,过点 $C$ 作 $CG ⊥ AB$ 于点 $G$,在 $△ ACG$ 中,$\because ∠ AGC = 90°,AC = \sqrt{2},∠ CAG = 45°$,,由勾股定理,得 $CG = AG = 1.$ 在 $△ BCG$ 中,$\because ∠ BGC = 90°,∠ B = 30°,CG = 1,\therefore BC = 2.\therefore BG = \sqrt{BC^2 - CG^2} = \sqrt{3}.\therefore AB = AG + BG = 1 + \sqrt{3}.$

【分析】
(1) 要证明四边形$ADCE$是平行四边形，已知$CE// AB$，可通过证明对角线互相平分来判定。首先由平行线性质得到两组内错角相等，结合$F$是$AC$中点的条件，用AAS证明$△ AFD≌△ CFE$，得到$DF=EF$，结合$AF=CF$，即可得对角线互相平分，从而证明四边形是平行四边形。
(2) 要求$AB$的长度，题干给出了$∠B=30°$、$∠CAB=45°$两个特殊角及$AC$的长度，特殊角的性质需在直角三角形中应用，因此过点$C$作$CG⊥AB$构造直角三角形，将$AB$拆分为$AG$和$BG$两段：先在$Rt△ ACG$中利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出$AG$、$CG$的长度，再在$Rt△ BCG$中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出$BC$的长度，再用勾股定理求出$BG$的长度，最后将$AG$和$BG$相加即可得到$AB$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CE$，$\therefore ∠CAD = ∠ACE$，$∠ADE = ∠CED$。
$\because F$是$AC$的中点，$\therefore AF = CF$。
在$△ AFD$与$△ CFE$中，
$\begin{cases} ∠CAD = ∠ACE \\ ∠ADE = ∠CED \\ AF = CF \end{cases}$
$\therefore △ AFD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DF = EF$。
又$\because AF=CF$，$\therefore$四边形$ADCE$的对角线互相平分，故四边形$ADCE$是平行四边形。
(2) 解：如图，过点$C$作$CG⊥AB$于点$G$。
在$△ ACG$中，$\because ∠AGC = 90°$，$AC = \sqrt{2}$，$∠CAG = 45°$，
$\therefore △ ACG$是等腰直角三角形，由勾股定理得$AG^2 + CG^2 = AC^2$，且$AG=CG$，解得$CG = AG = 1$。
在$△ BCG$中，$\because ∠BGC = 90°$，$∠B = 30°$，$CG = 1$，
$\therefore BC = 2CG = 2$，
由勾股定理得$BG = \sqrt{BC^2 - CG^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
$\therefore AB = AG + BG = 1 + \sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$ADCE$是平行四边形，证明成立；
(2) $AB$的长为$1+\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问侧重考查全等三角形的证明和平行四边形的判定，属于常规基础考点；第二问考查特殊直角三角形的性质及勾股定理的应用，作高构造直角三角形是解决含特殊角的线段长度计算问题的常用技巧，能有效锻炼几何辅助线构造能力和计算能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$,$∠ BCD$的平分线分别交AD于点E,F,BE,CF相交于点G.
(1)求证:$BE ⊥ CF$;
(2)若$AB=5$,$CF=6$,求BE的长.

(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB // CD.$$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 180°. \because ∠ ABC,∠ BCD$ 的平分线 $BE,CF$ 分别与 $AD$ 相交于点 $E,F$,$\therefore ∠ EBC + ∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ DCB = 90°.\therefore EB ⊥ FC.$
(2)过点 $A$ 作 $AM // FC$,交 $BE$ 于点 $O$,交 $BC$ 于点 $M$,$\because AM // FC,\therefore ∠ AOB = ∠ FGB. \because EB ⊥ FC,\therefore ∠ FGB = 90°.\therefore ∠ AOB = 90°. \because BE$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE = ∠ EBC. \because AD // BC,\therefore ∠ AEB = ∠ CBE.\therefore ∠ ABE = ∠ AEB.\therefore AB = AE = 5. \because AO ⊥ BE,\therefore BO = EO.$ 在 $△ AOE$ 和 $△ MOB$ 中,$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ MBO, \\ BO = EO, \\ ∠ AOE = ∠ BOM, \end{cases}$ $\therefore △ AOE ≌ △ MOB(\mathrm{ASA}).\therefore AO = MO. \because AF // CM,AM // FC,\therefore$ 四边形 $AMCF$ 是平行四边形. $\therefore AM = FC = 6.\therefore AO = 3.\therefore EO = \sqrt{AE^2 - AO^2} = 4,\therefore BE = 8.$

【分析】
(1)要证明BE⊥CF，可通过证明两线夹角为90°推导：首先利用平行四边形邻角互补的性质得到∠ABC+∠BCD=180°，再结合角平分线的定义，计算可得两个半角之和为90°，即可得到垂直关系。
(2)求BE的长时，首先根据平行线+角平分线的特征可推出等腰△ABE，得到AB=AE=5；再通过作AM//CF的辅助线，构造平行四边形AMCF，将已知CF=6转化为AM=6，同时由BE⊥CF可得AM⊥BE，结合等腰三角形三线合一可知BE被AO平分；再通过全等三角形得到AO是AM的一半，进而在直角三角形中用勾股定理求出BE的一半长度，乘2即可得到BE总长。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°。
∵ ∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴ ∠EBC + ∠FCB = $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠DCB = $\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴ ∠BGC=180°-(∠EBC + ∠FCB)=90°，即EB⊥FC。
(2)解：过点A作AM//FC，交BE于点O，交BC于点M。
∵ AM//FC，
∴ ∠AOB = ∠FGB，
∵ EB⊥FC，
∴ ∠FGB = 90°，
∴ ∠AOB = 90°，即AO⊥BE。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠EBC，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠CBE，
∴ ∠ABE = ∠AEB，
∴ AB = AE = 5。
∵ AO⊥BE，AB=AE，
∴ BO = EO（等腰三角形三线合一）。
在△AOE和△MOB中：
$\begin{cases} ∠AEO = ∠MBO, \\ BO = EO, \\ ∠AOE = ∠BOM, \end{cases}$
∴ △AOE ≌ △MOB（ASA），
∴ AO = MO。
∵ AD//BC即AF//CM，AM//FC，
∴ 四边形AMCF是平行四边形，
∴ AM = FC = 6，
∴ AO = $\frac{1}{2}$AM = 3。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
EO = $\sqrt{AE^2 - AO^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4，
∴ BE = 2EO = 8。
【答案】
(1)证明成立；(2)BE的长为8
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形模块的典型综合题，既考查了基础几何性质的直接应用，也要求学生掌握构造辅助线转化已知条件的方法，对培养几何逻辑推理能力和转化思想有较好的训练价值。
【难度系数】
0.6