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1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （
A.3,4,4
B.3,4,5
C.3,4,6
D.3,4,7
B
）A.3,4,4
B.3,4,5
C.3,4,6
D.3,4,7
答案
1.B
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，分两步思考：第一步先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的选项；第二步对剩余选项使用勾股定理的逆定理判断：先选出三条线段中的最长边，计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则可以组成直角三角形，反之则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边a、b、c（c为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，我们逐个分析选项：
A选项：三条边为3，4，4，最长边为4。计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$4^2=16$，$25≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：三条边为3，4，5，最长边为5。计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，二者相等，满足勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形；
C选项：三条边为3，4，6，最长边为6。计算得$3^2+4^2=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
D选项：三条边为3，4，7，因为$3+4=7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，更不能组成直角三角形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的直接应用，解题时注意先判断三边能否构成三角形，再找准最长边进行平方和的验证即可，是巩固勾股逆定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成直角三角形，分两步思考：第一步先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的选项；第二步对剩余选项使用勾股定理的逆定理判断：先选出三条线段中的最长边，计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则可以组成直角三角形，反之则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边a、b、c（c为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，我们逐个分析选项：
A选项：三条边为3，4，4，最长边为4。计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$4^2=16$，$25≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：三条边为3，4，5，最长边为5。计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，二者相等，满足勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形；
C选项：三条边为3，4，6，最长边为6。计算得$3^2+4^2=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
D选项：三条边为3，4，7，因为$3+4=7$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，更不能组成直角三角形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的直接应用，解题时注意先判断三边能否构成三角形，再找准最长边进行平方和的验证即可，是巩固勾股逆定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.9
2.在$△ ABC$中，$AB=13$，$BC=5$，$AC=12$，则下列判断正确的是 （
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$△ ABC$是锐角三角形
C
）A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$△ ABC$是锐角三角形
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三角形中哪个角是直角，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时首先确定三边中的最长边，再计算验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，最后对应找到最长边所对的角即可。
【解析】
先明确△ABC的三边长：AB=13，AC=12，BC=5，可得最长边为AB=13。
分别计算各边平方：
$BC^2=5^2=25$，$AC^2=12^2=144$，因此$BC^2+AC^2=25+144=169$；
又$AB^2=13^2=169$，可得$BC^2+AC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且最长边AB所对的角为∠C，即$∠C=90°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是先确定最长边，再通过平方运算验证三边是否满足勾股定理的逆用条件，牢记直角始终对应三角形的最长边即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断三角形中哪个角是直角，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时首先确定三边中的最长边，再计算验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，最后对应找到最长边所对的角即可。
【解析】
先明确△ABC的三边长：AB=13，AC=12，BC=5，可得最长边为AB=13。
分别计算各边平方：
$BC^2=5^2=25$，$AC^2=12^2=144$，因此$BC^2+AC^2=25+144=169$；
又$AB^2=13^2=169$，可得$BC^2+AC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且最长边AB所对的角为∠C，即$∠C=90°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是先确定最长边，再通过平方运算验证三边是否满足勾股定理的逆用条件，牢记直角始终对应三角形的最长边即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.下列数据中是勾股数的有 （
(1)3,5,7； (2)5,15,17； (3)1.5,2,2.5； (4)7,24,25； (5)10,24,26.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
