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1.体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同。若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的 （
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
D
）A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题干需求：在平均成绩相同的前提下比较两名同学成绩的稳定性，因此需要逐一回忆各选项对应统计量的实际意义：平均数反映平均水平，众数、中位数反映数据的集中趋势，只有方差是衡量数据波动程度（稳定性）的统计量，由此可锁定正确答案。
【解析】
我们对各选项对应的统计量作用逐一分析：
A. 平均数：反映的是一组数据的平均水平，题干已经明确两人平均成绩相同，无法比较稳定性，排除；
B. 众数：是一组数据中出现次数最多的数值，反映数据的集中趋势，和成绩稳定性无关，排除；
C. 中位数：是将数据按大小排序后位于中间位置的数值，同样反映数据的集中趋势，不能衡量稳定性，排除；
D. 方差：是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，因此比较稳定性需要比较方差，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查基础统计量的实际应用，解题关键是区分不同统计量分别反映的数据特征，根据实际场景选择对应的统计量即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干需求：在平均成绩相同的前提下比较两名同学成绩的稳定性，因此需要逐一回忆各选项对应统计量的实际意义：平均数反映平均水平，众数、中位数反映数据的集中趋势，只有方差是衡量数据波动程度（稳定性）的统计量，由此可锁定正确答案。
【解析】
我们对各选项对应的统计量作用逐一分析：
A. 平均数：反映的是一组数据的平均水平，题干已经明确两人平均成绩相同，无法比较稳定性，排除；
B. 众数：是一组数据中出现次数最多的数值，反映数据的集中趋势，和成绩稳定性无关，排除；
C. 中位数：是将数据按大小排序后位于中间位置的数值，同样反映数据的集中趋势，不能衡量稳定性，排除；
D. 方差：是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，因此比较稳定性需要比较方差，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；统计量的选择
【点评】
本题考查基础统计量的实际应用，解题关键是区分不同统计量分别反映的数据特征，根据实际场景选择对应的统计量即可。
【难度系数】
0.9
2.某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数.
|年龄/岁|12岁|13岁|14岁|15岁|16岁|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|人数|2|
|8|3|
在下列统计量中，不受影响的是 （
A.中位数，方差
B.众数，方差
C.平均数，中位数
D.中位数，众数
|年龄/岁|12岁|13岁|14岁|15岁|16岁|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|人数|2|
|8|3|在下列统计量中，不受影响的是 （
D
）A.中位数，方差
B.众数，方差
C.平均数，中位数
D.中位数，众数
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先从已知总人数入手，先算出13岁和14岁队员的总人数，再结合众数、中位数、平均数、方差的定义分别判断这四个统计量是否受13岁、14岁人数分配的影响：
1. 先回忆各统计量的核心特点：众数是出现次数最多的数据，中位数是排序后中间位置的数（偶数个数据是中间两个的平均数），平均数和所有数据的总和有关，方差和数据的离散程度、平均数都有关；
2. 对比15岁的人数和13、14岁的总人数，判断众数是否变化；
3. 计算中位数的位置，结合各年龄段人数的分布判断中位数是否变化；
4. 分析平均数、方差是否和未知人数有关，即可得出结论。
【解析】
首先计算13岁和14岁的总人数：$20 - 2 - 8 - 3 = 7$（人）
1. 判断众数：15岁队员有8人，比13岁和14岁的总人数7人还多，因此无论13岁、14岁的人数怎么分配，15岁的人数都是最多的，众数固定为15岁，不受影响。
2. 判断中位数：20个数据从小到大排列后，中位数是第10个和第11个数据的平均数。前2个数据是12岁，接下来7个数据是13岁和14岁，因此前$2+7=9$个数据都小于等于14岁，第10个、第11个数据都是15岁，因此中位数固定为$\frac{15+15}{2}=15$岁，不受影响。
3. 判断平均数：总年龄$=12×2 + 13x + 14×(7-x) + 15×8 + 16×3$（$x$为13岁人数），$x$变化时总年龄会变化，因此平均数随$x$变化而变化，受影响。
4. 判断方差：方差的计算和平均数、每个数据的取值都有关，平均数会变化，且13岁、14岁人数分配不同时数据的离散程度也不同，因此方差受影响。
综上，不受影响的是中位数和众数，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；统计量的含义
【点评】
本题重点考查对不同统计量特征的理解，不需要计算具体数值，只需结合各统计量的本质属性分析即可，解题时要注意中位数需要先将数据排序再确定中间位置的数值。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知总人数入手，先算出13岁和14岁队员的总人数，再结合众数、中位数、平均数、方差的定义分别判断这四个统计量是否受13岁、14岁人数分配的影响：
1. 先回忆各统计量的核心特点：众数是出现次数最多的数据，中位数是排序后中间位置的数（偶数个数据是中间两个的平均数），平均数和所有数据的总和有关，方差和数据的离散程度、平均数都有关；
2. 对比15岁的人数和13、14岁的总人数，判断众数是否变化；
3. 计算中位数的位置，结合各年龄段人数的分布判断中位数是否变化；
4. 分析平均数、方差是否和未知人数有关，即可得出结论。
【解析】
