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16.小明计划制作一架小型飞机模型,如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼,小明测量发现$AB=13\ \mathrm{cm},AD=5\ \mathrm{cm},∠ DBC=90°,BC=16\ \mathrm{cm},CD=20\ \mathrm{cm}.$根据设计要求需保证$AD// BC.$请判断该尾翼是否符合设计要求,并说明理由.
答案
16.符合设计要求,理由:$\because ∠ DBC=90°$,$BC=16\ \mathrm{cm}$,$CD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=12(\mathrm{cm})$,在$△ ABD$中,$AB=13\ \mathrm{cm}$,$AD=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore AD^2+BD^2=5^2+12^2=13^2=AB^2$,$\therefore △ ABD$是直角三角形,即$∠ ADB=90°$,$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$,$\therefore AD// BC$,该尾翼符合设计要求
解析
【分析】
要判断该尾翼是否符合设计要求，本质是验证AD与BC是否平行。根据平行线的判定规则，内错角相等时两直线平行，已知∠DBC=90°，因此只需证明∠ADB也为90°，即可得到这组内错角相等，推出AD//BC。要证明∠ADB是直角，首先需要求得BD的长度：可先在Rt△DBC中利用勾股定理算出BD的长，再将BD的长度代入△ABD的三边关系中，用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形、且直角顶点为D即可。
【解析】
解：该尾翼符合设计要求，理由如下：
∵ $∠ DBC=90°$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$，
在$△ ABD$中，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，
∵ $AD^2+BD^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABD$是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADB=∠ DBC=90°$，
∴ $AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
该尾翼符合设计要求
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题是勾股定理相关知识的实际应用类题目，解题时需要明确推导目标，从已知条件出发逐步推导：先通过勾股定理计算未知边长，再利用逆定理判断直角，最终结合平行线判定定理得出结论，能够较好地考察学生的逻辑推导能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断该尾翼是否符合设计要求，本质是验证AD与BC是否平行。根据平行线的判定规则，内错角相等时两直线平行，已知∠DBC=90°，因此只需证明∠ADB也为90°，即可得到这组内错角相等，推出AD//BC。要证明∠ADB是直角，首先需要求得BD的长度：可先在Rt△DBC中利用勾股定理算出BD的长，再将BD的长度代入△ABD的三边关系中，用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形、且直角顶点为D即可。
【解析】
解：该尾翼符合设计要求，理由如下：
∵ $∠ DBC=90°$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$，
在$△ ABD$中，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，
∵ $AD^2+BD^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABD$是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADB=∠ DBC=90°$，
∴ $AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
该尾翼符合设计要求
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题是勾股定理相关知识的实际应用类题目，解题时需要明确推导目标，从已知条件出发逐步推导：先通过勾股定理计算未知边长，再利用逆定理判断直角，最终结合平行线判定定理得出结论，能够较好地考察学生的逻辑推导能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
17.如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ BC$,垂足为$D$,交$AB$于点$E$,且$BE^2 - EA^2 = AC^2$.
(1)求证:$∠ A = 90°$;
(2)若$DE = 3$,$BD = 4$,求$AE$的长.
(1)求证:$∠ A = 90°$;
(2)若$DE = 3$,$BD = 4$,求$AE$的长.
