7. 在$△ ABC$中，$∠ CAB=60°$，$D$是$BC$的中点，延长$AB$到点$E$，使$BE=AC$，连接$CE$，$AD$.
(1) 如图，若$△ ABC$是等边三角形，$AD=\sqrt{3}$，求$CE$的长；
(2) 如图，过点$B$作$AC$的平行线交$AD$的延长线于点$F$，连接$EF$，求证：$△ BEF$是等边三角形.

解:(1)$\because △ ABC$是等边三角形,$BE=AC$,$\therefore AB=BC=AC=BE$,$∠ ABC=∠ ACB=∠ CAB=60°.$$\therefore ∠ BCE=∠ E.$$\because ∠ BCE+∠ E=∠ ABC$,$\therefore 2∠ E=60°.$$\therefore ∠ BCE=∠ E=30°.$$\therefore ∠ ACE=60°+30°=90°.$$\because D$是$BC$的中点,$\therefore AD⊥ BC$,$∠ BAD=∠ CAD=\dfrac{1}{2}∠ CAB=30°.$$\therefore ∠ ADB=90°.$$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB.$$\therefore AB^2-(\dfrac{1}{2}AB)^2=AD^2=(\sqrt{3})^2.$$\therefore AB=2.$$\therefore AC=BE=AB=2.$$\therefore AE=AB+BE=4.$$\therefore CE=\sqrt{AE^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}.$
(2)证明:$\because BE// AC$,$\therefore ∠ FBE=∠ CAB=60°$,$∠ DFB=∠ DAC.$
在$△ DFB$和$△ DAC$中,$\begin{cases}∠ DFB=∠ DAC,\\∠ FDB=∠ ADC,\\BD=CD,\end{cases}$$\therefore △ DFB≌△ DAC(\mathrm{AAS}).$$\therefore FB=AC$,$FD=AD.$$\because BE=AC$,$\therefore FB=BE.$$\therefore △ BEF$是等边三角形.

【分析】
(1) 第一问从等边三角形的性质入手：等边三角形三边相等、三内角均为60°，且中线、高线、角平分线三线合一，因此AD是BC边上的高，可先结合AD的长度用勾股定理求出等边△ABC的边长，再根据BE=AC得到AE的长度，通过角度推导证明△ACE是直角三角形，最后用勾股定理求出CE的长度。
(2) 第二问要证明△BEF是等边三角形，先通过BF//AC得到∠FBE=60°，再利用D是BC中点的条件证明△DFB和△DAC全等，得到BF=AC，结合已知BE=AC推出BF=BE，最后根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because △ ABC$是等边三角形，$BE=AC$，
$\therefore AB=BC=AC=BE$，$∠ ABC=∠ ACB=∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ E$，
$\because ∠ BCE+∠ E=∠ ABC$，
$\therefore 2∠ E=60°$，解得$∠ BCE=∠ E=30°$，
$\therefore ∠ ACE=60°+30°=90°$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD=\dfrac{1}{2}∠ CAB=30°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB^2-(\dfrac{1}{2}AB)^2=AD^2=(\sqrt{3})^2$，
解得$AB=2$，
$\therefore AC=BE=AB=2$，$AE=AB+BE=4$，
在$Rt△ ACE$中，$CE=\sqrt{AE^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
(2) 证明：$\because BF// AC$，
$\therefore ∠ FBE=∠ CAB=60°$，$∠ DFB=∠ DAC$，
在$△ DFB$和$△ DAC$中，
$\begin{cases}∠ DFB=∠ DAC,\\∠ FDB=∠ ADC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ DFB≌△ DAC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FB=AC$，
$\because BE=AC$，
$\therefore FB=BE$，
又$\because ∠FBE=60°$，
$\therefore △ BEF$是等边三角形。
【答案】
(1) $CE=2\sqrt{3}$；
(2) 已证$△ BEF$是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是三角形部分的典型综合题，兼顾了计算与证明能力的考查，解题时只要熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，梳理清楚已知的边角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在△ABD与△BCD中,AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°,过点C作CE//BA,交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)求证:AC平分∠DAB;
(3)若AD=12,CE=8,求CF的长.

解:(1)$△ DEF$是等边三角形,理由如下:$\because AB=AD$,$∠ DAB=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形.$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°.$$\because CE// AB$,$\therefore ∠ CED=∠ A=60°$,$∠ DFE=∠ ABD=60°.$$\therefore ∠ CED=∠ ADB=∠ DFE=60°.$$\therefore △ DEF$是等边三角形.
(2)证明:$\because AB=AD$,$CB=CD$,$\therefore AC$是$BD$的垂直平分线,即$AC⊥ BD.$$\because AB=AD$,$\therefore AC$平分$∠ DAB.$
(3)$\because AC$平分$∠ DAB$,$∠ DAB=60°$,$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=30°.$$\because CE// AB$,$\therefore ∠ BAC=∠ ACE=∠ CAD=30°.$$\therefore AE=CE=8.$$\therefore DE=AD-AE=12-8=4.$$\because △ DEF$是等边三角形,$\therefore EF=DE=4.$$\therefore CF=CE-EF=8-4=4.$

【分析】
(1)判断△DEF的形状时，先结合已知AB=AD、∠DAB=60°，可判定△ABD是等边三角形，得到其内角均为60°；再利用CE//AB的平行线性质，推导△DEF的三个内角均为60°，即可判定其形状。
(2)要证AC平分∠DAB，已知△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AC垂直平分BD即可；结合AB=AD、CB=CD，可知点A、C都在BD的垂直平分线上，即可得AC是BD的垂直平分线，进而得到角平分线的结论。
(3)求CF的长时，可先通过角平分线+平行线推导得到AE=CE，算出DE的长度；再结合(1)中△DEF是等边三角形，得到EF=DE，最后用CE的长度减去EF的长度即可得到CF的长。
【解析】
(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°。
∵CE//AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形。
(2)证明：
∵AB=AD，CB=CD，
∴点A、C都在BD的垂直平分线上，即AC是BD的垂直平分线，AC⊥BD，
又
∵AB=AD，△ABD为等腰三角形，
∴AC平分∠DAB（等腰三角形三线合一）。
(3)解：
∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8，
∴DE=AD-AE=12-8=4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4。
【答案】
(1)△DEF是等边三角形；(2)AC平分∠DAB得证；(3)CF的长为4。
【知识点】
1.等边三角形的判定与性质
2.等腰三角形三线合一
3.平行线的性质
【点评】
本题是三角形部分的经典综合题，将特殊三角形的性质、判定与平行线性质相结合考察，解题的关键是合理转化已知条件，灵活运用三线合一、等角对等边等常用结论推导边角关系，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7