首先计算13岁和14岁的总人数：$20 - 2 - 8 - 3 = 7$（人）
1. 判断众数：15岁队员有8人，比13岁和14岁的总人数7人还多，因此无论13岁、14岁的人数怎么分配，15岁的人数都是最多的，众数固定为15岁，不受影响。
2. 判断中位数：20个数据从小到大排列后，中位数是第10个和第11个数据的平均数。前2个数据是12岁，接下来7个数据是13岁和14岁，因此前$2+7=9$个数据都小于等于14岁，第10个、第11个数据都是15岁，因此中位数固定为$\frac{15+15}{2}=15$岁，不受影响。
3. 判断平均数：总年龄$=12×2 + 13x + 14×(7-x) + 15×8 + 16×3$（$x$为13岁人数），$x$变化时总年龄会变化，因此平均数随$x$变化而变化，受影响。
4. 判断方差：方差的计算和平均数、每个数据的取值都有关，平均数会变化，且13岁、14岁人数分配不同时数据的离散程度也不同，因此方差受影响。
综上，不受影响的是中位数和众数，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；统计量的含义
【点评】
本题重点考查对不同统计量特征的理解，不需要计算具体数值，只需结合各统计量的本质属性分析即可，解题时要注意中位数需要先将数据排序再确定中间位置的数值。
【难度系数】
0.7
3.(2025·徐州睢宁县三模)某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是:180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高
（
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
（
A
）A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
答案
3.A
解析
【分析】
解题时需分别计算换人前后的平均数和方差，再对比二者的变化即可得出结论。首先根据“平均数=数据总和÷数据个数”计算两次的平均数，判断平均数的增减；再根据方差公式计算两次的方差，判断方差的变化。
【解析】
解：①计算平均数：
换人前6名队员身高总和为：$180+184+188+190+192+194=1128\ \mathrm{cm}$
换人前平均数：$\overline{x}_1=\frac{1128}{6}=188\ \mathrm{cm}$
换人后身高总和为：$1128-192+186=1122\ \mathrm{cm}$
换人后平均数：$\overline{x}_2=\frac{1122}{6}=187\ \mathrm{cm}$
$\because 187＜188$，$\therefore$平均数变小。
②计算方差：
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{6}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]$
$=\frac{1}{6}×(64+16+0+4+16+36)=\frac{68}{3}$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{6}×[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]$
$=\frac{1}{6}×(49+9+1+9+1+49)=\frac{59}{3}$
$\because \frac{59}{3}＜\frac{68}{3}$，$\therefore$方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；统计量的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的变化判断，熟练掌握两个统计量的计算公式是解题核心，也可直接观察数据波动程度判断方差：换人后新数据更接近平均数，数据波动减小，方差更小。
【难度系数】
0.8
解题时需分别计算换人前后的平均数和方差，再对比二者的变化即可得出结论。首先根据“平均数=数据总和÷数据个数”计算两次的平均数，判断平均数的增减；再根据方差公式计算两次的方差，判断方差的变化。
【解析】
解：①计算平均数：
换人前6名队员身高总和为：$180+184+188+190+192+194=1128\ \mathrm{cm}$
换人前平均数：$\overline{x}_1=\frac{1128}{6}=188\ \mathrm{cm}$
换人后身高总和为：$1128-192+186=1122\ \mathrm{cm}$
换人后平均数：$\overline{x}_2=\frac{1122}{6}=187\ \mathrm{cm}$
$\because 187＜188$，$\therefore$平均数变小。
②计算方差：
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{6}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]$
$=\frac{1}{6}×(64+16+0+4+16+36)=\frac{68}{3}$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{6}×[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]$
$=\frac{1}{6}×(49+9+1+9+1+49)=\frac{59}{3}$
$\because \frac{59}{3}＜\frac{68}{3}$，$\therefore$方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；统计量的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的变化判断，熟练掌握两个统计量的计算公式是解题核心，也可直接观察数据波动程度判断方差：换人后新数据更接近平均数，数据波动减小，方差更小。
【难度系数】
0.8
4.将数据5,7,9,13,11按从小到大的顺序排序后,将数据分成两组,使得组内离差平方和最小,则数据的分组情况共有（
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
18元
24元
A
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
