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9.如图，$AD=8$，$CD=6$，$∠ ADC=90°$，$AB=26$，$BC=24$，该图形的面积等于________.
答案
9.96
解析
【分析】
要求该阴影图形的面积，观察图形可知阴影面积等于大三角形ABC的面积减去直角三角形ADC的面积。解题思路如下：第一步先连接辅助线AC，在直角三角形ADC中用勾股定理求出AC的长度；第二步根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断三角形ABC为直角三角形；第三步分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接AC，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=8$，$CD=6$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore AC=10$。
在$△ ABC$中，$AC=10$，$BC=24$，$AB=26$，
$\because AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
$\therefore$阴影部分面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× AD× CD$
$=\frac{1}{2}×10×24 - \frac{1}{2}×8×6$
$=120-24=96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础应用题型，解题的核心是通过添加辅助线将不规则图形的面积转化为两个规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
要求该阴影图形的面积，观察图形可知阴影面积等于大三角形ABC的面积减去直角三角形ADC的面积。解题思路如下：第一步先连接辅助线AC，在直角三角形ADC中用勾股定理求出AC的长度；第二步根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断三角形ABC为直角三角形；第三步分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接AC，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=8$，$CD=6$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore AC=10$。
在$△ ABC$中，$AC=10$，$BC=24$，$AB=26$，
$\because AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
$\therefore$阴影部分面积：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× AD× CD$
$=\frac{1}{2}×10×24 - \frac{1}{2}×8×6$
$=120-24=96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础应用题型，解题的核心是通过添加辅助线将不规则图形的面积转化为两个规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
10.如图,将一根长 12 cm 的筷子置于底面半径为 3 cm,高为 8 cm 的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为
2
cm.答案
10.2
解析
【分析】要计算筷子露在杯子外面的最短长度，首先需要明确：当筷子在杯子内部的长度最大时，露在外面的长度最短。筷子在杯内的最大长度对应斜放时一端碰杯底边缘、另一端碰杯口对面边缘的情况，此时杯内筷子、圆柱的高、圆柱底面直径刚好构成直角三角形，杯内筷子为斜边，用勾股定理求出斜边长度后，用筷子总长度减去该长度就能得到结果。
【解析】
1. 计算圆柱底面直径：已知底面半径为3cm，所以直径$d=2×3=6\mathrm{cm}$
2. 求杯内筷子的最大长度：由勾股定理，直角三角形两直角边分别为底面直径6cm、圆柱高8cm，因此斜边（即杯内筷子最大长度）为：
$l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
3. 计算露在外面的最短长度：筷子总长12cm，因此露在外面的长度至少为$12-10=2\mathrm{cm}$
【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的特征；最值计算
【点评】本题将立体图形特征和平面几何计算结合，核心是把立体场景中的最值问题转化为直角三角形的边长计算，解题时要注意不要误将底面半径当做直角边参与运算。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算圆柱底面直径：已知底面半径为3cm，所以直径$d=2×3=6\mathrm{cm}$
2. 求杯内筷子的最大长度：由勾股定理，直角三角形两直角边分别为底面直径6cm、圆柱高8cm，因此斜边（即杯内筷子最大长度）为：
$l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
3. 计算露在外面的最短长度：筷子总长12cm，因此露在外面的长度至少为$12-10=2\mathrm{cm}$
【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的特征；最值计算
【点评】本题将立体图形特征和平面几何计算结合，核心是把立体场景中的最值问题转化为直角三角形的边长计算，解题时要注意不要误将底面半径当做直角边参与运算。
【难度系数】0.7
11.已知两条线段的长为 3 cm 和 4 cm,当第三条线段的长为________cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
答案
11.5或$\sqrt{7}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形的三边关系，解题时需注意题干未明确哪条边是斜边，因此要分两种情况讨论：一是第三条线段为斜边，二是长度为4cm的线段为斜边，结合勾股定理逆定理分别计算即可，避免漏解。
【解析】
解：设第三条线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当$x$为直角三角形的斜边时，根据勾股定理逆定理可得：
