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10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E为CD的中点,P,Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当四边形APQE周长最小时,BP的长为(
A.1
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4
D
)A.1
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4
答案
10.D
解析
【分析】
四边形APQE的周长为AP+PQ+QE+EA，其中PQ=2、线段EA的长度固定，因此要让周长最小，只需使AP+QE的和最小即可。这属于最短路径最值问题，我们可以结合平移、轴对称的性质，将两条分散的线段转化到同一直线上，利用“两点之间线段最短”求解：先作点E关于BC的对称点E'，将点A沿BC方向向右平移PQ的长度（2个单位）得到点A'，此时AP=A'Q、QE=QE'，则AP+QE=A'Q+QE'，当A'、Q、E'三点共线时，A'Q+QE'的和最小，最后求出对应点的位置即可得到BP的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系，设点B为坐标原点(0,0)，由题意得各点坐标：A(0,4)，C(8,0)，D(8,4)，E为CD中点，故E(8,2)。
1. 作E关于BC（x轴）的对称点，得E'(8,-2)；将点A向右平移2个单位，得A'(2,4)。由平移性质可知AP=A'Q，由对称性质可知QE=QE'，因此AP+QE=A'Q+QE'。
2. 当A'、Q、E'三点共线时，A'Q+QE'的和最小。设直线A'E'的解析式为y=kx+b，将A'(2,4)、E'(8,-2)代入得：
$\begin{cases} 2k+b=4 \\ 8k+b=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=6 \end{cases}$，即直线解析式为$y=-x+6$。
3. 点Q在BC上，纵坐标为0，代入解析式得$0=-x+6$，解得$x=6$，即Q点坐标为(6,0)。
4. 已知PQ=2，P在Q的左侧，因此P点的横坐标为$6-2=4$，即BP的长度为4。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，矩形的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，解题的核心是通过平移和对称将动态的线段和转化为两点之间的最短距离，结合平面直角坐标系求解更加直观清晰，是几何最值类的常考题型。
【难度系数】
0.6
四边形APQE的周长为AP+PQ+QE+EA，其中PQ=2、线段EA的长度固定，因此要让周长最小，只需使AP+QE的和最小即可。这属于最短路径最值问题，我们可以结合平移、轴对称的性质，将两条分散的线段转化到同一直线上，利用“两点之间线段最短”求解：先作点E关于BC的对称点E'，将点A沿BC方向向右平移PQ的长度（2个单位）得到点A'，此时AP=A'Q、QE=QE'，则AP+QE=A'Q+QE'，当A'、Q、E'三点共线时，A'Q+QE'的和最小，最后求出对应点的位置即可得到BP的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系，设点B为坐标原点(0,0)，由题意得各点坐标：A(0,4)，C(8,0)，D(8,4)，E为CD中点，故E(8,2)。
1. 作E关于BC（x轴）的对称点，得E'(8,-2)；将点A向右平移2个单位，得A'(2,4)。由平移性质可知AP=A'Q，由对称性质可知QE=QE'，因此AP+QE=A'Q+QE'。
2. 当A'、Q、E'三点共线时，A'Q+QE'的和最小。设直线A'E'的解析式为y=kx+b，将A'(2,4)、E'(8,-2)代入得：
$\begin{cases} 2k+b=4 \\ 8k+b=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=6 \end{cases}$，即直线解析式为$y=-x+6$。
3. 点Q在BC上，纵坐标为0，代入解析式得$0=-x+6$，解得$x=6$，即Q点坐标为(6,0)。
4. 已知PQ=2，P在Q的左侧，因此P点的横坐标为$6-2=4$，即BP的长度为4。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，矩形的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，解题的核心是通过平移和对称将动态的线段和转化为两点之间的最短距离，结合平面直角坐标系求解更加直观清晰，是几何最值类的常考题型。
【难度系数】
0.6
11.若代数式$\frac{\sqrt{2x - 6}}{x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$x≥3$
。答案
11.$x≥3$
解析
【分析】
要确定代数式有意义的x取值范围，需先明确代数式各部分的限制条件：首先分子是二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；其次代数式为分式形式，分母不能为0。我们分别列出对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到最终的x取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{2x - 6}}{x}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数为非负数：
$2x - 6 ≥ 0$
解不等式：移项得$2x ≥ 6$，系数化为1得$x ≥ 3$。
2. 分式的分母不为0：
$x ≠ 0$
由于$x ≥ 3$的范围已经满足$x ≠ 0$的要求，因此综合两个条件，x的取值范围为$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式取值范围求解的基础题型，解题核心是找准所有隐含的限制条件，求解后取各解集的公共部分即可，注意不要遗漏分母不为0的限制要求。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义的x取值范围，需先明确代数式各部分的限制条件：首先分子是二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；其次代数式为分式形式，分母不能为0。我们分别列出对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到最终的x取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{2x - 6}}{x}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数为非负数：
$2x - 6 ≥ 0$
解不等式：移项得$2x ≥ 6$，系数化为1得$x ≥ 3$。
2. 分式的分母不为0：
$x ≠ 0$
由于$x ≥ 3$的范围已经满足$x ≠ 0$的要求，因此综合两个条件，x的取值范围为$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式取值范围求解的基础题型，解题核心是找准所有隐含的限制条件，求解后取各解集的公共部分即可，注意不要遗漏分母不为0的限制要求。
