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四、解决问题我最棒
1.有15瓶口香糖，其中有一瓶被甜甜偷吃了一些。给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一瓶？请用图示表示称的过程。
1.有15瓶口香糖，其中有一瓶被甜甜偷吃了一些。给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一瓶？请用图示表示称的过程。
答案
将15瓶口香糖分成3份：(5,5,5)
第一次称：天平两端各放5瓶
若平衡，次品在剩下的5瓶中；
若不平衡，次品在较轻的5瓶中。
将找出的含次品的5瓶分成3份：(2,2,1)
第二次称：天平两端各放2瓶
若平衡，余下的1瓶就是次品；
若不平衡，次品在较轻的2瓶中。
将找出的含次品的2瓶分成2份：(1,1)
第三次称：天平两端各放1瓶，较轻的那瓶就是次品。
答：至少称3次能保证找出被偷吃的那一瓶。
第一次称：天平两端各放5瓶
若平衡，次品在剩下的5瓶中；
若不平衡，次品在较轻的5瓶中。
将找出的含次品的5瓶分成3份：(2,2,1)
第二次称：天平两端各放2瓶
若平衡，余下的1瓶就是次品；
若不平衡，次品在较轻的2瓶中。
将找出的含次品的2瓶分成2份：(1,1)
第三次称：天平两端各放1瓶，较轻的那瓶就是次品。
答：至少称3次能保证找出被偷吃的那一瓶。
解析
【分析】
解决找次品问题的核心最优策略是：每次把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后可以排除2份无次品的物品，直接将次品所在范围缩小到原来的1/3，能用最少的称量次数保证找到次品。首先15瓶口香糖可平均分成3份各5瓶，第一次称量就能确定次品所在的5瓶组；接着把含次品的5瓶分成尽量数量接近的3份(2,2,1)，第二次称量要么直接找出次品，要么把范围缩小到2瓶；最后对2瓶再称量1次就能确定次品，按这个思路推导就能得出最少称量次数。
【解析】
我们按最优三分法逐步称量，过程如下：
1. 第一次分组：将15瓶口香糖平均分成3份，每份5瓶，记为(5,5,5)。
第一次称：天平两端各放5瓶
若天平平衡，被偷吃的次品在剩下未称的5瓶中；
若天平不平衡，次品在较轻一端的5瓶中。
2. 第二次分组：把找到的含次品的5瓶分成3份，记为(2,2,1)。
第二次称：天平两端各放2瓶
若天平平衡，余下未称的1瓶就是次品；
若天平不平衡，次品在较轻一端的2瓶中。
3. 第三次分组：把找到的含次品的2瓶分成2份，每份1瓶，记为(1,1)。
第三次称：天平两端各放1瓶，较轻的那瓶就是被偷吃的次品。
（称量过程图示可用分支图表示：15→(5,5,5)→[平衡/不平衡]→含次品的5→(2,2,1)→[平衡直接得次品/不平衡]→含次品的2→(1,1)→较轻的为次品）
【答案】
至少称3次能保证找出被偷吃的那一瓶。
【知识点】
找次品问题、三分法称量策略、逻辑推理
【点评】
本题考察找次品的最优解法应用，解题关键是掌握“尽可能平均分成3份”的称量原则，通过每次称量快速缩小次品范围，能有效锻炼学生的逻辑思维和统筹分析能力。
【难度系数】
0.7
解决找次品问题的核心最优策略是：每次把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后可以排除2份无次品的物品，直接将次品所在范围缩小到原来的1/3，能用最少的称量次数保证找到次品。首先15瓶口香糖可平均分成3份各5瓶，第一次称量就能确定次品所在的5瓶组；接着把含次品的5瓶分成尽量数量接近的3份(2,2,1)，第二次称量要么直接找出次品，要么把范围缩小到2瓶；最后对2瓶再称量1次就能确定次品，按这个思路推导就能得出最少称量次数。
【解析】
我们按最优三分法逐步称量，过程如下：
1. 第一次分组：将15瓶口香糖平均分成3份，每份5瓶，记为(5,5,5)。
第一次称：天平两端各放5瓶
若天平平衡，被偷吃的次品在剩下未称的5瓶中；
若天平不平衡，次品在较轻一端的5瓶中。
2. 第二次分组：把找到的含次品的5瓶分成3份，记为(2,2,1)。
