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作业(六) 四边形及多边形
一、选择题
1.如图,四边形ABCD的内角和等于 （
A.$180°$
B.$270°$
C.$360°$
D.$540°$
一、选择题
1.如图,四边形ABCD的内角和等于 （
C
）A.$180°$
B.$270°$
C.$360°$
D.$540°$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求四边形ABCD的内角和，可从两个思路解题：一是直接利用已知的四边形内角和结论，二是借助多边形内角和公式计算，也可以通过添加对角线将四边形分割为三角形，利用三角形内角和推导。首先明确四边形的边数n=4，代入多边形内角和公式即可快速算出结果；如果不记得结论，连接任意一条对角线，能把四边形分成2个三角形，每个三角形内角和是180°，两个三角形的内角和相加就是四边形的内角和。
【解析】
方法1：利用多边形内角和公式计算
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（n为多边形的边数，$n≥3$）。
四边形的边数$n=4$，代入公式可得：
$(4-2)×180°=2×180°=360°$。
方法2：分割三角形推导
连接四边形的任意一条对角线，可将四边形分成2个独立的三角形，已知三角形内角和为$180°$，因此四边形内角和为$2×180°=360°$。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题，重点考查多边形内角和的基础应用，无论是直接记忆结论还是通过公式、分割法推导都能得到答案，是巩固多边形内角和相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.9
本题要求四边形ABCD的内角和，可从两个思路解题：一是直接利用已知的四边形内角和结论，二是借助多边形内角和公式计算，也可以通过添加对角线将四边形分割为三角形，利用三角形内角和推导。首先明确四边形的边数n=4，代入多边形内角和公式即可快速算出结果；如果不记得结论，连接任意一条对角线，能把四边形分成2个三角形，每个三角形内角和是180°，两个三角形的内角和相加就是四边形的内角和。
【解析】
方法1：利用多边形内角和公式计算
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（n为多边形的边数，$n≥3$）。
四边形的边数$n=4$，代入公式可得：
$(4-2)×180°=2×180°=360°$。
方法2：分割三角形推导
连接四边形的任意一条对角线，可将四边形分成2个独立的三角形，已知三角形内角和为$180°$，因此四边形内角和为$2×180°=360°$。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和；多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题，重点考查多边形内角和的基础应用，无论是直接记忆结论还是通过公式、分割法推导都能得到答案，是巩固多边形内角和相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.9
2.下列图形为正多边形的是 （
D
）答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正多边形的判定标准：正多边形需要同时满足两个条件，一是所有边的长度相等，二是所有内角的度数相等，两个条件缺一不可。我们只需对照这个标准逐一分析每个选项即可：首先排除只满足其中一个条件，或者两个条件都不满足的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
根据正多边形的定义判断：
1. 选项A：是等腰梯形，上下底长度不相等，且内角也不完全相等，不符合正多边形要求；
2. 选项B：是矩形，四个内角都是90°满足角相等的条件，但邻边长度不相等，不满足边相等的要求，不是正多边形；
3. 选项C：该八边形的边长短交替，相邻边长度不全部相等，不符合正多边形要求；
4. 选项D：该五边形的五条边长度都相等，五个内角也都相等，是正五边形，属于正多边形。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是牢记正多边形的两个判定条件，不能仅通过边相等或者仅通过角相等就判定为正多边形，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确正多边形的判定标准：正多边形需要同时满足两个条件，一是所有边的长度相等，二是所有内角的度数相等，两个条件缺一不可。我们只需对照这个标准逐一分析每个选项即可：首先排除只满足其中一个条件，或者两个条件都不满足的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
根据正多边形的定义判断：
1. 选项A：是等腰梯形，上下底长度不相等，且内角也不完全相等，不符合正多边形要求；
2. 选项B：是矩形，四个内角都是90°满足角相等的条件，但邻边长度不相等，不满足边相等的要求，不是正多边形；
3. 选项C：该八边形的边长短交替，相邻边长度不全部相等，不符合正多边形要求；
4. 选项D：该五边形的五条边长度都相等，五个内角也都相等，是正五边形，属于正多边形。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是牢记正多边形的两个判定条件，不能仅通过边相等或者仅通过角相等就判定为正多边形，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
3.下列角度中,不是某多边形内角和的是 （
A.$600°$
B.$720°$
C.$900°$
D.$1080°$
A
）A.$600°$
B.$720°$
C.$900°$
D.$1080°$
答案
3.A
解析
【分析】
要判断哪个角度不是多边形的内角和，首先回忆多边形内角和公式：n（n≥3，且n为整数）边形的内角和为$(n-2)×180°$。因为边数n是正整数，所以(n-2)也是正整数，因此多边形的内角和一定是180°的整数倍。解题时只需逐一验证各选项是否为180°的整数倍，即可得出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式，n边形（$n≥3$，且n为整数）的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此多边形内角和一定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
选项A：$600°÷180°=\frac{10}{3}$，结果不是整数，因此$600°$不可能是多边形的内角和；
选项B：$720°÷180°=4$，即$n-2=4$，得$n=6$，是六边形的内角和，符合要求；
