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4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=40°,∠ C=20°$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE// AB$,交$AC$于点$E$.
(1)求$∠ ADC$的度数;
(2)若$△ ADC$与$△ EDC$的周长分别为11和9,求$DE$的长.
(1)求$∠ ADC$的度数;
(2)若$△ ADC$与$△ EDC$的周长分别为11和9,求$DE$的长.
答案
解:(1)$\because ∠ B=40°,∠ C=20°,\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-20°=120°.$$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}×120°=60°.$在$△ ADC$中,$∠ DAC=60°,∠ C=20°,\therefore ∠ ADC=180°-60°-20°=100°.$
(2)$\because DE// AB,\therefore ∠ BAD=∠ EDA=∠ DAE=60°.\therefore △ ADE$是等边三角形.$\therefore AD=DE=AE.$$\because △ ADC$与$△ EDC$的周长分别为11和9,$\therefore AD+DC+AC-(DC+CE+DE)=11-9=2.$$\therefore AD+DC+AE+EC-DC-CE-DE=2.$$\therefore DE=2.$
(2)$\because DE// AB,\therefore ∠ BAD=∠ EDA=∠ DAE=60°.\therefore △ ADE$是等边三角形.$\therefore AD=DE=AE.$$\because △ ADC$与$△ EDC$的周长分别为11和9,$\therefore AD+DC+AC-(DC+CE+DE)=11-9=2.$$\therefore AD+DC+AE+EC-DC-CE-DE=2.$$\therefore DE=2.$
解析
【分析】
(1) 求∠ADC的度数时，首先利用三角形内角和为180°算出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的定义求出∠DAC的度数，最后在△ADC中再次运用三角形内角和定理即可得到结果。
(2) 求DE的长时，先根据平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线的结论推出△ADE为等边三角形，得到AD=DE=AE的等量关系，再将两个三角形的周长作差，抵消公共部分后代入等边三角形的边的等量关系，即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$\because ∠ B=40°,∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-20°=120°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ ADC$中，再次运用三角形内角和定理：
$∠ ADC=180°-∠ DAC-∠ C=180°-60°-20°=100°$。
(2) $\because DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ BAD=∠ EDA$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ DAE=60°$，
$\therefore ∠ EDA=∠ DAE=60°$，即$△ ADE$是等边三角形，$\therefore AD=DE=AE$。
已知$△ ADC$的周长为11，$△ EDC$的周长为9，可得：
$AD+DC+AC=11$，$DC+CE+DE=9$，
将两式作差得：$AD+DC+AC-(DC+CE+DE)=11-9=2$，
又$\because AC=AE+CE$，且$AD=DE=AE$，代入化简：
$DE+DC+AE+CE-DC-CE-DE=2$，
解得$DE=2$。
【答案】
(1) $∠ ADC=100°$；(2) $DE=2$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形相关的基础综合题，结合角度计算和周长计算进行考查，解题核心是利用角平分线、平行线的性质完成角的等量转化，再通过周长作差抵消公共部分得到所求线段的长度，属于三角形模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠ADC的度数时，首先利用三角形内角和为180°算出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的定义求出∠DAC的度数，最后在△ADC中再次运用三角形内角和定理即可得到结果。
(2) 求DE的长时，先根据平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线的结论推出△ADE为等边三角形，得到AD=DE=AE的等量关系，再将两个三角形的周长作差，抵消公共部分后代入等边三角形的边的等量关系，即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$\because ∠ B=40°,∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-20°=120°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ ADC$中，再次运用三角形内角和定理：
$∠ ADC=180°-∠ DAC-∠ C=180°-60°-20°=100°$。
(2) $\because DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ BAD=∠ EDA$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ DAE=60°$，
$\therefore ∠ EDA=∠ DAE=60°$，即$△ ADE$是等边三角形，$\therefore AD=DE=AE$。
已知$△ ADC$的周长为11，$△ EDC$的周长为9，可得：
$AD+DC+AC=11$，$DC+CE+DE=9$，
将两式作差得：$AD+DC+AC-(DC+CE+DE)=11-9=2$，
又$\because AC=AE+CE$，且$AD=DE=AE$，代入化简：
$DE+DC+AE+CE-DC-CE-DE=2$，
解得$DE=2$。
【答案】
(1) $∠ ADC=100°$；(2) $DE=2$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形相关的基础综合题，结合角度计算和周长计算进行考查，解题核心是利用角平分线、平行线的性质完成角的等量转化，再通过周长作差抵消公共部分得到所求线段的长度，属于三角形模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$P$在$AC$上运动,点$D$在$AB$上,$PD$始终保持与$PA$相等,$BD$的垂直平分线交$BC$于点$E$,交$BD$于点$F$,连接$DE$.