第二次称：天平两端各放2瓶
若天平平衡，余下未称的1瓶就是次品；
若天平不平衡，次品在较轻一端的2瓶中。
3. 第三次分组：把找到的含次品的2瓶分成2份，每份1瓶，记为(1,1)。
第三次称：天平两端各放1瓶，较轻的那瓶就是被偷吃的次品。
（称量过程图示可用分支图表示：15→(5,5,5)→[平衡/不平衡]→含次品的5→(2,2,1)→[平衡直接得次品/不平衡]→含次品的2→(1,1)→较轻的为次品）
【答案】
至少称3次能保证找出被偷吃的那一瓶。
【知识点】
找次品问题、三分法称量策略、逻辑推理
【点评】
本题考察找次品的最优解法应用，解题关键是掌握“尽可能平均分成3份”的称量原则，通过每次称量快速缩小次品范围，能有效锻炼学生的逻辑思维和统筹分析能力。
【难度系数】
0.7
2.有36个外观一样的玻璃球，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到这个略轻一些的玻璃球？请用图示表示称的过程。
答案
称的过程图示：
36 → (12, 12, 12) → 筛选出含次品的12个
↓
12 → (4, 4, 4) → 筛选出含次品的4个
↓
4 → (1, 1, 2) → 筛选出含次品的2个（或直接找出次品）
↓
2 → (1, 1) → 找出次品
答：至少称4次才能保证找到这个略轻一些的玻璃球。
36 → (12, 12, 12) → 筛选出含次品的12个
↓
12 → (4, 4, 4) → 筛选出含次品的4个
↓
4 → (1, 1, 2) → 筛选出含次品的2个（或直接找出次品）
↓
2 → (1, 1) → 找出次品
答：至少称4次才能保证找到这个略轻一些的玻璃球。
解析
【分析】
这是典型的找次品问题，要保证找到次品的最少称量次数，最优思路是每次将待排查的物品尽量平均分成3份：利用天平称重的特点，天平两边各放1份，若平衡则次品在第3份，若不平衡则次品在较轻的那1份，这样每次能把次品的排查范围缩小到原来的1/3，用最少的次数完成排查。同时要注意“保证找到”需要考虑最不利的情况，不能只考虑运气最好的情况。
【解析】
我们按照三分法的最优策略逐步称量：
1. 第一次称：把36个玻璃球平均分成3份，每份12个，将其中两份分别放在天平两端。若天平平衡，略轻的玻璃球在未称量的12个中；若天平不平衡，略轻的玻璃球在天平翘起的那12个中，第一次称量后排查范围缩小到12个。
2. 第二次称：把筛选出的12个玻璃球再平均分成3份，每份4个，同样将两份放在天平两端称量，按照上述方法判断，排查范围缩小到4个。
3. 第三次称：把筛选出的4个玻璃球分成3份：1个、1个、2个，将两份1个的放在天平两端。若天平不平衡，翘起的那端就是略轻的玻璃球；若天平平衡，略轻的玻璃球在剩下的2个中，最不利情况下排查范围缩小到2个。
4. 第四次称：把筛选出的2个玻璃球分别放在天平两端，翘起的那端就是略轻的玻璃球。
称量过程图示：
36 → (12, 12, 12) → 筛选出含次品的12个
↓
12 → (4, 4, 4) → 筛选出含次品的4个
↓
4 → (1, 1, 2) → 筛选出含次品的2个（或直接找出次品）
↓
2 → (1, 1) → 找出次品
【答案】
至少称4次才能保证找到这个略轻一些的玻璃球。
【知识点】
1.找次品问题 2.三分法优化策略 3.天平称重原理
【点评】
本题是找次品的常规应用题型，解题关键是掌握“尽量三等分待称量物品”的最优策略，同时注意“保证找到”需要考虑最不利的称量情况，不能只计算运气最好时的次数。
【难度系数】
0.6
这是典型的找次品问题，要保证找到次品的最少称量次数，最优思路是每次将待排查的物品尽量平均分成3份：利用天平称重的特点，天平两边各放1份，若平衡则次品在第3份，若不平衡则次品在较轻的那1份，这样每次能把次品的排查范围缩小到原来的1/3，用最少的次数完成排查。同时要注意“保证找到”需要考虑最不利的情况，不能只考虑运气最好的情况。
【解析】
我们按照三分法的最优策略逐步称量：
1. 第一次称：把36个玻璃球平均分成3份，每份12个，将其中两份分别放在天平两端。若天平平衡，略轻的玻璃球在未称量的12个中；若天平不平衡，略轻的玻璃球在天平翘起的那12个中，第一次称量后排查范围缩小到12个。