选项C：$900°÷180°=5$，即$n-2=5$，得$n=7$，是七边形的内角和，符合要求；
选项D：$1080°÷180°=6$，即$n-2=6$，得$n=8$，是八边形的内角和，符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是理解多边形内角和公式的推导逻辑，明确内角和必然是180°的整数倍，通过除法验证即可快速得出答案，不需要逐一计算不同边数多边形的内角和。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角度不是多边形的内角和，首先回忆多边形内角和公式：n（n≥3，且n为整数）边形的内角和为$(n-2)×180°$。因为边数n是正整数，所以(n-2)也是正整数，因此多边形的内角和一定是180°的整数倍。解题时只需逐一验证各选项是否为180°的整数倍，即可得出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式，n边形（$n≥3$，且n为整数）的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此多边形内角和一定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
选项A：$600°÷180°=\frac{10}{3}$，结果不是整数，因此$600°$不可能是多边形的内角和；
选项B：$720°÷180°=4$，即$n-2=4$，得$n=6$，是六边形的内角和，符合要求；
选项C：$900°÷180°=5$，即$n-2=5$，得$n=7$，是七边形的内角和，符合要求；
选项D：$1080°÷180°=6$，即$n-2=6$，得$n=8$，是八边形的内角和，符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是理解多边形内角和公式的推导逻辑，明确内角和必然是180°的整数倍，通过除法验证即可快速得出答案，不需要逐一计算不同边数多边形的内角和。
【难度系数】
0.9
4.如图,将一张四边形纸片沿虚线剪开,使得剪开后的两个图形的内角和相等.下列四种剪法中,符合要求的是
(
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
(
B
)A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且n为整数）。我们只需要逐个分析四种剪法剪开后两个图形分别是几边形，计算各自的内角和，判断是否相等即可。
【解析】
我们逐一分析每种剪法：
1. 剪法①：沿虚线剪开后，得到的两个图形都是四边形。
四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，两个图形内角和相等，符合要求。
2. 剪法②：沿虚线剪开后，得到的两个图形分别是四边形、三角形。
四边形内角和为$360°$，三角形内角和为$180°$，内角和不相等，不符合要求。
3. 剪法③：沿虚线剪开后，得到的两个图形都是三角形。
三角形内角和都为$180°$，两个图形内角和相等，符合要求。
4. 剪法④：沿虚线剪开后，得到的两个图形分别是四边形、三角形。
四边形内角和为$360°$，三角形内角和为$180°$，内角和不相等，不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和，图形剪拼
【点评】
本题属于基础题，核心是运用多边形内角和公式判断剪拼后图形的内角和关系，解题时要准确判断剪开后每个图形的边数，避免数错边数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n≥3$且n为整数）。我们只需要逐个分析四种剪法剪开后两个图形分别是几边形，计算各自的内角和，判断是否相等即可。
【解析】
我们逐一分析每种剪法：
1. 剪法①：沿虚线剪开后，得到的两个图形都是四边形。
四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，两个图形内角和相等，符合要求。
2. 剪法②：沿虚线剪开后，得到的两个图形分别是四边形、三角形。
四边形内角和为$360°$，三角形内角和为$180°$，内角和不相等，不符合要求。
3. 剪法③：沿虚线剪开后，得到的两个图形都是三角形。
三角形内角和都为$180°$，两个图形内角和相等，符合要求。
4. 剪法④：沿虚线剪开后，得到的两个图形分别是四边形、三角形。
四边形内角和为$360°$，三角形内角和为$180°$，内角和不相等，不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和，图形剪拼
【点评】
本题属于基础题，核心是运用多边形内角和公式判断剪拼后图形的内角和关系，解题时要准确判断剪开后每个图形的边数，避免数错边数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,一个正方形和一个正六边形有一边重合,则∠BAC 的度数为 （
A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$
A
）A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
5.A
解析
【分析】
要求∠BAC的度数，首先需明确正多边形的每个内角相等，先利用多边形内角和公式分别算出正方形和正六边形的内角度数，再观察公共顶点A处，正方形内角、正六边形内角与∠BAC的和为周角360°，用周角减去已知两个内角的度数就能得到∠BAC的度数。
【解析】
1. 正方形的每个内角均为90°；
2. 根据多边形内角和公式：n边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$；
3. 点A处三个角的和为周角360°，因此：
$∠ BAC=360°-90°-120°=150°$
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质，周角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握多边形内角和公式，找准公共顶点处各角的和为周角，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的度数，首先需明确正多边形的每个内角相等，先利用多边形内角和公式分别算出正方形和正六边形的内角度数，再观察公共顶点A处，正方形内角、正六边形内角与∠BAC的和为周角360°，用周角减去已知两个内角的度数就能得到∠BAC的度数。
【解析】
1. 正方形的每个内角均为90°；
2. 根据多边形内角和公式：n边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$；
3. 点A处三个角的和为周角360°，因此：
