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一、动脑筋，填一填
小华买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足，他设计了用天平找质量不足的这袋方便面的方案，请你帮他填完整。
小华买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足，他设计了用天平找质量不足的这袋方便面的方案，请你帮他填完整。
答案
3 3 1 平衡 1
解析
【分析】
找质量不足的方便面（次品）的核心思路是：通过合理分组，每次用天平称量时尽可能排除更多的合格产品，减少称量次数。首先把7袋分成尽可能平均的3组，先称数量相同的两组：如果天平平衡，说明次品在没称的那组里；如果不平衡，次品就在较轻的那组里。再对有次品的那组重复分组称量的操作，就能快速找到次品。
【解析】
1. 首先将7袋方便面分成3份（3袋、3袋、1袋），第一个空填3；
2. 第一次称量时，天平两边各放3袋，第二个空填3；
3. 若此时天平平衡，说明已称量的6袋都是合格的，剩下的1袋就是质量不足的，第三个空填1；
4. 若第一次称量不平衡，次品在轻的3袋中，把这3袋分成3份各1袋，第二次称量天平两边各放1袋：如果天平平衡，说明这两袋合格，剩下的1袋是次品，所以第四个空填“平衡”，第五个空填1。
【答案】
3 3 1 平衡 1
【知识点】
找次品问题，天平称量应用，优化策略
【点评】
本题是找次品的典型基础题，考察分组称量的优化思路，该思路能帮助我们用最少的称量次数找到目标物品，和生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
找质量不足的方便面（次品）的核心思路是：通过合理分组，每次用天平称量时尽可能排除更多的合格产品，减少称量次数。首先把7袋分成尽可能平均的3组，先称数量相同的两组：如果天平平衡，说明次品在没称的那组里；如果不平衡，次品就在较轻的那组里。再对有次品的那组重复分组称量的操作，就能快速找到次品。
【解析】
1. 首先将7袋方便面分成3份（3袋、3袋、1袋），第一个空填3；
2. 第一次称量时，天平两边各放3袋，第二个空填3；
3. 若此时天平平衡，说明已称量的6袋都是合格的，剩下的1袋就是质量不足的，第三个空填1；
4. 若第一次称量不平衡，次品在轻的3袋中，把这3袋分成3份各1袋，第二次称量天平两边各放1袋：如果天平平衡，说明这两袋合格，剩下的1袋是次品，所以第四个空填“平衡”，第五个空填1。
【答案】
3 3 1 平衡 1
【知识点】
找次品问题，天平称量应用，优化策略
【点评】
本题是找次品的典型基础题，考察分组称量的优化思路，该思路能帮助我们用最少的称量次数找到目标物品，和生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
二、下面的说法哪个是正确的？在正确的括号里画“√”
小刚要从12个同一种型号的零件中找出一个质量不一样的次品，小丽要从27个同一种型号的零件中找出一个质量不一样的次品。
1. 小丽用的次数一定比小刚多。 （）
2. 小丽用的次数一定比小刚少。 （）
3. 小丽用的次数不一定比小刚多。 （
4. 小丽用的次数一定和小刚同样多。 （）
5. 小丽分的份数要比小刚少。 （）
小刚要从12个同一种型号的零件中找出一个质量不一样的次品，小丽要从27个同一种型号的零件中找出一个质量不一样的次品。
1. 小丽用的次数一定比小刚多。 （）
2. 小丽用的次数一定比小刚少。 （）
3. 小丽用的次数不一定比小刚多。 （
√
）4. 小丽用的次数一定和小刚同样多。 （）
5. 小丽分的份数要比小刚少。 （）
答案
3. √
解析
【分析】
首先明确找次品的最优称量方法：用天平找次品时，把待检测物品分成数量尽量相等的3份，每次称量可以把次品所在范围缩小到原来的1/3。先计算两种情况的最优保证次数：3次称量最多能从27个零件中保证找出次品，因此12个和27个零件保证找到次品的最少次数都是3次。同时要注意，题目中的“用的次数”是实际操作次数，会受称量方法、运气等因素影响，不是固定值，因此不能直接判定两人谁用的次数一定多或者少，据此逐个判断说法即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