$3^2 + 4^2 = x^2$
计算得$x^2 = 9 + 16 = 25$，由于线段长度为正数，因此$x = 5$；
2. 当长度为$4\ \mathrm{cm}$的线段为直角三角形的斜边时，$x$为直角边，根据勾股定理逆定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
计算得$x^2 = 16 - 9 = 7$，由于线段长度为正数，因此$x = \sqrt{7}$。
综上，第三条线段的长为$5$或$\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理逆定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的常见应用题型，易错点是默认第三条边为斜边，忽略已知的4cm线段也可能是斜边，导致漏解。做题时遇到未明确直角三角形斜边的问题，要先分类确定最长边，再结合定理计算。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形的三边关系，解题时需注意题干未明确哪条边是斜边，因此要分两种情况讨论：一是第三条线段为斜边，二是长度为4cm的线段为斜边，结合勾股定理逆定理分别计算即可，避免漏解。
【解析】
解：设第三条线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当$x$为直角三角形的斜边时，根据勾股定理逆定理可得：
$3^2 + 4^2 = x^2$
计算得$x^2 = 9 + 16 = 25$，由于线段长度为正数，因此$x = 5$；
2. 当长度为$4\ \mathrm{cm}$的线段为直角三角形的斜边时，$x$为直角边，根据勾股定理逆定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
计算得$x^2 = 16 - 9 = 7$，由于线段长度为正数，因此$x = \sqrt{7}$。
综上，第三条线段的长为$5$或$\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理逆定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理逆定理的常见应用题型，易错点是默认第三条边为斜边，忽略已知的4cm线段也可能是斜边，导致漏解。做题时遇到未明确直角三角形斜边的问题，要先分类确定最长边，再结合定理计算。
【难度系数】
0.6
12.如图，$AB⊥ BC$于点$B$，$AB⊥ AD$于点$A$，点$E$是$CD$的中点，若$BC=5$，$AD=10$，$BE=\dfrac{13}{2}$，则$AB$的长是________.
答案
12.12
解析
【分析】
首先由AB同时垂直于AD、BC，可判定AD//BC，得到两组内错角相等；结合E是CD中点的条件，考虑通过延长BE交AD于点F构造全等三角形，将已知的BC、BE的长度转化到直角三角形ABF中，最后利用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
延长BE交AD于点F，
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴ $∠DAB=∠ABC=90°$，
∴ $AD// BC$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴ $∠C=∠D$，$∠CBE=∠DFE$，
∵ 点E是CD的中点，
∴ $CE=DE$，
在$△ BCE$和$△ FDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠D \\∠CBE=∠DFE \\CE=DE\end{array} $
∴ $△ BCE≌△ FDE$（AAS），
∴ $DF=BC=5$，$BE=FE$，
∴ $BF=2BE=2×\dfrac{13}{2}=13$，
又
∵ $AD=10$，
∴ $AF=AD-DF=10-5=5$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题解题的关键是利用中点构造全等三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理求解，是几何中常见的“延长中线构造全等”的辅助线应用，能较好地考查学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
首先由AB同时垂直于AD、BC，可判定AD//BC，得到两组内错角相等；结合E是CD中点的条件，考虑通过延长BE交AD于点F构造全等三角形，将已知的BC、BE的长度转化到直角三角形ABF中，最后利用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
延长BE交AD于点F，
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$，
∴ $∠DAB=∠ABC=90°$，
∴ $AD// BC$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴ $∠C=∠D$，$∠CBE=∠DFE$，
∵ 点E是CD的中点，
∴ $CE=DE$，
在$△ BCE$和$△ FDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠D \\∠CBE=∠DFE \\CE=DE\end{array} $
∴ $△ BCE≌△ FDE$（AAS），
∴ $DF=BC=5$，$BE=FE$，
∴ $BF=2BE=2×\dfrac{13}{2}=13$，
又
∵ $AD=10$，
∴ $AF=AD-DF=10-5=5$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题解题的关键是利用中点构造全等三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理求解，是几何中常见的“延长中线构造全等”的辅助线应用，能较好地考查学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,点A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点).判断线段AB和BC的关系,并说明理由.
13.如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,点A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点).判断线段AB和BC的关系,并说明理由.