18元
24元
答案
4.A
解析
【分析】
首先将给定数据按从小到大排序，要解决组内离差平方和最小的分组问题，需明确：离差平方和反映组内数据的离散程度，数据越接近，离差平方和越小。对于排序后的有序数列，要让两组离差平方和总和最小，最优分组一定是连续分割（若将相邻的数分到不同组，会增大两组的离散程度，导致离差平方和变大）。5个数据分非空两组的分割点共4个，分别计算4种连续分割方式的总离差平方和，比较得到最小值对应的分组数即可。
【解析】
第一步：排序数据，原数据5,7,9,13,11从小到大排序为：$\boldsymbol{5,7,9,11,13}$。
第二步：离差平方和公式：对于一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均值为$\bar{x}$，则组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，单元素组的离差平方和为0。
第三步：枚举所有连续非空分组，计算总离差平方和：
1. 分组为$\{5\}$和$\{7,9,11,13\}$：第二组平均值为$10$，总$S=0+(7-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2=20$。
2. 分组为$\{5,7\}$和$\{9,11,13\}$：第一组平均值为$6$，第二组平均值为$11$，总$S=(5-6)^2+(7-6)^2+(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=10$。
3. 分组为$\{5,7,9\}$和$\{11,13\}$：第一组平均值为$7$，第二组平均值为$12$，总$S=(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-12)^2+(13-12)^2=10$。
4. 分组为$\{5,7,9,11\}$和$\{13\}$：第一组平均值为$8$，总$S=(5-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(11-8)^2+0=20$。
第四步：比较得总离差平方和最小为10，对应2种分组情况。
【答案】
A
【知识点】
离差平方和计算，数据排序，统计分组
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，掌握有序数列最优分组为连续分割的规律，通过枚举计算即可得到正确结果，解题时无需考虑无意义的非连续分组，可降低计算量。
【难度系数】
0.7
首先将给定数据按从小到大排序，要解决组内离差平方和最小的分组问题，需明确：离差平方和反映组内数据的离散程度，数据越接近，离差平方和越小。对于排序后的有序数列，要让两组离差平方和总和最小，最优分组一定是连续分割（若将相邻的数分到不同组，会增大两组的离散程度，导致离差平方和变大）。5个数据分非空两组的分割点共4个，分别计算4种连续分割方式的总离差平方和，比较得到最小值对应的分组数即可。
【解析】
第一步：排序数据，原数据5,7,9,13,11从小到大排序为：$\boldsymbol{5,7,9,11,13}$。
第二步：离差平方和公式：对于一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均值为$\bar{x}$，则组内离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，单元素组的离差平方和为0。
第三步：枚举所有连续非空分组，计算总离差平方和：
1. 分组为$\{5\}$和$\{7,9,11,13\}$：第二组平均值为$10$，总$S=0+(7-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2=20$。
2. 分组为$\{5,7\}$和$\{9,11,13\}$：第一组平均值为$6$，第二组平均值为$11$，总$S=(5-6)^2+(7-6)^2+(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2=10$。
3. 分组为$\{5,7,9\}$和$\{11,13\}$：第一组平均值为$7$，第二组平均值为$12$，总$S=(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-12)^2+(13-12)^2=10$。
4. 分组为$\{5,7,9,11\}$和$\{13\}$：第一组平均值为$8$，总$S=(5-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(11-8)^2+0=20$。
第四步：比较得总离差平方和最小为10，对应2种分组情况。
【答案】
A
【知识点】
离差平方和计算，数据排序，统计分组
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，掌握有序数列最优分组为连续分割的规律，通过枚举计算即可得到正确结果，解题时无需考虑无意义的非连续分组，可降低计算量。
【难度系数】
0.7
5.某水果店销售单价分别为11元，18元，24元的三种水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图(如图)，可计算出该店当月销售出水果的平均价格是
15.3
元. 答案
5.15.3
解析
【分析】
本题要求当月销售水果的平均价格，属于加权平均数的计算问题。首先观察扇形统计图，图中的百分比对应不同单价水果的销售量占总销量的权重，解题时只需用每种水果的单价乘它对应的销售量占比，再将三个乘积相加，即可得到加权平均价格，也就是所求的平均售价。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，平均价格等于各单价乘对应销量占比的和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均价格}&=11×60\% + 18×15\% + 24×25\%\\&=11×0.6 + 18×0.15 + 24×0.25\\&=6.6 + 2.7 + 6\\&=15.3\ (\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
15.3