B
）(1)3,5,7； (2)5,15,17； (3)1.5,2,2.5； (4)7,24,25； (5)10,24,26.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
答案
3.B
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数都必须是正整数，二是三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先排除含有非正整数的组，再对剩余的组逐一验证平方和关系，就能得出正确结果。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。
1. 先筛选正整数组：第(3)组的1.5和2.5是小数，不属于正整数，直接排除。
2. 逐一验证剩余组：
(1) 3,5,7：最大数为7，$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不是勾股数；
(2) 5,15,17：最大数为17，$5^2+15^2=25+225=250$，$17^2=289$，$250≠289$，不是勾股数；
(4) 7,24,25：最大数为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方和关系且都是正整数，是勾股数；
(5) 10,24,26：最大数为26，$10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$，满足平方和关系且都是正整数，是勾股数。
综上，符合条件的勾股数共有2组，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股数的定义 2.勾股定理的应用
【点评】
本题属于勾股数判定的基础题，解题关键是牢记勾股数需要同时满足“均为正整数”“符合勾股定理”两个条件，避免忽略正整数要求错算含小数的组，计算平方时要注意避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先要明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数都必须是正整数，二是三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先排除含有非正整数的组，再对剩余的组逐一验证平方和关系，就能得出正确结果。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。
1. 先筛选正整数组：第(3)组的1.5和2.5是小数，不属于正整数，直接排除。
2. 逐一验证剩余组：
(1) 3,5,7：最大数为7，$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不是勾股数；
(2) 5,15,17：最大数为17，$5^2+15^2=25+225=250$，$17^2=289$，$250≠289$，不是勾股数；
(4) 7,24,25：最大数为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方和关系且都是正整数，是勾股数；
(5) 10,24,26：最大数为26，$10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$，满足平方和关系且都是正整数，是勾股数。
综上，符合条件的勾股数共有2组，选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股数的定义 2.勾股定理的应用
【点评】
本题属于勾股数判定的基础题，解题关键是牢记勾股数需要同时满足“均为正整数”“符合勾股定理”两个条件，避免忽略正整数要求错算含小数的组，计算平方时要注意避免计算失误。
【难度系数】
0.7
4.下面定理中,没有逆定理的是
（
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形的两个锐角的和等于$90°$
（
B
）A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形的两个锐角的和等于$90°$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪个定理没有逆定理，首先明确逆定理的判定规则：先写出原定理的逆命题，若逆命题是真命题，则原定理有逆定理，反之则没有。解题时逐个分析每个选项的逆命题，判断其真假即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 原定理：等腰三角形的两个底角相等。逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是等腰三角形的判定定理，是真命题，因此该定理有逆定理。
B. 原定理：对顶角相等。逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题（例如两直线平行时的同位角相等，但不属于对顶角），因此该定理没有逆定理。
C. 原定理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS判定定理）。逆命题为“全等的两个三角形三边对应相等”，这是全等三角形的基本性质，是真命题，因此该定理有逆定理。
D. 原定理：直角三角形的两个锐角的和等于$90°$。逆命题为“两个锐角的和等于$90°$的三角形是直角三角形”，这是直角三角形的判定定理，是真命题，因此该定理有逆定理。
综上，没有逆定理的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
逆定理的概念、真假命题判断、几何定理辨析
【点评】
本题核心考查对逆定理概念的理解，解题的关键是能准确写出各定理对应的逆命题并判断其真假，属于基础类题型，日常学习中要注意总结常见几何定理的逆命题是否成立。
【难度系数】
0.7
要判断哪个定理没有逆定理，首先明确逆定理的判定规则：先写出原定理的逆命题，若逆命题是真命题，则原定理有逆定理，反之则没有。解题时逐个分析每个选项的逆命题，判断其真假即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 原定理：等腰三角形的两个底角相等。逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是等腰三角形的判定定理，是真命题，因此该定理有逆定理。
B. 原定理：对顶角相等。逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题（例如两直线平行时的同位角相等，但不属于对顶角），因此该定理没有逆定理。
C. 原定理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS判定定理）。逆命题为“全等的两个三角形三边对应相等”，这是全等三角形的基本性质，是真命题，因此该定理有逆定理。
D. 原定理：直角三角形的两个锐角的和等于$90°$。逆命题为“两个锐角的和等于$90°$的三角形是直角三角形”，这是直角三角形的判定定理，是真命题，因此该定理有逆定理。
综上，没有逆定理的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
逆定理的概念、真假命题判断、几何定理辨析
【点评】
本题核心考查对逆定理概念的理解，解题的关键是能准确写出各定理对应的逆命题并判断其真假，属于基础类题型，日常学习中要注意总结常见几何定理的逆命题是否成立。
【难度系数】
0.7