2. 第二次称：把筛选出的12个玻璃球再平均分成3份，每份4个，同样将两份放在天平两端称量，按照上述方法判断，排查范围缩小到4个。
3. 第三次称：把筛选出的4个玻璃球分成3份：1个、1个、2个，将两份1个的放在天平两端。若天平不平衡，翘起的那端就是略轻的玻璃球；若天平平衡，略轻的玻璃球在剩下的2个中，最不利情况下排查范围缩小到2个。
4. 第四次称：把筛选出的2个玻璃球分别放在天平两端，翘起的那端就是略轻的玻璃球。
称量过程图示：
36 → (12, 12, 12) → 筛选出含次品的12个
↓
12 → (4, 4, 4) → 筛选出含次品的4个
↓
4 → (1, 1, 2) → 筛选出含次品的2个（或直接找出次品）
↓
2 → (1, 1) → 找出次品
【答案】
至少称4次才能保证找到这个略轻一些的玻璃球。
【知识点】
1.找次品问题 2.三分法优化策略 3.天平称重原理
【点评】
本题是找次品的常规应用题型，解题关键是掌握“尽量三等分待称量物品”的最优策略，同时注意“保证找到”需要考虑最不利的称量情况，不能只计算运气最好时的次数。
【难度系数】
0.6
3.在729个小轴承中有一个次品，次品比合格轴承轻，其余质量都相同。现在用一架无砝码的天平最少称几次就一定能称出这个次品？
答案
6次
解析
【分析】
要保证用最少次数找到较轻的次品，最优思路是每次把待检测的轴承平均分成3份：取其中两份放在天平两端称量，如果天平平衡，次品在未称量的第三份里；如果天平不平衡，次品在更轻的翘起端那份里。这样每次称量都能把次品所在范围缩小到原来的1/3，是效率最高的称量方法，我们只需要计算几次缩小后能把范围缩小到1个，就能得到最少称量次数。
【解析】
我们用三分法逐步缩小范围：
1. 第1次：把729个轴承分成3份，每份729÷3=243个，称其中两份，确定次品在243个的范围内；
2. 第2次：把243个分成3份，每份243÷3=81个，称量后确定次品在81个的范围内；
3. 第3次：把81个分成3份，每份81÷3=27个，称量后确定次品在27个的范围内；
4. 第4次：把27个分成3份，每份27÷3=9个，称量后确定次品在9个的范围内；
5. 第5次：把9个分成3份，每份9÷3=3个，称量后确定次品在3个的范围内；
6. 第6次：把3个分成3份，每份1个，称量其中两个，就能直接找到较轻的次品。
也可以通过规律计算：称n次最多可以检测$\boldsymbol{3^n}$个物品，本题总数量是729，$3^6=729$，所以最少需要称6次。
【答案】
6次
【知识点】
找次品问题，优化策略，三分称量法
【点评】
这道题是找次品的典型题型，核心是掌握三分法的最优称量逻辑，通过每次平均分成3份快速缩小次品范围，记住“称n次最多可检测$3^n$个物品”的规律，就能快速求解同类问题。
【难度系数】
0.6
要保证用最少次数找到较轻的次品，最优思路是每次把待检测的轴承平均分成3份：取其中两份放在天平两端称量，如果天平平衡，次品在未称量的第三份里；如果天平不平衡，次品在更轻的翘起端那份里。这样每次称量都能把次品所在范围缩小到原来的1/3，是效率最高的称量方法，我们只需要计算几次缩小后能把范围缩小到1个，就能得到最少称量次数。
【解析】
我们用三分法逐步缩小范围：
1. 第1次：把729个轴承分成3份，每份729÷3=243个，称其中两份，确定次品在243个的范围内；
2. 第2次：把243个分成3份，每份243÷3=81个，称量后确定次品在81个的范围内；
3. 第3次：把81个分成3份，每份81÷3=27个，称量后确定次品在27个的范围内；
4. 第4次：把27个分成3份，每份27÷3=9个，称量后确定次品在9个的范围内；
5. 第5次：把9个分成3份，每份9÷3=3个，称量后确定次品在3个的范围内；
6. 第6次：把3个分成3份，每份1个，称量其中两个，就能直接找到较轻的次品。
也可以通过规律计算：称n次最多可以检测$\boldsymbol{3^n}$个物品，本题总数量是729，$3^6=729$，所以最少需要称6次。