【难度系数】
0.8
12.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(6,0),(2,4),则点B的坐标为
$(8,4)$
. 答案
12.$(8,4)$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平行四边形的核心性质：对边平行且相等。观察坐标系可知，边OA在x轴上，长度为6，因此与OA平行且相等的边BC也平行于x轴，长度为6，即点B和点C的纵坐标相同，点B的横坐标等于点C的横坐标加上OA的长度；也可以用平移的思路思考：点O平移到点C的平移规律是向右平移2个单位、向上平移4个单位，将点A按照相同规律平移即可得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，OA=BC。
∵O(0,0)，A(6,0)，
∴OA的长度为6，且OA平行于x轴，
∴BC也平行于x轴，且BC=6，
∵C点坐标为(2,4)，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，
∴点B的纵坐标为4，横坐标为2+6=8，
即点B的坐标为(8,4)。
【答案】
$(8,4)$
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征；平移的性质
【点评】
本题是平行四边形性质与平面直角坐标系的基础结合题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合坐标系中平行于x轴的点纵坐标相同的特点求解，思路灵活，也可通过平移规律快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆平行四边形的核心性质：对边平行且相等。观察坐标系可知，边OA在x轴上，长度为6，因此与OA平行且相等的边BC也平行于x轴，长度为6，即点B和点C的纵坐标相同，点B的横坐标等于点C的横坐标加上OA的长度；也可以用平移的思路思考：点O平移到点C的平移规律是向右平移2个单位、向上平移4个单位，将点A按照相同规律平移即可得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，OA=BC。
∵O(0,0)，A(6,0)，
∴OA的长度为6，且OA平行于x轴，
∴BC也平行于x轴，且BC=6，
∵C点坐标为(2,4)，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，
∴点B的纵坐标为4，横坐标为2+6=8，
即点B的坐标为(8,4)。
【答案】
$(8,4)$
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征；平移的性质
【点评】
本题是平行四边形性质与平面直角坐标系的基础结合题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合坐标系中平行于x轴的点纵坐标相同的特点求解，思路灵活，也可通过平移规律快速得到结果。
【难度系数】
0.8
13.如图,已知正比例函数$y_1=kx$与一次函数$y_2=-x+b$的图象相交于点P,下面有四个结论:①$k＞0$;②$b＞0$;③当$x＞0$时,$y_1＞0$;④当$x＜-2$时,$kx＞-x+b$,其中正确的是
①③
(只填序号).答案
13.①③
解析
【分析】
解题时结合正比例函数、一次函数的图象性质，逐个判断4个结论：
1. 先根据正比例函数图象经过的象限判断k的符号，验证结论①；
2. 根据一次函数与y轴的交点位置判断b的符号，验证结论②；
3. 观察x＞0时正比例函数图象与x轴的位置关系，判断y₁的符号，验证结论③；
4. 要判断kx＞-x+b即y₁＞y₂的x取值范围，观察交点P两侧两个函数图象的上下位置，验证结论④。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 正比例函数$y_1=kx$的图象经过第一、三象限，根据正比例函数的性质，当$k＞0$时图象过一、三象限，因此$k＞0$，①正确；
② 一次函数$y_2=-x+b$的图象与y轴交于负半轴，当$x=0$时$y_2=b$，因此$b＜0$，②错误；
③ 观察正比例函数图象，当$x＞0$时，图象位于x轴上方，对应$y_1＞0$，③正确；
④ 两个函数交点P的横坐标为-2，观察图象可知：当$x＜-2$时，$y_1$的图象在$y_2$的下方，即$kx ＜ -x + b$，只有当$x＞-2$时才有$kx ＞ -x + b$，因此④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象性质，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数部分的常见题型，核心考查数形结合思想的应用，解题时要熟练掌握一次函数图象中k、b的符号和图象位置的对应关系，能通过图象的上下位置直接比较两个函数的函数值大小。
【难度系数】
0.7
解题时结合正比例函数、一次函数的图象性质，逐个判断4个结论：
1. 先根据正比例函数图象经过的象限判断k的符号，验证结论①；
2. 根据一次函数与y轴的交点位置判断b的符号，验证结论②；
3. 观察x＞0时正比例函数图象与x轴的位置关系，判断y₁的符号，验证结论③；
4. 要判断kx＞-x+b即y₁＞y₂的x取值范围，观察交点P两侧两个函数图象的上下位置，验证结论④。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 正比例函数$y_1=kx$的图象经过第一、三象限，根据正比例函数的性质，当$k＞0$时图象过一、三象限，因此$k＞0$，①正确；
② 一次函数$y_2=-x+b$的图象与y轴交于负半轴，当$x=0$时$y_2=b$，因此$b＜0$，②错误；
③ 观察正比例函数图象，当$x＞0$时，图象位于x轴上方，对应$y_1＞0$，③正确；
④ 两个函数交点P的横坐标为-2，观察图象可知：当$x＜-2$时，$y_1$的图象在$y_2$的下方，即$kx ＜ -x + b$，只有当$x＞-2$时才有$kx ＞ -x + b$，因此④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正比例函数图象性质，一次函数图象性质，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数部分的常见题型，核心考查数形结合思想的应用，解题时要熟练掌握一次函数图象中k、b的符号和图象位置的对应关系，能通过图象的上下位置直接比较两个函数的函数值大小。
【难度系数】
0.7
14.如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，O是对角线BD上一动点(点O与端点B，D不重合)，OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为
1
。答案
14.1
解析
【分析】
要解决MN长的最小值问题，首先观察图形特征：正方形ABCD中，OM⊥AD、ON⊥AB，∠A为直角，可先判断四边形ANOM的形状，得到MN与其他线段的等量关系，将求MN的最小值转化为更易求解的线段最值问题；再根据“垂线段最短”确定最值对应的位置，最后结合正方形的性质计算长度即可。
【解析】
