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12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DAB=120°,AB=4,AD=6,BC=8,点P在直线BC上方,△PBC的面积为6,则|DP−BP|的最大值为
$\sqrt{43}$
.答案
12. $\sqrt{43}$
三、解答题
13.如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F.
(1)求证:BD=BE；
(2)连接CE，若AC=4，求CE的长度.
13.如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F.
(1)求证:BD=BE；
(2)连接CE，若AC=4，求CE的长度.
答案
13. (1)证明:$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ FAE=∠ FCD$,
$\because DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AFE=∠ CFD=90°$,
$\therefore ∠ FAE+∠ DEB =90°, ∠ FCD+∠ FDC=90°$,
$\therefore ∠ DEB=∠ FDC$,
又$\because ∠ FDC=∠ EDB$,
$\therefore ∠ DEB=∠ EDB$,
$\therefore BD=BE$.
(2)$\because △ ABC$ 是等边三角形,$AC=4$,
$\therefore BC=AB=4,∠ ABC=60°$,
$\because AD$ 是等边$△ ABC$ 的中线,由(1)可知 $BD=BE$,
$\therefore BE=BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$,
$\therefore AE=AB+BE=4+2=6$,
$\because ∠ ABC=∠ BDE+∠ BED$,由(1)可知 $∠ BDE=∠ BED$,
$\therefore ∠ BED=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$,
$\because DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AFE=90°$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$,
$\therefore EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
$CF=AC-AF=4-3=1$,
$\therefore CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$.
$\therefore ∠ FAE=∠ FCD$,
$\because DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AFE=∠ CFD=90°$,
$\therefore ∠ FAE+∠ DEB =90°, ∠ FCD+∠ FDC=90°$,
$\therefore ∠ DEB=∠ FDC$,
又$\because ∠ FDC=∠ EDB$,
$\therefore ∠ DEB=∠ EDB$,
$\therefore BD=BE$.
(2)$\because △ ABC$ 是等边三角形,$AC=4$,
$\therefore BC=AB=4,∠ ABC=60°$,
$\because AD$ 是等边$△ ABC$ 的中线,由(1)可知 $BD=BE$,
$\therefore BE=BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$,
$\therefore AE=AB+BE=4+2=6$,
$\because ∠ ABC=∠ BDE+∠ BED$,由(1)可知 $∠ BDE=∠ BED$,
$\therefore ∠ BED=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$,
$\because DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AFE=90°$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$,
$\therefore EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
$CF=AC-AF=4-3=1$,
$\therefore CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2}=2\sqrt{7}$.
14.如图,已知长方形OABC的顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,OA=8,OC=4,D,E分别为OA,BC上的两点,将长方形OABC沿直线DE折叠后,点A刚好与点C重合,点B落在点F处,再将其打开、展平.
(1)点D的坐标是
(2)设动点P从点D出发,以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动,运动时间为t秒,当$S_{△ PDE}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}$时,求t的值.
(1)点D的坐标是
$(3,0)$
,点E的坐标是$(5,4)$
,点F的坐标是$(\dfrac{16}{5},\dfrac{32}{5})$
;(2)设动点P从点D出发,以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动,运动时间为t秒,当$S_{△ PDE}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}$时,求t的值.
答案
14.(1)$(3,0)\quad(5,4)\quad (\dfrac{16}{5},\dfrac{32}{5})$
(2)当点 $P$ 在线段 $DA$ 上,$DP=\dfrac{5}{2}$时,满足条件,此时 $t=2.5$.
当点 $P$ 在 $AB$ 上,$△ PDE$ 的面积的最小值 $=\dfrac{1}{2}×3×4=6＞5$,不满足条件,
当点 $P$ 在线段 $BE$ 上,$BP=0.5$ 时,满足条件,此时 $t=5+4+0.5=9.5$.
当点 $P$ 在线段 $EC$ 上,$EP=2.5$ 时,满足条件,此时 $t=5+4+5.5=14.5$.
综上所述,满足条件的 $t$ 的值为 2.5 或 9.5 或 14.5.
(2)当点 $P$ 在线段 $DA$ 上,$DP=\dfrac{5}{2}$时,满足条件,此时 $t=2.5$.
当点 $P$ 在 $AB$ 上,$△ PDE$ 的面积的最小值 $=\dfrac{1}{2}×3×4=6＞5$,不满足条件,
当点 $P$ 在线段 $BE$ 上,$BP=0.5$ 时,满足条件,此时 $t=5+4+0.5=9.5$.
当点 $P$ 在线段 $EC$ 上,$EP=2.5$ 时,满足条件,此时 $t=5+4+5.5=14.5$.
综上所述,满足条件的 $t$ 的值为 2.5 或 9.5 或 14.5.