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确扇形统计图中的百分比就是加权平均数计算的权重，掌握加权平均数的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题要求当月销售水果的平均价格，属于加权平均数的计算问题。首先观察扇形统计图，图中的百分比对应不同单价水果的销售量占总销量的权重，解题时只需用每种水果的单价乘它对应的销售量占比，再将三个乘积相加，即可得到加权平均价格，也就是所求的平均售价。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，平均价格等于各单价乘对应销量占比的和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均价格}&=11×60\% + 18×15\% + 24×25\%\\&=11×0.6 + 18×0.15 + 24×0.25\\&=6.6 + 2.7 + 6\\&=15.3\ (\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
15.3
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确扇形统计图中的百分比就是加权平均数计算的权重，掌握加权平均数的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6.一组数据方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{8}×[(x_1 -4)^2 + (x_2 -4)^2 + \dots + (x_8 -4)^2]$，则该组数据的总和是
32
。答案
6.32
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的标准计算公式，明确公式中各部分的含义：分母代表数据的总个数$n$，括号内减去的常数是这组数据的平均数$\bar{x}$。接下来对照题目给出的方差公式，提取出数据个数和平均数的数值，最后根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系就能算出结果。
【解析】
解：方差的一般计算公式为 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$为数据总个数，$\bar{x}$为这组数据的平均数。
对照题目给出的方差公式 $s^2=\frac{1}{8}×[(x_1 -4)^2 + (x_2 -4)^2 + \dots + (x_8 -4)^2]$，可得：
数据总个数$n=8$，数据的平均数$\bar{x}=4$。
因此该组数据的总和为 $n×\bar{x}=8×4=32$。
【答案】
32
【知识点】
1. 方差公式
2. 平均数定义
3. 总和计算方法
【点评】
本题主要考查对方差公式各参数含义的理解，解题核心是从给出的方差表达式中准确提取数据个数和平均数，属于基础题型，熟练掌握统计基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方差的标准计算公式，明确公式中各部分的含义：分母代表数据的总个数$n$，括号内减去的常数是这组数据的平均数$\bar{x}$。接下来对照题目给出的方差公式，提取出数据个数和平均数的数值，最后根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系就能算出结果。
【解析】
解：方差的一般计算公式为 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$为数据总个数，$\bar{x}$为这组数据的平均数。
对照题目给出的方差公式 $s^2=\frac{1}{8}×[(x_1 -4)^2 + (x_2 -4)^2 + \dots + (x_8 -4)^2]$，可得：
数据总个数$n=8$，数据的平均数$\bar{x}=4$。
因此该组数据的总和为 $n×\bar{x}=8×4=32$。
【答案】
32
【知识点】
1. 方差公式
2. 平均数定义
3. 总和计算方法
【点评】
本题主要考查对方差公式各参数含义的理解，解题核心是从给出的方差表达式中准确提取数据个数和平均数，属于基础题型，熟练掌握统计基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图(单位:岁),则这组数据的第三四分位数是
14
岁. 答案
7.14
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆箱线图的结构对应的统计量：箱线图由五部分组成，从下到上依次为最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数（第二四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、最大值。因此要求第三四分位数，只需要找到箱线图中矩形箱子的上边缘对应的年龄数值即可。
【解析】
观察该箱线图：
最下方的横线对应最小值10岁，
箱子下边缘对应第一四分位数11岁，
箱子中间的横线对应中位数13岁，
箱子上边缘对应第三四分位数14岁，
最上方的横线对应最大值15岁。
因此这组数据的第三四分位数是14岁。
【答案】
14
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计量含义，就能直接得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要回忆箱线图的结构对应的统计量：箱线图由五部分组成，从下到上依次为最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数（第二四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、最大值。因此要求第三四分位数，只需要找到箱线图中矩形箱子的上边缘对应的年龄数值即可。
【解析】
观察该箱线图：
最下方的横线对应最小值10岁，
箱子下边缘对应第一四分位数11岁，
箱子中间的横线对应中位数13岁，
箱子上边缘对应第三四分位数14岁，
最上方的横线对应最大值15岁。
因此这组数据的第三四分位数是14岁。
【答案】
14
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计量含义，就能直接得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.85