答案
17.(1)连接$CE$,$\because D$是$BC$的中点,$DE ⊥ BC$,$\therefore CE=BE$.$\because BE^2-EA^2=AC^2$,$\therefore CE^2-EA^2=AC^2$,$\therefore EA^2+AC^2=CE^2$,$\therefore △ ACE$是直角三角形,即$∠ A=90°$
(2)$\because DE=3$,$BD=4$,$\therefore BE=CE=\sqrt{DE^2+BD^2}=5$,$\therefore AC^2=EC^2-AE^2=25-AE^2$,$\because BC=2BD=8$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中由勾股定理可得$AC^2=BC^2-AB^2=64-(5+AE)^2$,$\therefore 64-(5+AE)^2=25-AE^2$,解得$AE=\dfrac{7}{5}$
(2)$\because DE=3$,$BD=4$,$\therefore BE=CE=\sqrt{DE^2+BD^2}=5$,$\therefore AC^2=EC^2-AE^2=25-AE^2$,$\because BC=2BD=8$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中由勾股定理可得$AC^2=BC^2-AB^2=64-(5+AE)^2$,$\therefore 64-(5+AE)^2=25-AE^2$,解得$AE=\dfrac{7}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明∠A=90°，可借助勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形。观察图形可知DE垂直平分BC，根据垂直平分线的性质，连接CE可得CE=BE，将已知条件中的BE替换为CE，整理后可得到EA²+AC²=CE²，符合勾股定理逆定理的条件，即可得证。
(2) 先在Rt△BDE中用勾股定理求出BE的长度，也就是CE的长度；设AE的长为未知数，分别在Rt△ACE和Rt△ABC中用勾股定理表示出AC²，联立两个表达式得到关于未知数的方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$CE$，
$\because D$是$BC$的中点，$DE ⊥ BC$，
$\therefore DE$是$BC$的垂直平分线，$CE=BE$。
$\because BE^2-EA^2=AC^2$，
$\therefore CE^2-EA^2=AC^2$，整理得$EA^2+AC^2=CE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ ACE$是直角三角形，即$∠ A=90°$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=3$，$BD=4$，
由勾股定理得$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CE=BE=5$，$BC=2BD=8$。
设$AE=x$，则$AB=BE+AE=5+x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得$AC^2=EC^2-AE^2=25-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2=BC^2-AB^2=64-(5+x)^2$，
$\therefore 25-x^2=64-(5+x)^2$，
展开化简得$25=39-10x$，解得$x=\dfrac{7}{5}$。
【答案】
(1) $∠ A=90°$得证；
(2) $AE=\dfrac{7}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线性质、勾股定理及其逆定理的应用，通过作辅助线转化线段关系，利用公共量建立方程求解，是勾股定理应用的典型题型，有效锻炼几何逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠A=90°，可借助勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形。观察图形可知DE垂直平分BC，根据垂直平分线的性质，连接CE可得CE=BE，将已知条件中的BE替换为CE，整理后可得到EA²+AC²=CE²，符合勾股定理逆定理的条件，即可得证。
(2) 先在Rt△BDE中用勾股定理求出BE的长度，也就是CE的长度；设AE的长为未知数，分别在Rt△ACE和Rt△ABC中用勾股定理表示出AC²，联立两个表达式得到关于未知数的方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$CE$，
$\because D$是$BC$的中点，$DE ⊥ BC$，
$\therefore DE$是$BC$的垂直平分线，$CE=BE$。
$\because BE^2-EA^2=AC^2$，
$\therefore CE^2-EA^2=AC^2$，整理得$EA^2+AC^2=CE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ ACE$是直角三角形，即$∠ A=90°$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE=3$，$BD=4$，
由勾股定理得$BE=\sqrt{DE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CE=BE=5$，$BC=2BD=8$。
设$AE=x$，则$AB=BE+AE=5+x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得$AC^2=EC^2-AE^2=25-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2=BC^2-AB^2=64-(5+x)^2$，
$\therefore 25-x^2=64-(5+x)^2$，
展开化简得$25=39-10x$，解得$x=\dfrac{7}{5}$。
【答案】
(1) $∠ A=90°$得证；
(2) $AE=\dfrac{7}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线性质、勾股定理及其逆定理的应用，通过作辅助线转化线段关系，利用公共量建立方程求解，是勾股定理应用的典型题型，有效锻炼几何逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
18.某广场平坦开阔，成为不少市民放风筝的理想场所，某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度$ CE $，他们进行了如下操作：①测得水平距离$ BD $的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$ BC $的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度$ CE $；
(2)如果小明想使风筝沿$ CD $方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？
(1)求风筝的垂直高度$ CE $；
