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1.如图
，在$□ OABC$中，以$O$为圆心，$OC$为半径的$\odot O$切$AB$于点$B$，$F$是圆上一动点，作直线$AF$交$\odot O$于另一点$E$，当$EF=BC$时，$∠ OAF$的度数是
，在$□ OABC$中，以$O$为圆心，$OC$为半径的$\odot O$切$AB$于点$B$，$F$是圆上一动点，作直线$AF$交$\odot O$于另一点$E$，当$EF=BC$时，$∠ OAF$的度数是30°
.(答案
30°
提示:$OM=BM=ON=\frac{1}{2}AO$.
2.如图2，点A，B在$\odot O$上，直线AC是$\odot O$的切线，$OC⊥ OB$，连接AB交OC于点D.若$AC=2$，$AO=\sqrt{5}$，则BD的长度为
$\sqrt{6}$
.答案
$\sqrt{6}$
提示:证$AC=CD$.
3.车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图3所示是某品牌止退器的示意图，已知车轮$\odot O$与$BC$相切于点$C$，止退器的高$AB=8\ \mathrm{cm}$，长$BC=24\ \mathrm{cm}$，则车轮的半径为
40
$\mathrm{cm}.$答案
40
解:连接OC,OA,过点A作AM⊥OC于点M,
设$\odot O$的半径为R,
在$Rt△AOM$中,$OM=R-8,BC=24$,
$\therefore R^2=24^2+(R-8)^2$,
$\therefore R=40(\mathrm{cm})$.
4.(2026·安徽)如图，AB为$\odot O$的弦，BC与$\odot O$相切于点B，AC与$\odot O$交于点D，$∠ A=45°$，$∠ ABD=30°$。
(1)求$∠ C$的度数；
(2)直接写出$\frac{BD}{AD}$的值为
(1)求$∠ C$的度数；
(2)直接写出$\frac{BD}{AD}$的值为
$\sqrt{2}$
。答案
(1)解:连接OB,OA,
$\therefore ∠OBC=90°$,
又$\because ∠BOD=2∠BAC=90°$,
$\therefore OD// BC$,
又$\because ∠AOD=2∠ABD=60°$,
$\therefore △AOD$为等边三角形,
$\therefore ∠C=∠ADO=60°$.
(2)$\sqrt{2}$.
5.已知$AB$是$\odot O$的直径，$CD$为$\odot O$切线，$BE⊥ CD$交$\odot O$于点$E$，交$DC$于点$C$.
(1)如图1，若$CD=4$，$BE=6$，则$\odot O$的半径为
(2)如图2，若$CE=2$，$BE=6$，则$CD$的长为
(1)如图1，若$CD=4$，$BE=6$，则$\odot O$的半径为
5
；(2)如图2，若$CE=2$，$BE=6$，则$CD$的长为
4
.答案
(1)解:连接OD,过O作$OM⊥BC$于M,
$\therefore BM=EM=3,\therefore OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$;
(2)连接OD,过O作$OM⊥BE$于M,
则$EM=BM=3,OD=5$,
$\therefore CD=OM=4$;
6.(2026·北京西城区)如图,在$Rt△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,点D在BC上,$\odot O$是$△ ACD$的外接圆,过点C作$\odot O$切线,交AB的延长线于点E.
(1)求证:$∠ BCE=∠ CAD$;
(2)若$BA=BE=2\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:$∠ BCE=∠ CAD$;
(2)若$BA=BE=2\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径长.
答案
(1)证明:连接CO,$\therefore CO⊥CE$,
$\therefore ∠ECB=∠ACO=∠CAD$;
(2)解:取CE中点M,连接BM,
$\therefore ∠CBM=90°$,
$\therefore △CAD≌△BCM$,
$\therefore BM=CD=\frac{1}{2}AC=1$,
$\therefore R=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