(1)判断$DE$与$DP$的位置关系,并说明理由;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,$PA=2$,求线段$DE$的长.
(1)判断$DE$与$DP$的位置关系,并说明理由;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,$PA=2$,求线段$DE$的长.
答案
解:(1)$DE⊥ DP$,理由如下:$\because PD=PA,\therefore ∠ A=∠ PDA.$$\because EF$是$BD$的垂直平分线,$\therefore EB=ED.$$\therefore ∠ B=∠ EDB.$$\because ∠ C=90°,$$\therefore ∠ A+∠ B=90°.$$\therefore ∠ PDA+∠ EDB=90°.$$\therefore ∠ PDE=180°-90°=90°.$$\therefore DE⊥ DP.$
(2)连接$PE$,设$DE=x$,则$EB=ED=x$,$CE=8-x$,$\because ∠ C=∠ PDE=90°,\therefore PC^2+CE^2=PE^2=PD^2+DE^2.$$\therefore 4^2+(8-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=4.75.$则$DE=4.75.$
(2)连接$PE$,设$DE=x$,则$EB=ED=x$,$CE=8-x$,$\because ∠ C=∠ PDE=90°,\therefore PC^2+CE^2=PE^2=PD^2+DE^2.$$\therefore 4^2+(8-x)^2=2^2+x^2$,解得$x=4.75.$则$DE=4.75.$
解析
【分析】
(1)判断DE与DP的位置关系优先考虑是否垂直，即求证∠PDE=90°。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由PD=PA得∠A=∠PDA；再根据线段垂直平分线的性质得EB=ED，推出∠B=∠EDB；结合Rt△ABC两锐角互余的性质，将角等量代换后可推出∠PDA+∠EDB=90°，最后根据平角为180°即可得∠PDE=90°，证明垂直关系。
(2)求DE的长时，因DE=EB，可设DE为x，用x表示出CE的长度。连接PE后，Rt△PCE和Rt△PDE共用斜边PE，根据勾股定理可列出含x的等式，解方程即可求出DE的长度。
【解析】
(1) $DE ⊥ DP$，理由如下：
$\because PD=PA$，$\therefore ∠ A = ∠ PDA$。
$\because EF$是$BD$的垂直平分线，$\therefore EB=ED$，$\therefore ∠ B = ∠ EDB$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ PDA + ∠ EDB = 90°$，
$\therefore ∠ PDE = 180° - (∠ PDA + ∠ EDB) = 90°$，
$\therefore DE ⊥ DP$。
(2) 连接$PE$，设$DE=x$，
$\because EB=ED$，$\therefore EB=x$，$CE = BC - EB = 8 - x$。
$\because PA=2$，$AC=6$，$\therefore PC = AC - PA = 4$，$PD=PA=2$。
$\because ∠ C = ∠ PDE = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PCE$中，$PE^2 = PC^2 + CE^2$，
在$\mathrm{Rt}△ PDE$中，$PE^2 = PD^2 + DE^2$，
$\therefore PC^2 + CE^2 = PD^2 + DE^2$，
代入得：$4^2 + (8 - x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开计算：$16 + 64 - 16x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得$16x=76$，
解得$x=4.75$。
【答案】
(1) $DE ⊥ DP$；(2) $DE=4.75$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形基础综合题，第一问侧重角的等量代换推导，第二问结合方程思想与勾股定理求解线段长，能够有效考查几何基础推导能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断DE与DP的位置关系优先考虑是否垂直，即求证∠PDE=90°。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由PD=PA得∠A=∠PDA；再根据线段垂直平分线的性质得EB=ED，推出∠B=∠EDB；结合Rt△ABC两锐角互余的性质，将角等量代换后可推出∠PDA+∠EDB=90°，最后根据平角为180°即可得∠PDE=90°，证明垂直关系。
(2)求DE的长时，因DE=EB，可设DE为x，用x表示出CE的长度。连接PE后，Rt△PCE和Rt△PDE共用斜边PE，根据勾股定理可列出含x的等式，解方程即可求出DE的长度。
【解析】
(1) $DE ⊥ DP$，理由如下：
