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2.【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x(单位:cm)表示.将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如图所示.
【数据分析与运用】
(1)求图①中a的值.
(2)A,B,C,D,E五组数据的平均数分别取4,5,6,7,8,计算乙园样本数据的平均数.
(3)下列结论一定正确的是
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
(4)结合市场情况，将C,D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x(单位:cm)表示.将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如图所示.
【数据分析与运用】
(1)求图①中a的值.
(2)A,B,C,D,E五组数据的平均数分别取4,5,6,7,8,计算乙园样本数据的平均数.
(3)下列结论一定正确的是
①
.（填序号）①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
(4)结合市场情况，将C,D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
答案
2.(1)解:由题意,得$a=200-(15+70+50+25)=40$.
(2)解:$\frac{1}{200}×(15×4+50×5+70×6+50×7+15×8)=6$.
答:乙园样本数据的平均数为6.
(3)①
(4)解:乙园的柑橘品质更优.理由如下:
甲园一级柑橘所占比例为$\frac{50+40}{200}×100\%=45\%$,
乙园一级柑橘所占比例为$\frac{70+50}{200}×100\%=60\%$,
$45\%＜60\%$,因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
(2)解:$\frac{1}{200}×(15×4+50×5+70×6+50×7+15×8)=6$.
答:乙园样本数据的平均数为6.
(3)①
(4)解:乙园的柑橘品质更优.理由如下:
甲园一级柑橘所占比例为$\frac{50+40}{200}×100\%=45\%$,
乙园一级柑橘所占比例为$\frac{70+50}{200}×100\%=60\%$,
$45\%＜60\%$,因此可以认为乙园的柑橘品质更优.
解析
【分析】
(1) 已知从甲园随机选取的样本总数为200，频数分布直方图中各组频数之和等于样本总数量，因此用总数量减去A、B、D、E四组的频数即可求出a的值。
(2) 分组数据的平均数用加权平均数公式计算：将每组的平均数作为该组数据的代表值，乘以对应组的频数，所有组的乘积求和后除以总样本数即可得到乙园样本的平均数。
(3) 逐个判断3个结论：①中位数是将数据从小到大排列后第100、101个数据的平均数，计算两组的累计频数即可判断第100、101个数据所在组；②众数是出现次数最多的数值，甲园B组频数最高，众数在B组，因此②错误；③极差是最大值与最小值的差，分组数据无法确定两组的具体最大、最小值，因此差不一定相等，③错误，仅①正确。
(4) 一级柑橘品质最优，因此分别计算两园一级柑橘（C、D组）的样本占比，用样本占比估计总体占比，占比更高的园子柑橘品质更优。
【解析】
(1) 由样本总个数为200，各组频数之和等于总个数可得：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{200}×(15×4 + 50×5 + 70×6 + 50×7 + 15×8)=6$
即乙园样本数据的平均数为6。
(3) 对三个结论逐一分析：
① 甲园累计频数：A组15，B组累计$15+70=85$，C组累计$85+40=125$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组；乙园累计频数：A组15，B组累计$15+50=65$，C组累计$65+70=135$，第100、101个数据均在C组，中位数在C组，故①正确；
② 甲园B组频数最高，众数在B组，故②错误；
③ 分组数据无法确定两组的最大值和最小值，因此极差不一定相等，故③错误。
综上，正确的是①。
(4) 分别计算两园一级柑橘的样本占比：
甲园一级柑橘占比：$\frac{50+40}{200}×100\%=45\%$
乙园一级柑橘占比：$\frac{70+50}{200}×100\%=60\%$
因为$45\%＜60\%$，乙园一级柑橘占比更高，因此可估计乙园的柑橘品质更优。
【答案】
(1) $a=40$
(2) 乙园样本数据的平均数为6
(3) $\boldsymbol{①}$
(4) 乙园的柑橘品质更优，理由：乙园一级柑橘占比60%，高于甲园的45%，因此乙园品质更优。
【知识点】
1. 频数分布直方图
2. 加权平均数计算
3. 样本估计总体
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查统计知识的应用，需要熟练掌握频数计算、加权平均数的求解方法，理解中位数、众数、极差等统计量的含义，同时要具备用样本特征推断总体特征的应用能力，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 已知从甲园随机选取的样本总数为200，频数分布直方图中各组频数之和等于样本总数量，因此用总数量减去A、B、D、E四组的频数即可求出a的值。
(2) 分组数据的平均数用加权平均数公式计算：将每组的平均数作为该组数据的代表值，乘以对应组的频数，所有组的乘积求和后除以总样本数即可得到乙园样本的平均数。
(3) 逐个判断3个结论：①中位数是将数据从小到大排列后第100、101个数据的平均数，计算两组的累计频数即可判断第100、101个数据所在组；②众数是出现次数最多的数值，甲园B组频数最高，众数在B组，因此②错误；③极差是最大值与最小值的差，分组数据无法确定两组的具体最大、最小值，因此差不一定相等，③错误，仅①正确。
(4) 一级柑橘品质最优，因此分别计算两园一级柑橘（C、D组）的样本占比，用样本占比估计总体占比，占比更高的园子柑橘品质更优。
【解析】
(1) 由样本总个数为200，各组频数之和等于总个数可得：
$a=200-(15+70+50+25)=40$
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{200}×(15×4 + 50×5 + 70×6 + 50×7 + 15×8)=6$
即乙园样本数据的平均数为6。
(3) 对三个结论逐一分析：
① 甲园累计频数：A组15，B组累计$15+70=85$，C组累计$85+40=125$，因此第100、101个数据均在C组，中位数在C组；乙园累计频数：A组15，B组累计$15+50=65$，C组累计$65+70=135$，第100、101个数据均在C组，中位数在C组，故①正确；
② 甲园B组频数最高，众数在B组，故②错误；
③ 分组数据无法确定两组的最大值和最小值，因此极差不一定相等，故③错误。
综上，正确的是①。
(4) 分别计算两园一级柑橘的样本占比：
甲园一级柑橘占比：$\frac{50+40}{200}×100\%=45\%$
乙园一级柑橘占比：$\frac{70+50}{200}×100\%=60\%$
因为$45\%＜60\%$，乙园一级柑橘占比更高，因此可估计乙园的柑橘品质更优。
【答案】
(1) $a=40$
(2) 乙园样本数据的平均数为6
(3) $\boldsymbol{①}$
(4) 乙园的柑橘品质更优，理由：乙园一级柑橘占比60%，高于甲园的45%，因此乙园品质更优。
【知识点】
1. 频数分布直方图
2. 加权平均数计算
3. 样本估计总体
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查统计知识的应用，需要熟练掌握频数计算、加权平均数的求解方法，理解中位数、众数、极差等统计量的含义，同时要具备用样本特征推断总体特征的应用能力，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
