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16.如图,在离水面高度为 8 m 的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子 BC 的长为 17 m,此人以 1 m/s 的速度收绳,7 s 后船移动到点 D 的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的)
答案
16.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ CAB = 90°, BC = 17\ \mathrm{m}, AC = 8\ \mathrm{m}, \therefore AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15(\mathrm{m}), \because$ 此人以 $1\ \mathrm{m/s}$ 的速度收绳,7 s 后船移动到点 $D$ 的位置,$\therefore CD = 17 - 1 × 7 = 10(\mathrm{m}), \therefore AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 64} = 6(\mathrm{m}), \therefore BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(\mathrm{m}).$ 答:船向岸边移动了 $9\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD都是直角三角形，且岸的高度AC=8m是定值，可按以下思路求解：第一步，先在初始的Rt△ABC中，利用勾股定理，结合已知的初始绳长BC和高度AC，算出初始时船到岸边的水平距离AB；第二步，根据收绳的速度和时间，算出7秒后绳子缩短的长度，进而得到此时的绳长CD；第三步，在Rt△ACD中再次使用勾股定理，算出此时船到岸边的水平距离AD；第四步，船移动的距离就是初始水平距离减去后来的水平距离，即BD=AB-AD，代入数值计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB = 90°$，$BC=17\ \mathrm{m}$，$AC=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15(\mathrm{m})$。
已知收绳速度为$1\ \mathrm{m/s}$，收绳时间为7s，因此绳子缩短的长度为$1×7=7(\mathrm{m})$，
则此时的绳长$CD = BC - 7 = 17 - 7 = 10(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD = 90°$，$CD=10\ \mathrm{m}$，$AC=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6(\mathrm{m})$。
因此船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(\mathrm{m})$。
【答案】
船向岸边移动了$\boxed{9}$米
【知识点】
勾股定理，路程计算，直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是抓住不变的岸高，分别在两个直角三角形中运用勾股定理求解对应水平距离，同时要准确根据速度和时间计算出收绳后绳子的长度，避免出现绳长计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD都是直角三角形，且岸的高度AC=8m是定值，可按以下思路求解：第一步，先在初始的Rt△ABC中，利用勾股定理，结合已知的初始绳长BC和高度AC，算出初始时船到岸边的水平距离AB；第二步，根据收绳的速度和时间，算出7秒后绳子缩短的长度，进而得到此时的绳长CD；第三步，在Rt△ACD中再次使用勾股定理，算出此时船到岸边的水平距离AD；第四步，船移动的距离就是初始水平距离减去后来的水平距离，即BD=AB-AD，代入数值计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB = 90°$，$BC=17\ \mathrm{m}$，$AC=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15(\mathrm{m})$。
已知收绳速度为$1\ \mathrm{m/s}$，收绳时间为7s，因此绳子缩短的长度为$1×7=7(\mathrm{m})$，
则此时的绳长$CD = BC - 7 = 17 - 7 = 10(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD = 90°$，$CD=10\ \mathrm{m}$，$AC=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6(\mathrm{m})$。
因此船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(\mathrm{m})$。
【答案】
船向岸边移动了$\boxed{9}$米
【知识点】
勾股定理，路程计算，直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是抓住不变的岸高，分别在两个直角三角形中运用勾股定理求解对应水平距离，同时要准确根据速度和时间计算出收绳后绳子的长度，避免出现绳长计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
17.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6 m，8 m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
答案
17.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because AC = 8\ \mathrm{m}, BC = 6\ \mathrm{m}, \therefore AB = 10\ \mathrm{m},$ ①
, 当 $AB = AD$ 时, $CD = 6\ \mathrm{m}, △ ABD$ 的周长为 $32\ \mathrm{m};$ ②
, 当 $AB = BD$ 时, $CD = 4\ \mathrm{m}, \therefore AD = 4\sqrt{5}\ \mathrm{m}, △ ABD$ 的周长是 $(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m};$ ③