$\because PD=PA$，$\therefore ∠ A = ∠ PDA$。
$\because EF$是$BD$的垂直平分线，$\therefore EB=ED$，$\therefore ∠ B = ∠ EDB$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ PDA + ∠ EDB = 90°$，
$\therefore ∠ PDE = 180° - (∠ PDA + ∠ EDB) = 90°$，
$\therefore DE ⊥ DP$。
(2) 连接$PE$，设$DE=x$，
$\because EB=ED$，$\therefore EB=x$，$CE = BC - EB = 8 - x$。
$\because PA=2$，$AC=6$，$\therefore PC = AC - PA = 4$，$PD=PA=2$。
$\because ∠ C = ∠ PDE = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PCE$中，$PE^2 = PC^2 + CE^2$，
在$\mathrm{Rt}△ PDE$中，$PE^2 = PD^2 + DE^2$，
$\therefore PC^2 + CE^2 = PD^2 + DE^2$，
代入得：$4^2 + (8 - x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开计算：$16 + 64 - 16x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得$16x=76$，
解得$x=4.75$。
【答案】
(1) $DE ⊥ DP$；(2) $DE=4.75$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形基础综合题，第一问侧重角的等量代换推导，第二问结合方程思想与勾股定理求解线段长，能够有效考查几何基础推导能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D,射线BD交AC的延长线于点N,连接CD.
(1)若AB=14,BC=8,CN=12,△BCN的面积为20,求△ABD的面积;
(2)若BC是AN的垂直平分线,求∠ADC的度数.
(1)若AB=14,BC=8,CN=12,△BCN的面积为20,求△ABD的面积;
(2)若BC是AN的垂直平分线,求∠ADC的度数.
答案
解:(1)如图,过点$D$分别作$AB$,$AC$,$BC$的垂线,垂足分别为$E$,$G$,$F$,$\because BD$和$AD$分别平分$∠ CBM$和$∠ BAC$,且$DE⊥ AB$,$DF⊥ BC$,$DG⊥ AC$,$\therefore DE=DF=DG.$$\because △ BCN$的面积为20,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· DF+\dfrac{1}{2}CN· DG=20.$$\therefore DF=DG=2.$$\therefore DE=DF=2.$$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}×14×2=14.$
(2)$\because BC$是$AN$的垂直平分线,$\therefore AB=NB.$$\therefore ∠ ABC=∠ NBC.$$\because BN$平分$∠ CBM$,$\therefore ∠ NBC=∠ MBN.$$\therefore ∠ NBC=∠ MBN=∠ ABC=60°.$$\because DF=DG$且$DF⊥ BC$,$DG⊥ CN$,$\therefore CD$平分$∠ BCN.$$\therefore ∠ DCN=\dfrac{1}{2}∠ BCN.$$\because ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ADC=∠ DCN-∠ DAC=\dfrac{1}{2}(∠ BCN-∠ BAC).$$\because ∠ BCN-∠ BAC=∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ ADC=\dfrac{1}{2}×60°=30°.$
解析
【分析】
(1) 遇到含角平分线的几何计算，首先考虑角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中D是∠BAC平分线和外角∠CBM平分线的交点，因此D到AB、BC、AC三边的距离相等，可过D作三边的垂线，三条垂线段长度相等。△BCN的面积可拆分为△BCD和△DCN的面积之和，两个三角形的高恰好是上述相等的垂线段，结合已知的BC、CN长度和△BCN的面积，可求出垂线段的长度，也就是△ABD中AB边上的高，进而求出△ABD的面积。
(2) 先根据垂直平分线的性质得到AB=NB，推出对应角相等，再结合BN是外角平分线，可求出∠ABC的度数；再根据D到BC、CN的距离相等，判定CD是∠BCN的平分线，最后利用三角形外角的性质，将∠ADC转化为两个半角的差，结合∠ABC和所求角的关系得到结果。
【解析】
(1) 过点$D$分别作$AB$,$AC$,$BC$的垂线，垂足分别为$E$,$G$,$F$。