【答案】
6次
【知识点】
找次品问题，优化策略，三分称量法
【点评】
这道题是找次品的典型题型，核心是掌握三分法的最优称量逻辑，通过每次平均分成3份快速缩小次品范围，记住“称n次最多可检测$3^n$个物品”的规律，就能快速求解同类问题。
【难度系数】
0.6
4.师傅和徒弟一起做包子,规定每个包子一样重,并且要求10个一笼。一天师徒共做了5笼包子,其中师傅做了4笼,徒弟做了1笼,但由于徒弟粗心听错了师傅的要求,每个包子都少了10 g。你有办法称一次就能知道哪一笼包子是徒弟做的吗？
答案
先将5笼包子编号为1,2,3,4,5,然后分别从里面拿1个,2个,3个,4个,5个,然后15个一起称重,看看与标准总质量差多少。如果差10 g,是第一笼;如果差20 g,是第二笼;如果差30 g,是第三笼;如果差40 g,是第四笼;如果差50 g,是第五笼。
解析
【分析】
我们的目标是仅称重1次就找出徒弟做的那笼包子，已知徒弟做的每个包子比标准轻10g，要实现一次称重就定位目标，需要让每笼包子的重量差异能对应到唯一的标识。我们可以先给5笼包子编号，让每笼取出的包子数量和编号一致，这样总重量的差值就和取样数量直接挂钩：如果某笼是徒弟做的，总轻的重量=取出的包子个数×10g，反过来通过总重量差就能算出对应的笼号，仅需称一次所有取出的包子就能得到结果。
【解析】
1. 先将5笼包子依次编号为1、2、3、4、5；
2. 按照编号对应取出包子：从1号笼取1个，2号笼取2个，3号笼取3个，4号笼取4个，5号笼取5个，一共取出1+2+3+4+5=15个包子；
3. 将这15个包子一起称重，计算实际重量和15个标准包子总重量的差值：
差值为10g，说明只有1个包子少了10g，对应1号笼是徒弟做的；
差值为20g，说明有2个包子少了10g，对应2号笼是徒弟做的；
差值为30g，对应3号笼是徒弟做的；
差值为40g，对应4号笼是徒弟做的；
差值为50g，对应5号笼是徒弟做的。
【答案】
先将5笼包子编号为1,2,3,4,5,然后分别从里面拿1个,2个,3个,4个,5个,然后15个一起称重,看看与标准总质量差多少。如果差10 g,是第一笼;如果差20 g,是第二笼;如果差30 g,是第三笼;如果差40 g,是第四笼;如果差50 g,是第五笼。
【知识点】
找次品，优化策略，逻辑推理
【点评】
这道题突破了逐份称重的常规思路，通过设计差异化的取样方式，利用重量差和取样数量的对应关系实现一次称重定位目标，能够锻炼学生的逻辑推理和策略优化能力。
【难度系数】
0.5
我们的目标是仅称重1次就找出徒弟做的那笼包子，已知徒弟做的每个包子比标准轻10g，要实现一次称重就定位目标，需要让每笼包子的重量差异能对应到唯一的标识。我们可以先给5笼包子编号，让每笼取出的包子数量和编号一致，这样总重量的差值就和取样数量直接挂钩：如果某笼是徒弟做的，总轻的重量=取出的包子个数×10g，反过来通过总重量差就能算出对应的笼号，仅需称一次所有取出的包子就能得到结果。
【解析】
1. 先将5笼包子依次编号为1、2、3、4、5；
2. 按照编号对应取出包子：从1号笼取1个，2号笼取2个，3号笼取3个，4号笼取4个，5号笼取5个，一共取出1+2+3+4+5=15个包子；
3. 将这15个包子一起称重，计算实际重量和15个标准包子总重量的差值：
差值为10g，说明只有1个包子少了10g，对应1号笼是徒弟做的；
差值为20g，说明有2个包子少了10g，对应2号笼是徒弟做的；
差值为30g，对应3号笼是徒弟做的；
差值为40g，对应4号笼是徒弟做的；
差值为50g，对应5号笼是徒弟做的。
【答案】
先将5笼包子编号为1,2,3,4,5,然后分别从里面拿1个,2个,3个,4个,5个,然后15个一起称重,看看与标准总质量差多少。如果差10 g,是第一笼;如果差20 g,是第二笼;如果差30 g,是第三笼;如果差40 g,是第四笼;如果差50 g,是第五笼。
【知识点】
找次品，优化策略，逻辑推理
【点评】
这道题突破了逐份称重的常规思路，通过设计差异化的取样方式，利用重量差和取样数量的对应关系实现一次称重定位目标，能够锻炼学生的逻辑推理和策略优化能力。
【难度系数】
0.5