连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
又
∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∴四边形ANOM是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴MN=AO（矩形的对角线相等），
因此求MN的最小值等价于求AO的最小值。
∵点O在对角线BD上运动，根据“垂线段最短”，当AO⊥BD时，AO的长度最小。
已知正方形边长为$\sqrt{2}$，由勾股定理可得对角线BD的长度：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$，
在Rt△ABD中，AO是斜边BD上的高，由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}× BD× AO$，
代入数值：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2× AO$，
计算得：$1=AO$，即AO的最小值为1，
∴MN长的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；正方形的性质
【点评】
本题是几何最值类的典型习题，核心是运用转化思想，将未知的MN最值转化为熟悉的点到线段的距离最值问题，解题关键是利用矩形对角线相等的性质建立MN和AO的等量关系，同时结合正方形的性质完成计算，能够很好地考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决MN长的最小值问题，首先观察图形特征：正方形ABCD中，OM⊥AD、ON⊥AB，∠A为直角，可先判断四边形ANOM的形状，得到MN与其他线段的等量关系，将求MN的最小值转化为更易求解的线段最值问题；再根据“垂线段最短”确定最值对应的位置，最后结合正方形的性质计算长度即可。
【解析】
连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
又
∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∴四边形ANOM是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴MN=AO（矩形的对角线相等），
因此求MN的最小值等价于求AO的最小值。
∵点O在对角线BD上运动，根据“垂线段最短”，当AO⊥BD时，AO的长度最小。
已知正方形边长为$\sqrt{2}$，由勾股定理可得对角线BD的长度：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$，
在Rt△ABD中，AO是斜边BD上的高，由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}× BD× AO$，
代入数值：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2× AO$，
计算得：$1=AO$，即AO的最小值为1，
∴MN长的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；正方形的性质
【点评】
本题是几何最值类的典型习题，核心是运用转化思想，将未知的MN最值转化为熟悉的点到线段的距离最值问题，解题关键是利用矩形对角线相等的性质建立MN和AO的等量关系，同时结合正方形的性质完成计算，能够很好地考查学生对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.计算:$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} - 2\sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{10} + \sqrt{8}.$
答案
15.[解]原式$=3\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \frac{2}{5}\sqrt{5} × \sqrt{10} + 2\sqrt{2}$
$=3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3.$
$=3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先化简、再乘除、最后加减”的运算顺序：第一步先把算式中所有非最简二次根式化为最简二次根式；第二步按照二次根式乘除运算法则分别计算除法和乘法部分；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
先化简各二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式按顺序计算：
原式$=3\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{5}}{5} × \sqrt{10} + 2\sqrt{2}$
先计算乘除部分：
$3\sqrt{3}÷\sqrt{3}=3$，
$2×\frac{\sqrt{5}}{5}×\sqrt{10}=\frac{2}{5}×\sqrt{5×10}=\frac{2}{5}×\sqrt{50}=\frac{2}{5}×5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
再计算加减部分：
原式$=3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式乘除运算；二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式的化简方法和运算规则，计算时注意遵循先乘除后加减的运算顺序，避免出现乘法计算错误或者符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先化简、再乘除、最后加减”的运算顺序：第一步先把算式中所有非最简二次根式化为最简二次根式；第二步按照二次根式乘除运算法则分别计算除法和乘法部分；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
先化简各二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式按顺序计算：
原式$=3\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{5}}{5} × \sqrt{10} + 2\sqrt{2}$
先计算乘除部分：
$3\sqrt{3}÷\sqrt{3}=3$，
$2×\frac{\sqrt{5}}{5}×\sqrt{10}=\frac{2}{5}×\sqrt{5×10}=\frac{2}{5}×\sqrt{50}=\frac{2}{5}×5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
再计算加减部分：
原式$=3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式乘除运算；二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式的化简方法和运算规则，计算时注意遵循先乘除后加减的运算顺序，避免出现乘法计算错误或者符号错误。
【难度系数】
0.8