5.如图,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东$60^{\circ }$方向,与灯塔 P 的距离为 30 n mile 的 A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东$30^{\circ }$方向上的 B处,则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为（
A.60 n mile
B.45 n mile
C.$20\sqrt{3}$ n mile
D.$30\sqrt{3}$ n mile
D
）A.60 n mile
B.45 n mile
C.$20\sqrt{3}$ n mile
D.$30\sqrt{3}$ n mile
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先结合方向角的定义分析三角形内角：首先正北与正南方向共线，可先算出∠APB的度数，判断出△APB是直角三角形；再根据平行线的内错角相等得到∠A的度数，进而得到∠B=30°，利用直角三角形30°角的性质求出斜边长度，最后用勾股定理即可计算出PB的长度。
【解析】
解：根据题意可得：
∠APB = 180° - 60° - 30° = 90°，即△APB为直角三角形，∠APB=90°。
∵轮船沿正南方向航行，正北方向与正南方向互相平行，
∴∠A = 60°（两直线平行，内错角相等），
∴在Rt△APB中，∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
已知PA=30 n mile，∠B所对的直角边为PA，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，可得斜边AB=2PA=60 n mile。
由勾股定理得：$PB=\sqrt{AB^2-PA^2}=\sqrt{60^2-30^2}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}$ n mile。
【答案】
D
【知识点】
方向角的应用，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题核心是通过方向角确定三角形的内角，判定直角三角形后结合相关性质计算边长，注重对基础知识和识图能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合方向角的定义分析三角形内角：首先正北与正南方向共线，可先算出∠APB的度数，判断出△APB是直角三角形；再根据平行线的内错角相等得到∠A的度数，进而得到∠B=30°，利用直角三角形30°角的性质求出斜边长度，最后用勾股定理即可计算出PB的长度。
【解析】
解：根据题意可得：
∠APB = 180° - 60° - 30° = 90°，即△APB为直角三角形，∠APB=90°。
∵轮船沿正南方向航行，正北方向与正南方向互相平行，
∴∠A = 60°（两直线平行，内错角相等），
∴在Rt△APB中，∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
已知PA=30 n mile，∠B所对的直角边为PA，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，可得斜边AB=2PA=60 n mile。
由勾股定理得：$PB=\sqrt{AB^2-PA^2}=\sqrt{60^2-30^2}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}$ n mile。
【答案】
D
【知识点】
方向角的应用，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题核心是通过方向角确定三角形的内角，判定直角三角形后结合相关性质计算边长，注重对基础知识和识图能力的考查。
【难度系数】
0.7
6.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是
（
（
C
）答案
6.C
解析
【分析】
要判断哪个选项的摆法正确，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。解题时先计算所有木棒长度的平方，找出满足勾股定理逆定理的三边组合，再逐一核对每个选项的两个三角形是否都符合要求，且五根木棒全部用上、不重复。
【解析】
先计算各长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$
观察可得两组符合勾股定理逆定理的组合：
1. $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，即7、24、25可组成直角三角形；
2. $15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即15、20、25可组成直角三角形。
两组组合的公共边为25，刚好用完所有五根木棒，无重复。
逐一验证选项：
A选项：左侧三角形7、20、25不满足$7^2+20^2=25^2$，不是直角三角形，排除；
B选项：右侧三角形15、20、24不满足$15^2+20^2=24^2$，不是直角三角形，排除；
C选项：两个三角形分别对应上述两组符合要求的组合，均为直角三角形，符合要求；
D选项：两个三角形都不满足勾股定理逆定理，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题目，解题核心是先通过计算平方筛选出能构成直角三角形的三边组合，再对照选项验证，解题时要注意所有给出的小木棒都要使用，不能遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的摆法正确，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。解题时先计算所有木棒长度的平方，找出满足勾股定理逆定理的三边组合，再逐一核对每个选项的两个三角形是否都符合要求，且五根木棒全部用上、不重复。
【解析】
先计算各长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$
观察可得两组符合勾股定理逆定理的组合：
1. $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，即7、24、25可组成直角三角形；
2. $15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即15、20、25可组成直角三角形。
两组组合的公共边为25，刚好用完所有五根木棒，无重复。
逐一验证选项：
A选项：左侧三角形7、20、25不满足$7^2+20^2=25^2$，不是直角三角形，排除；
B选项：右侧三角形15、20、24不满足$15^2+20^2=24^2$，不是直角三角形，排除；
C选项：两个三角形分别对应上述两组符合要求的组合，均为直角三角形，符合要求；
D选项：两个三角形都不满足勾股定理逆定理，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题目，解题核心是先通过计算平方筛选出能构成直角三角形的三边组合，再对照选项验证，解题时要注意所有给出的小木棒都要使用，不能遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=10$,$BC$边上的中线$AD=4$,则$△ ABC$的面积为 （
A.30
B.24
C.20
D.48
B
）A.30
B.24
C.20
D.48
答案
7.B
解析
【分析】