答案
13.相等且垂直.理由:连接AC,由勾股定理可得$AB^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=1^2+2^2=5$,$AC^2=1^2+3^2=10$,$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore △ ABC$是以$∠ B$为直角的直角三角形,即$AB⊥ BC$.$\therefore$线段AB和BC的关系是相等且垂直
解析
【分析】
要判断两条线段的关系，需要同时考虑数量关系（是否相等）和位置关系（是否垂直、平行等）。我们可以先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算AB、BC、AC的长度的平方，先判断AB和BC的数量关系；再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，进而确定AB和BC的位置关系。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，连接AC。
根据勾股定理可得：
$AB^2=1^2+2^2=5$，
$BC^2=1^2+2^2=5$，
$AC^2=1^2+3^2=10$，
∴ $AB^2=BC^2$，即 $AB=BC$，
又
∵ $AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是以$∠B$为直角的直角三角形，即 $AB⊥BC$。
综上，线段AB和BC的关系是相等且垂直。
【答案】
相等且垂直
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合格点背景考查线段关系的判定，解题时需注意线段关系包含数量和位置两类，不要遗漏判定；熟练运用勾股定理计算格点线段长度、用逆定理判定直角是解决本题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断两条线段的关系，需要同时考虑数量关系（是否相等）和位置关系（是否垂直、平行等）。我们可以先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算AB、BC、AC的长度的平方，先判断AB和BC的数量关系；再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，进而确定AB和BC的位置关系。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，连接AC。
根据勾股定理可得：
$AB^2=1^2+2^2=5$，
$BC^2=1^2+2^2=5$，
$AC^2=1^2+3^2=10$，
∴ $AB^2=BC^2$，即 $AB=BC$，
又
∵ $AB^2+BC^2=5+5=10=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是以$∠B$为直角的直角三角形，即 $AB⊥BC$。
综上，线段AB和BC的关系是相等且垂直。
【答案】
相等且垂直
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合格点背景考查线段关系的判定，解题时需注意线段关系包含数量和位置两类，不要遗漏判定；熟练运用勾股定理计算格点线段长度、用逆定理判定直角是解决本题的核心。
【难度系数】
0.7
14.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$\dfrac{a}{a - b + c} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}{c}$。求证：$△ ABC$是直角三角形。
答案
14.$\because \dfrac{a}{a - b + c} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}{c}$,$\therefore ac=\dfrac{1}{2}(a + b + c)(a - b + c)=\dfrac{1}{2}[(a^2+2ac+c^2)-b^2]$.$\therefore 2ac=a^2+2ac+c^2-b^2$.$\therefore a^2+c^2=b^2$.$\therefore △ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，已知三边的比例关系，可通过勾股定理的逆定理证明，即推导得到两边平方和等于第三边平方即可。第一步先对给出的分式比例式交叉相乘消去分母，得到整式等式；再观察等式右边的多项式乘积，将a+c看作整体凑成平方差公式的形式展开，最后化简整理得到三边的平方关系，即可得证。
【解析】
已知$\dfrac{a}{a - b + c} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}{c}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$ac=\dfrac{1}{2}(a + b + c)(a - b + c)$
将右边的乘积变形为平方差形式：
$(a + b + c)(a - b + c)=[(a + c) + b][(a + c) - b]=(a + c)^2 - b^2=a^2+2ac+c^2 - b^2$
代入上式得：
$ac=\dfrac{1}{2}(a^2+2ac+c^2 - b^2)$
两边同时乘2消去分母：
$2ac=a^2+2ac+c^2 - b^2$
两边同时减去$2ac$，整理得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
比例的基本性质、平方差公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是将已知的边的比例式转化为整式关系，借助乘法公式化简得到三边平方的等量关系，能够考查学生对比例性质、整式乘法及勾股逆定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是直角三角形，已知三边的比例关系，可通过勾股定理的逆定理证明，即推导得到两边平方和等于第三边平方即可。第一步先对给出的分式比例式交叉相乘消去分母，得到整式等式；再观察等式右边的多项式乘积，将a+c看作整体凑成平方差公式的形式展开，最后化简整理得到三边的平方关系，即可得证。
【解析】
已知$\dfrac{a}{a - b + c} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}{c}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$ac=\dfrac{1}{2}(a + b + c)(a - b + c)$
将右边的乘积变形为平方差形式：
$(a + b + c)(a - b + c)=[(a + c) + b][(a + c) - b]=(a + c)^2 - b^2=a^2+2ac+c^2 - b^2$
代入上式得：
$ac=\dfrac{1}{2}(a^2+2ac+c^2 - b^2)$
两边同时乘2消去分母：
$2ac=a^2+2ac+c^2 - b^2$
两边同时减去$2ac$，整理得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
比例的基本性质、平方差公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是将已知的边的比例式转化为整式关系，借助乘法公式化简得到三边平方的等量关系，能够考查学生对比例性质、整式乘法及勾股逆定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.如图,在四边形 ABCD 中,$BC=CD,∠ADB=∠C=90^{\circ },∠A=60^{\circ },AB=2\sqrt {6}$.求 CD 的长.