$\because BD$和$AD$分别平分$∠ CBM$和$∠ BAC$，且$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，$DG⊥ AC$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质，得$DE=DF=DG$。
$\because △ BCN$的面积为20，且$S_{△ BCN}=S_{△ BCD}+S_{△ DCN}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}BC· DF+\dfrac{1}{2}CN· DG=20$。
将$BC=8$，$CN=12$，$DF=DG$代入得：$4DF+6DF=20$，
解得$DF=DG=2$，即$DE=2$。
$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}×14×2=14$。
(2) $\because BC$是$AN$的垂直平分线，
$\therefore$ 根据垂直平分线的性质得$AB=NB$，$\therefore ∠ ABC=∠ NBC$。
$\because BN$平分$∠ CBM$，$\therefore ∠ NBC=∠ MBN$，
$\therefore ∠ NBC=∠ MBN=∠ ABC$，又$\because ∠ ABC+∠ NBC+∠ MBN=180°$，
$\therefore ∠ ABC=60°$。
$\because DF=DG$且$DF⊥ BC$，$DG⊥ CN$，
$\therefore CD$平分$∠ BCN$，$\therefore ∠ DCN=\dfrac{1}{2}∠ BCN$。
$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$。
根据三角形外角性质，$∠ DCN$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ DCN=∠ DAC + ∠ ADC$，
整理得$∠ ADC=∠ DCN-∠ DAC=\dfrac{1}{2}(∠ BCN-∠ BAC)$。
又$\because ∠ BCN$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ BCN-∠ BAC=∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=\dfrac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
解:(1)如图,过点$D$分别作$AB$,$AC$,$BC$的垂线,垂足分别为$E$,$G$,$F$,$\because BD$和$AD$分别平分$∠ CBM$和$∠ BAC$,且$DE⊥ AB$,$DF⊥ BC$,$DG⊥ AC$,$\therefore DE=DF=DG.$$\because △ BCN$的面积为20,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· DF+\dfrac{1}{2}CN· DG=20.$$\therefore DF=DG=2.$$\therefore DE=DF=2.$$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}×14×2=14.$
(2)$\because BC$是$AN$的垂直平分线,$\therefore AB=NB.$$\therefore ∠ ABC=∠ NBC.$$\because BN$平分$∠ CBM$,$\therefore ∠ NBC=∠ MBN.$$\therefore ∠ NBC=∠ MBN=∠ ABC=60°.$$\because DF=DG$且$DF⊥ BC$,$DG⊥ CN$,$\therefore CD$平分$∠ BCN.$$\therefore ∠ DCN=\dfrac{1}{2}∠ BCN.$$\because ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ADC=∠ DCN-∠ DAC=\dfrac{1}{2}(∠ BCN-∠ BAC).$$\because ∠ BCN-∠ BAC=∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ ADC=\dfrac{1}{2}×60°=30°.$
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角定理
【点评】
本题综合考查了三角形相关的几何计算与证明，解题时需熟练运用角平分线、垂直平分线的性质，通过作辅助线构造等高三角形、利用外角性质转化角的数量关系是解题的关键，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 遇到含角平分线的几何计算，首先考虑角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中D是∠BAC平分线和外角∠CBM平分线的交点，因此D到AB、BC、AC三边的距离相等，可过D作三边的垂线，三条垂线段长度相等。△BCN的面积可拆分为△BCD和△DCN的面积之和，两个三角形的高恰好是上述相等的垂线段，结合已知的BC、CN长度和△BCN的面积，可求出垂线段的长度，也就是△ABD中AB边上的高，进而求出△ABD的面积。