1. 小丽和小刚用最优策略时，最多都只用3次就能找到次品，也存在小丽用的次数比小刚少的情况，因此“一定比小刚多”的说法错误。
2. 如果小刚运气好更快找到次品，或者小丽没有用最优策略，小丽用的次数也可能比小刚多，因此“一定比小刚少”的说法错误。
3. 小丽用的次数可能比小刚少，可能和小刚相等，也可能比小刚多，因此“不一定比小刚多”的说法正确。
4. 两人实际操作的次数可能不同，因此“一定同样多”的说法错误。
5. 找次品的最优策略都是分成3份，因此小丽分的份数不一定比小刚少，该说法错误。
【答案】
3. √
【知识点】
1. 找次品问题
2. 三分法称量策略
3. 事件的确定性与不确定性
【点评】
这道题将找次品的知识和可能性的判断结合，需要区分“保证找到次品的最少次数”和“实际称量使用的次数”，避免陷入“物品数量越多，称量次数一定越多”的误区。
【难度系数】
0.7
首先明确找次品的最优称量方法：用天平找次品时，把待检测物品分成数量尽量相等的3份，每次称量可以把次品所在范围缩小到原来的1/3。先计算两种情况的最优保证次数：3次称量最多能从27个零件中保证找出次品，因此12个和27个零件保证找到次品的最少次数都是3次。同时要注意，题目中的“用的次数”是实际操作次数，会受称量方法、运气等因素影响，不是固定值，因此不能直接判定两人谁用的次数一定多或者少，据此逐个判断说法即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
1. 小丽和小刚用最优策略时，最多都只用3次就能找到次品，也存在小丽用的次数比小刚少的情况，因此“一定比小刚多”的说法错误。
2. 如果小刚运气好更快找到次品，或者小丽没有用最优策略，小丽用的次数也可能比小刚多，因此“一定比小刚少”的说法错误。
3. 小丽用的次数可能比小刚少，可能和小刚相等，也可能比小刚多，因此“不一定比小刚多”的说法正确。
4. 两人实际操作的次数可能不同，因此“一定同样多”的说法错误。
5. 找次品的最优策略都是分成3份，因此小丽分的份数不一定比小刚少，该说法错误。
【答案】
3. √
【知识点】
1. 找次品问题
2. 三分法称量策略
3. 事件的确定性与不确定性
【点评】
这道题将找次品的知识和可能性的判断结合，需要区分“保证找到次品的最少次数”和“实际称量使用的次数”，避免陷入“物品数量越多，称量次数一定越多”的误区。
【难度系数】
0.7
1.妈妈买了5个蛋糕，其中4个质量相同，另外一个稍重一些。用天平称，至少称几次一定能找出稍重的这个蛋糕？
答案
至少称2次。
解析
【分析】
要解决“至少称几次一定能找出稍重蛋糕”的问题，需要考虑最坏的称量情况（保证无论次品在哪个位置都能找到），核心思路是每次称量尽可能排除更多的正常蛋糕，通常将物品分成数量尽可能接近的3份来称效率最高。首先我们可以把5个蛋糕分成2个、2个、1个共3份，先称量数量相等的两份，再根据天平的平衡情况判断次品的位置，逐步缩小范围就能算出最少称量次数。
【解析】
步骤1：将5个蛋糕分成3份，每份数量分别为2个、2个、1个。
第一次称量：把两份各2个的蛋糕分别放在天平两端。
若天平平衡：说明剩下的1个就是稍重的蛋糕，此时仅需1次，但这是运气较好的偶然情况，无法保证每次都实现。
若天平不平衡：稍重的蛋糕在天平下沉一端的2个当中，需要进行第二次称量。
步骤2：将下沉端的2个蛋糕分别放在天平两端，下沉的那端放的就是稍重的蛋糕。
综上，要保证一定能找出稍重的蛋糕，至少需要称2次。
【答案】
至少称2次。
【知识点】
找次品问题、最优称量策略
【点评】
本题是找次品类的基础题型，考察学生的逻辑推理能力和统筹优化意识，解题关键是理解“一定能找出”需要考虑最坏情况，掌握将物品尽量分成接近的三份来称量的技巧，就能快速得到最少称量次数。
【难度系数】
0.8
要解决“至少称几次一定能找出稍重蛋糕”的问题，需要考虑最坏的称量情况（保证无论次品在哪个位置都能找到），核心思路是每次称量尽可能排除更多的正常蛋糕，通常将物品分成数量尽可能接近的3份来称效率最高。首先我们可以把5个蛋糕分成2个、2个、1个共3份，先称量数量相等的两份，再根据天平的平衡情况判断次品的位置，逐步缩小范围就能算出最少称量次数。