$∠ BAC=360°-90°-120°=150°$
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质，周角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握多边形内角和公式，找准公共顶点处各角的和为周角，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
6.将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，且它们的公共顶点为O，正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠BOE的度数是 （
A.$48°$
B.$54°$
C.$60°$
D.$72°$
A
）A.$48°$
B.$54°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要利用正多边形内角公式分别求出正六边形、正五边形的每个内角度数，再结合平角的性质求出△OBE中两个底角的度数，最后根据三角形内角和为180°计算出∠BOE的度数即可。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
正n边形的每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，当n=6时，正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ OBA=120°$。
因为AB和BE共线，所以$∠ OBE=180° - ∠ OBA=180° -120°=60°$。
2. 计算正五边形的每个内角度数：
当n=5时，正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ OED=108°$。
因为DE和BE共线，所以$∠ OEB=180° - ∠ OED=180° -108°=72°$。
3. 在△OBE中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BOE=180° - ∠ OBE - ∠ OEB=180° -60° -72°=48°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算，三角形内角和，平角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合图形特征找到各角的数量关系，是多边形性质相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要利用正多边形内角公式分别求出正六边形、正五边形的每个内角度数，再结合平角的性质求出△OBE中两个底角的度数，最后根据三角形内角和为180°计算出∠BOE的度数即可。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
正n边形的每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，当n=6时，正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ OBA=120°$。
因为AB和BE共线，所以$∠ OBE=180° - ∠ OBA=180° -120°=60°$。
2. 计算正五边形的每个内角度数：
当n=5时，正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ OED=108°$。
因为DE和BE共线，所以$∠ OEB=180° - ∠ OED=180° -108°=72°$。
3. 在△OBE中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BOE=180° - ∠ OBE - ∠ OEB=180° -60° -72°=48°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算，三角形内角和，平角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合图形特征找到各角的数量关系，是多边形性质相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
7.如图是正$n$边形纸片的一部分，其中$l,m$是正$n$边形两条边的一部分.若$l,m$所在的直线相交形成的锐角为$60°$，则$n$的值是 （
A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
B
）A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
7.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确正多边形的外角相关性质：正多边形的每个外角都相等，且所有外角的和固定为360°。首先判断题中l、m所在直线相交形成的60°锐角就是该正n边形的一个外角，接下来利用“正多边形边数=外角和÷单个外角度数”的关系即可求出n的值。
【解析】
∵ 正多边形的外角和恒为360°，且每个外角大小相等，
又
∵ l、m是正n边形的两条边，它们所在直线相交形成的锐角60°即为该正n边形的一个外角的度数，
∴ 正n边形的边数 $ n = 360° ÷ 60° = 6 $。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形外角和，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别题目给出的60°角是正多边形的外角，牢记正多边形外角和为360°的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确正多边形的外角相关性质：正多边形的每个外角都相等，且所有外角的和固定为360°。首先判断题中l、m所在直线相交形成的60°锐角就是该正n边形的一个外角，接下来利用“正多边形边数=外角和÷单个外角度数”的关系即可求出n的值。
【解析】
∵ 正多边形的外角和恒为360°，且每个外角大小相等，
又
∵ l、m是正n边形的两条边，它们所在直线相交形成的锐角60°即为该正n边形的一个外角的度数，
∴ 正n边形的边数 $ n = 360° ÷ 60° = 6 $。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形外角和，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别题目给出的60°角是正多边形的外角，牢记正多边形外角和为360°的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