(2)如果小明想使风筝沿$ CD $方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？
答案
18.(1)在$\mathrm{Rt}△ CDB$中,由勾股定理,得$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=400$,$\therefore CD=20$(负值舍去),$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6(\mathrm{m})$,答:风筝的高度$CE$为21.6米
(2)设风筝沿$CD$方向下降到点$M$处.由题意,得$CM=12\ \mathrm{m}$,$\therefore DM=8\ \mathrm{m}$,$\therefore BM=\sqrt{DM^2+BD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17(\mathrm{m})$,$\therefore BC-BM=25-17=8(\mathrm{m})$,$\therefore$他应该往回收线8米
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先观察图形可得$BD⊥ CE$，即$△ CDB$是直角三角形，已知斜边$BC$和直角边$BD$的长度，利用勾股定理即可求出竖直边$CD$的长度，再加上小明的身高$DE$（和$AB$长度相等），就能得到风筝的垂直高度$CE$。
(2) 求解第二问时，风筝下降12m到$M$点后，先计算出$DM$的长度，此时新的风筝线为$BM$，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中再次使用勾股定理求出$BM$的长度，用原来的线长$BC$减去新线长$BM$，所得差值就是需要往回收的线长。
【解析】
(1) 由题意可知$∠ CDB=90°$，$△ CDB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，根据勾股定理：
$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=625-225=400$
因为长度为正数，所以$CD=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又小明身高$DE=1.6\ \mathrm{m}$，因此$CE=CD+DE=20+1.6=21.6\ \mathrm{m}$。
(2) 设风筝沿$CD$方向下降12m后到达点$M$，则$CM=12\ \mathrm{m}$，
可得$DM=CD-CM=20-12=8\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，根据勾股定理：
$BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
因此需要回收的线长为$BC-BM=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
18.(1)在$\mathrm{Rt}△ CDB$中,由勾股定理,得$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=400$,$\therefore CD=20$(负值舍去),$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6(\mathrm{m})$,答:风筝的高度$CE$为21.6米
(2)设风筝沿$CD$方向下降到点$M$处.由题意,得$CM=12\ \mathrm{m}$,$\therefore DM=8\ \mathrm{m}$,$\therefore BM=\sqrt{DM^2+BD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17(\mathrm{m})$,$\therefore BC-BM=25-17=8(\mathrm{m})$,$\therefore$他应该往回收线8米
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的数学问题，准确识别直角三角形的斜边和直角边，代入勾股定理计算即可，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先观察图形可得$BD⊥ CE$，即$△ CDB$是直角三角形，已知斜边$BC$和直角边$BD$的长度，利用勾股定理即可求出竖直边$CD$的长度，再加上小明的身高$DE$（和$AB$长度相等），就能得到风筝的垂直高度$CE$。
(2) 求解第二问时，风筝下降12m到$M$点后，先计算出$DM$的长度，此时新的风筝线为$BM$，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中再次使用勾股定理求出$BM$的长度，用原来的线长$BC$减去新线长$BM$，所得差值就是需要往回收的线长。
【解析】
(1) 由题意可知$∠ CDB=90°$，$△ CDB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，根据勾股定理：
$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=625-225=400$
因为长度为正数，所以$CD=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，
又小明身高$DE=1.6\ \mathrm{m}$，因此$CE=CD+DE=20+1.6=21.6\ \mathrm{m}$。
(2) 设风筝沿$CD$方向下降12m后到达点$M$，则$CM=12\ \mathrm{m}$，
可得$DM=CD-CM=20-12=8\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，根据勾股定理：
$BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$，
因此需要回收的线长为$BC-BM=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
18.(1)在$\mathrm{Rt}△ CDB$中,由勾股定理,得$CD^2=BC^2-BD^2=25^2-15^2=400$,$\therefore CD=20$(负值舍去),$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6(\mathrm{m})$,答:风筝的高度$CE$为21.6米
(2)设风筝沿$CD$方向下降到点$M$处.由题意,得$CM=12\ \mathrm{m}$,$\therefore DM=8\ \mathrm{m}$,$\therefore BM=\sqrt{DM^2+BD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17(\mathrm{m})$,$\therefore BC-BM=25-17=8(\mathrm{m})$,$\therefore$他应该往回收线8米
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的数学问题，准确识别直角三角形的斜边和直角边，代入勾股定理计算即可，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