【解析】
步骤1：将5个蛋糕分成3份，每份数量分别为2个、2个、1个。
第一次称量：把两份各2个的蛋糕分别放在天平两端。
若天平平衡：说明剩下的1个就是稍重的蛋糕，此时仅需1次，但这是运气较好的偶然情况，无法保证每次都实现。
若天平不平衡：稍重的蛋糕在天平下沉一端的2个当中，需要进行第二次称量。
步骤2：将下沉端的2个蛋糕分别放在天平两端，下沉的那端放的就是稍重的蛋糕。
综上，要保证一定能找出稍重的蛋糕，至少需要称2次。
【答案】
至少称2次。
【知识点】
找次品问题、最优称量策略
【点评】
本题是找次品类的基础题型，考察学生的逻辑推理能力和统筹优化意识，解题关键是理解“一定能找出”需要考虑最坏情况，掌握将物品尽量分成接近的三份来称量的技巧，就能快速得到最少称量次数。
【难度系数】
0.8
2.有10盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次一定能找出稍重的这盒饼干？
答案
至少称3次。
解析
【分析】
要保证一定找到稍重的那盒饼干，需要采用找次品的最优称量策略：每次将待测物品尽量平均分成3份，这样每次称量后可以排除掉2/3的正品，最大程度缩小次品所在的范围，我们只需要按照这个分组思路逐步称量，考虑最不利的称量情况，就能得出最少的称量次数。
【解析】
我们可以按以下步骤称量：
1. 第一次分组称量：把10盒饼干分成3组，分别是3盒、3盒、4盒，将两份3盒的分别放在天平两端。
如果天平不平衡，稍重的饼干就在较重一端的3盒里。接下来把这3盒分成3份，每份1盒，第二次称量任意两盒：如果天平不平衡，重的一端就是目标饼干；如果天平平衡，剩下的1盒就是目标饼干，这种情况只需要2次就能找到。
如果天平平衡，稍重的饼干就在剩下的4盒里，这是最不利的情况，需要继续称量。
2. 处理4盒的情况：把4盒分成3组，分别是1盒、1盒、2盒，第二次称量两份1盒的。
如果天平不平衡，重的一端就是目标饼干，这种情况总共需要2次。
如果天平平衡，稍重的饼干就在剩下的2盒里。
3. 第三次称量：把剩下的2盒分别放在天平两端，较重的一端就是稍重的那盒饼干。
因为要保证一定能找到次品，需要按最不利的情况计算次数，所以至少需要称3次。
【答案】
至少称3次。
【知识点】
找次品问题，最优分组策略
【点评】
本题考察找次品的最优解法，核心是掌握“尽量平均分成3组”的分组原则，同时注意要保证一定找到次品，必须按最不利的称量情况计算次数，熟练掌握这个方法可以快速解决同类称量找不同的问题。
【难度系数】
0.6
要保证一定找到稍重的那盒饼干，需要采用找次品的最优称量策略：每次将待测物品尽量平均分成3份，这样每次称量后可以排除掉2/3的正品，最大程度缩小次品所在的范围，我们只需要按照这个分组思路逐步称量，考虑最不利的称量情况，就能得出最少的称量次数。
【解析】
我们可以按以下步骤称量：
1. 第一次分组称量：把10盒饼干分成3组，分别是3盒、3盒、4盒，将两份3盒的分别放在天平两端。
如果天平不平衡，稍重的饼干就在较重一端的3盒里。接下来把这3盒分成3份，每份1盒，第二次称量任意两盒：如果天平不平衡，重的一端就是目标饼干；如果天平平衡，剩下的1盒就是目标饼干，这种情况只需要2次就能找到。
如果天平平衡，稍重的饼干就在剩下的4盒里，这是最不利的情况，需要继续称量。
2. 处理4盒的情况：把4盒分成3组，分别是1盒、1盒、2盒，第二次称量两份1盒的。
如果天平不平衡，重的一端就是目标饼干，这种情况总共需要2次。
如果天平平衡，稍重的饼干就在剩下的2盒里。
3. 第三次称量：把剩下的2盒分别放在天平两端，较重的一端就是稍重的那盒饼干。
因为要保证一定能找到次品，需要按最不利的情况计算次数，所以至少需要称3次。
【答案】
至少称3次。
【知识点】
找次品问题，最优分组策略
【点评】
本题考察找次品的最优解法，核心是掌握“尽量平均分成3组”的分组原则，同时注意要保证一定找到次品，必须按最不利的称量情况计算次数，熟练掌握这个方法可以快速解决同类称量找不同的问题。
【难度系数】
0.6