, 当 $DA = DB$ 时, 设 $AD = x$, 则 $CD = x - 6$, 则 $x^2 = (x - 6)^2 + 8^2$, 解得 $x = \frac{25}{3}, \therefore △ ABD$ 的周长是 $\frac{80}{3}\ \mathrm{m}.$ 综上所述,扩建后的等腰三角形花圃的周长是$32\ \mathrm{m}$或$(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$或$\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$解析
【分析】
首先利用勾股定理求出原直角三角形的斜边AB长度，由于扩建后等腰三角形的腰和底不明确，因此需要分三种情况讨论：①AB为腰且AB=AD；②AB为腰且AB=BD；③AB为底且DA=DB。每种情况结合扩充的直角三角形的边长关系，用勾股定理计算对应边长，最终求出周长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$AC = 8\ \mathrm{m}$，$BC = 6\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{m}$
扩充部分是以8m为直角边的$\mathrm{Rt}△ACD$，故$AC⊥ BD$，分三种情况讨论：
①， 当 $AB = AD$ 时，根据等腰三角形三线合一性质，$CD = BC=6\ \mathrm{m}$，$BD=6+6=12\ \mathrm{m}$，
$△ ABD$ 的周长为 $10+10+12=32\ \mathrm{m}$；
②， 当 $AB = BD=10\ \mathrm{m}$ 时，$CD = BD-BC=10-6=4\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，
$△ ABD$ 的周长是 $10+10+4\sqrt{5}=(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$；
③， 当 $DA = DB$ 时，设 $AD = x\ \mathrm{m}$，则 $CD = x - 6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得 $x^2 = (x - 6)^2 + 8^2$，
展开得$x^2=x^2-12x+36+64$，化简解得 $x = \frac{25}{3}$，
$△ ABD$ 的周长是 $\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+10=\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
扩建后的等腰三角形花圃的周长是$32\ \mathrm{m}$或$(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$或$\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是根据等腰三角形腰的不同情况分类讨论，结合勾股定理计算对应边长，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出原直角三角形的斜边AB长度，由于扩建后等腰三角形的腰和底不明确，因此需要分三种情况讨论：①AB为腰且AB=AD；②AB为腰且AB=BD；③AB为底且DA=DB。每种情况结合扩充的直角三角形的边长关系，用勾股定理计算对应边长，最终求出周长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$AC = 8\ \mathrm{m}$，$BC = 6\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{m}$
扩充部分是以8m为直角边的$\mathrm{Rt}△ACD$，故$AC⊥ BD$，分三种情况讨论：
①
， 当 $AB = AD$ 时，根据等腰三角形三线合一性质，$CD = BC=6\ \mathrm{m}$，$BD=6+6=12\ \mathrm{m}$，$△ ABD$ 的周长为 $10+10+12=32\ \mathrm{m}$；
②
， 当 $AB = BD=10\ \mathrm{m}$ 时，$CD = BD-BC=10-6=4\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，
$△ ABD$ 的周长是 $10+10+4\sqrt{5}=(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$；
③
， 当 $DA = DB$ 时，设 $AD = x\ \mathrm{m}$，则 $CD = x - 6\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得 $x^2 = (x - 6)^2 + 8^2$，
展开得$x^2=x^2-12x+36+64$，化简解得 $x = \frac{25}{3}$，
$△ ABD$ 的周长是 $\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+10=\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
扩建后的等腰三角形花圃的周长是$32\ \mathrm{m}$或$(20 + 4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$或$\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是根据等腰三角形腰的不同情况分类讨论，结合勾股定理计算对应边长，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
18.第七届国际数学教育大会的会徽主体图案是由一连串直角三角形演化而成的.下图中$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=···=A_7A_8=1$.细心观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2, S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}; (\sqrt{2})^2 + 1 = 3, S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}; (\sqrt{3})^2 + 1 = 4, S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}···$
(1)请用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出$OA_{10}$的长;
(2)求出$S_1{}^2 + S_2{}^2 + S_3{}^2 + ··· + S_{10}{}^2$的值.