答案
15.$\because ∠ ADB=90°$,$∠ A=60°$,$\therefore ∠ ABD=30°$,$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB$,$\because AB=2\sqrt{6}$,$\therefore AD=\sqrt{6}$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-(\sqrt{6})^2}=3\sqrt{2}$,$\because ∠ C=90°$,$\therefore CD^2+BC^2=BD^2$,$\because BC=CD$,$\therefore 2CD^2=(3\sqrt{2})^2$,解得$CD=3$(负值舍去),$\therefore CD$的长为3
解析
【分析】
解题时先观察图形，存在两个直角三角形：$Rt△ ADB$和$Rt△ BCD$。首先在$Rt△ ADB$中，已知$∠ A=60°$，$∠ ADB=90°$，可先推出$∠ ABD=30°$，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出$AD$的长度，再用勾股定理算出$BD$的长度；接下来在$Rt△ BCD$中，已知$BC=CD$，$∠ C=90°$，属于等腰直角三角形，再结合勾股定理列方程即可求出$CD$的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ADB=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABD=180°-90°-60°=30°$，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB$（直角三角形中$30°$角所对直角边等于斜边的一半），
$\because AB=2\sqrt{6}$，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{24-6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$在$Rt△ BCD$中，$CD^2+BC^2=BD^2$（勾股定理），
又$\because BC=CD$，
$\therefore 2CD^2=(3\sqrt{2})^2=18$，
即$CD^2=9$，解得$CD=3$（边长为正数，舍去负值$-3$）。
【答案】
$3$
【知识点】
直角三角形$30°$角性质、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题，解题的关键是先在含特殊角的直角三角形$ADB$中求出公共边$BD$的长度，再结合等腰直角三角形的边的关系，利用勾股定理求解即可，解题过程中要注意边长为正，舍去负的计算结果。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，存在两个直角三角形：$Rt△ ADB$和$Rt△ BCD$。首先在$Rt△ ADB$中，已知$∠ A=60°$，$∠ ADB=90°$，可先推出$∠ ABD=30°$，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出$AD$的长度，再用勾股定理算出$BD$的长度；接下来在$Rt△ BCD$中，已知$BC=CD$，$∠ C=90°$，属于等腰直角三角形，再结合勾股定理列方程即可求出$CD$的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ADB=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABD=180°-90°-60°=30°$，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB$（直角三角形中$30°$角所对直角边等于斜边的一半），
$\because AB=2\sqrt{6}$，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{24-6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$在$Rt△ BCD$中，$CD^2+BC^2=BD^2$（勾股定理），
又$\because BC=CD$，
$\therefore 2CD^2=(3\sqrt{2})^2=18$，
即$CD^2=9$，解得$CD=3$（边长为正数，舍去负值$-3$）。
【答案】
$3$
【知识点】
直角三角形$30°$角性质、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题，解题的关键是先在含特殊角的直角三角形$ADB$中求出公共边$BD$的长度，再结合等腰直角三角形的边的关系，利用勾股定理求解即可，解题过程中要注意边长为正，舍去负的计算结果。
【难度系数】
0.7