(2) 先根据垂直平分线的性质得到AB=NB，推出对应角相等，再结合BN是外角平分线，可求出∠ABC的度数；再根据D到BC、CN的距离相等，判定CD是∠BCN的平分线，最后利用三角形外角的性质，将∠ADC转化为两个半角的差，结合∠ABC和所求角的关系得到结果。
【解析】
(1) 过点$D$分别作$AB$,$AC$,$BC$的垂线，垂足分别为$E$,$G$,$F$。
$\because BD$和$AD$分别平分$∠ CBM$和$∠ BAC$，且$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，$DG⊥ AC$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质，得$DE=DF=DG$。
$\because △ BCN$的面积为20，且$S_{△ BCN}=S_{△ BCD}+S_{△ DCN}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}BC· DF+\dfrac{1}{2}CN· DG=20$。
将$BC=8$，$CN=12$，$DF=DG$代入得：$4DF+6DF=20$，
解得$DF=DG=2$，即$DE=2$。
$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}×14×2=14$。
(2) $\because BC$是$AN$的垂直平分线，
$\therefore$ 根据垂直平分线的性质得$AB=NB$，$\therefore ∠ ABC=∠ NBC$。
$\because BN$平分$∠ CBM$，$\therefore ∠ NBC=∠ MBN$，
$\therefore ∠ NBC=∠ MBN=∠ ABC$，又$\because ∠ ABC+∠ NBC+∠ MBN=180°$，
$\therefore ∠ ABC=60°$。
$\because DF=DG$且$DF⊥ BC$，$DG⊥ CN$，
$\therefore CD$平分$∠ BCN$，$\therefore ∠ DCN=\dfrac{1}{2}∠ BCN$。
$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$。
根据三角形外角性质，$∠ DCN$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ DCN=∠ DAC + ∠ ADC$，
整理得$∠ ADC=∠ DCN-∠ DAC=\dfrac{1}{2}(∠ BCN-∠ BAC)$。
又$\because ∠ BCN$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ BCN-∠ BAC=∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=\dfrac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
解:(1)如图,过点$D$分别作$AB$,$AC$,$BC$的垂线,垂足分别为$E$,$G$,$F$,$\because BD$和$AD$分别平分$∠ CBM$和$∠ BAC$,且$DE⊥ AB$,$DF⊥ BC$,$DG⊥ AC$,$\therefore DE=DF=DG.$$\because △ BCN$的面积为20,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· DF+\dfrac{1}{2}CN· DG=20.$$\therefore DF=DG=2.$$\therefore DE=DF=2.$$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE=\dfrac{1}{2}×14×2=14.$
(2)$\because BC$是$AN$的垂直平分线,$\therefore AB=NB.$$\therefore ∠ ABC=∠ NBC.$$\because BN$平分$∠ CBM$,$\therefore ∠ NBC=∠ MBN.$$\therefore ∠ NBC=∠ MBN=∠ ABC=60°.$$\because DF=DG$且$DF⊥ BC$,$DG⊥ CN$,$\therefore CD$平分$∠ BCN.$$\therefore ∠ DCN=\dfrac{1}{2}∠ BCN.$$\because ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ADC=∠ DCN-∠ DAC=\dfrac{1}{2}(∠ BCN-∠ BAC).$$\because ∠ BCN-∠ BAC=∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ ADC=\dfrac{1}{2}×60°=30°.$
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角定理
【点评】
本题综合考查了三角形相关的几何计算与证明，解题时需熟练运用角平分线、垂直平分线的性质，通过作辅助线构造等高三角形、利用外角性质转化角的数量关系是解题的关键，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