遇到三角形中线的相关问题时，常用“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的已知边长转化到同一个三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而计算面积。本题先延长中线AD构造全等三角形，把AC转化为和AB、两倍AD共边的三角形的边，再判断直角求面积即可。
【解析】
延长AD到点E，使$DE=AD$，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB(\mathrm{对顶角相等})\\ CD=BD\end{array} $
∴$△ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=AC=10$，且$S_{△ ADC}=S_{△ EDB}$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}$。
∵$AD=4$，
∴$AE=2AD=8$，
在$△ ABE$中，$AB^2+AE^2=6^2+8^2=36+64=100$，$BE^2=10^2=100$，
∴$AB^2+AE^2=BE^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ABE$是直角三角形，$∠ BAE=90°$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×6×8=24$，即$S_{△ ABC}=24$。
【答案】B
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是利用倍长中线的辅助线，将分散的边长条件整合到同一个三角形中，结合全等性质和勾股定理逆定理求解，是三角形中线类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
遇到三角形中线的相关问题时，常用“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的已知边长转化到同一个三角形中，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而计算面积。本题先延长中线AD构造全等三角形，把AC转化为和AB、两倍AD共边的三角形的边，再判断直角求面积即可。
【解析】
延长AD到点E，使$DE=AD$，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB(\mathrm{对顶角相等})\\ CD=BD\end{array} $
∴$△ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=AC=10$，且$S_{△ ADC}=S_{△ EDB}$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}$。
∵$AD=4$，
∴$AE=2AD=8$，
在$△ ABE$中，$AB^2+AE^2=6^2+8^2=36+64=100$，$BE^2=10^2=100$，
∴$AB^2+AE^2=BE^2$，由勾股定理的逆定理可得$△ ABE$是直角三角形，$∠ BAE=90°$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×6×8=24$，即$S_{△ ABC}=24$。
【答案】B
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是利用倍长中线的辅助线，将分散的边长条件整合到同一个三角形中，结合全等性质和勾股定理逆定理求解，是三角形中线类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
8.已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$三边的长，且满足关系式$\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} + |a - b| = 0$，则$△ ABC$的形状为________.
答案
8.等腰直角三角形
解析
【分析】
解题首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。本题中算术平方根和绝对值都属于非负数，据此可以得到两个关于三角形三边的等式，再分别结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，结合边的等量关系判断是否为等腰三角形，综合两个结论即可得到三角形的形状。
【解析】
解：
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，且$\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} + |a - b| = 0$
∴根据非负数的性质可列等式：
$\begin{cases}\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} = 0 \\|a - b| = 0\end{cases}$
由$\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} = 0$推导得：$c^2 - a^2 - b^2 = 0$，即$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$为直角。
由$|a - b| = 0$推导得：$a - b = 0$，即$a = b$，说明$△ ABC$有两条边长度相等，是等腰三角形。
综上，$△ ABC$同时满足等腰三角形和直角三角形的特征，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的基础题，解题核心是熟练运用非负数的性质提取边的关系，同时要结合两个推导结论综合判断，避免遗漏条件只判定为单一的等腰三角形或直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。本题中算术平方根和绝对值都属于非负数，据此可以得到两个关于三角形三边的等式，再分别结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，结合边的等量关系判断是否为等腰三角形，综合两个结论即可得到三角形的形状。
【解析】
解：
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，且$\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} + |a - b| = 0$
∴根据非负数的性质可列等式：
$\begin{cases}\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} = 0 \\|a - b| = 0\end{cases}$
由$\sqrt{c^2 - a^2 - b^2} = 0$推导得：$c^2 - a^2 - b^2 = 0$，即$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$为直角。
由$|a - b| = 0$推导得：$a - b = 0$，即$a = b$，说明$△ ABC$有两条边长度相等，是等腰三角形。
综上，$△ ABC$同时满足等腰三角形和直角三角形的特征，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的基础题，解题核心是熟练运用非负数的性质提取边的关系，同时要结合两个推导结论综合判断，避免遗漏条件只判定为单一的等腰三角形或直角三角形。
【难度系数】
0.7