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2, S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}; (\sqrt{2})^2 + 1 = 3, S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}; (\sqrt{3})^2 + 1 = 4, S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}···$
(1)请用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出$OA_{10}$的长;
(2)求出$S_1{}^2 + S_2{}^2 + S_3{}^2 + ··· + S_{10}{}^2$的值.
答案
18.(1)由题意,得 $OA_n = \sqrt{n}, S_n = \frac{\sqrt{n}}{2}, OA_{10} = \sqrt{10}$
(2)$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2 = (\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10}{4} = \frac{55}{4}$
(2)$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + \dots + S_{10}^2 = (\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10}{4} = \frac{55}{4}$
解析
【分析】
(1) 先观察图形特征：所有外侧直角边长度均为1，后一个直角三角形的一条直角边是前一个直角三角形的斜边，结合给出的示例式子，利用勾股定理可推导得到$OA_n$的长度规律；再根据直角三角形面积公式（两条直角边乘积的一半）可得到$S_n$的表达式，将$n=10$代入$OA_n$的表达式即可求得$OA_{10}$的长。
(2) 先根据$S_n$的表达式写出每个$S_n^2$的形式，提取公因式后转化为求1到10的正整数和，再用求和公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察图形和已知式子：
对于第$n$个直角三角形，两条直角边分别为$OA_n$和$A_nA_{n+1}=1$，根据勾股定理可得$OA_{n+1}^2=OA_n^2+1^2$，结合示例可归纳得$OA_n=\sqrt{n}$（$n$为正整数）；
直角三角形面积$S_n=\frac{1}{2}× OA_n× A_nA_{n+1}=\frac{1}{2}×\sqrt{n}×1=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
当$n=10$时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
(2) 计算$S_1^2+S_2^2+\dots+S_{10}^2$：
将$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$代入得：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2\\&=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}\\&=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}\end{aligned}$
其中$1+2+3+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，因此原式$=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1) 规律为$OA_n=\sqrt{n}$，$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（$n$为正整数），$OA_{10}=\sqrt{10}$；
(2) $\frac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，实数运算
【点评】
本题结合几何图形考查勾股定理的应用与归纳探究能力，需要学生结合图形和已知式子推导通用规律，再代入计算，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察图形特征：所有外侧直角边长度均为1，后一个直角三角形的一条直角边是前一个直角三角形的斜边，结合给出的示例式子，利用勾股定理可推导得到$OA_n$的长度规律；再根据直角三角形面积公式（两条直角边乘积的一半）可得到$S_n$的表达式，将$n=10$代入$OA_n$的表达式即可求得$OA_{10}$的长。
(2) 先根据$S_n$的表达式写出每个$S_n^2$的形式，提取公因式后转化为求1到10的正整数和，再用求和公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察图形和已知式子：
对于第$n$个直角三角形，两条直角边分别为$OA_n$和$A_nA_{n+1}=1$，根据勾股定理可得$OA_{n+1}^2=OA_n^2+1^2$，结合示例可归纳得$OA_n=\sqrt{n}$（$n$为正整数）；
直角三角形面积$S_n=\frac{1}{2}× OA_n× A_nA_{n+1}=\frac{1}{2}×\sqrt{n}×1=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
当$n=10$时，$OA_{10}=\sqrt{10}$。
(2) 计算$S_1^2+S_2^2+\dots+S_{10}^2$：
将$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$代入得：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{1}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \dots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^2\\&=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{10}{4}\\&=\frac{1+2+3+\dots+10}{4}\end{aligned}$
其中$1+2+3+\dots+10=\frac{(1+10)×10}{2}=55$，因此原式$=\frac{55}{4}$。
【答案】
(1) 规律为$OA_n=\sqrt{n}$，$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（$n$为正整数），$OA_{10}=\sqrt{10}$；
(2) $\frac{55}{4}$
【知识点】
勾股定理，规律探究，实数运算
【点评】
本题结合几何图形考查勾股定理的应用与归纳探究能力，需要学生结合图形和已知式子推导通用规律，再代入计算，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
