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8.若一个多边形截去一个角后,变成四边形,则原来的多边形的边数可能为 （
A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
C
）A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多边形截去一个角时，根据截线的位置不同，新多边形的边数存在三种变化情况：边数比原多边形少1、边数与原多边形相等、边数比原多边形多1。已知截去角后得到的是四边形，我们分三种情况反推原多边形的边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形少1：此时原多边形边数 = 4 + 1 = 5，即五边形截去一个角（截线经过两个相邻顶点）可得到四边形；
2. 若截去一个角后新多边形边数与原多边形相等：此时原多边形边数 = 4，即四边形截去一个角（截线经过一个顶点和一条边）仍得到四边形；
3. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形多1：此时原多边形边数 = 4 - 1 = 3，即三角形截去一个角（截线经过两条相邻边、不经过顶点）可得到四边形。
综上，原多边形的边数可能为3、4、5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形截角规律、多边形边数计算
【点评】
本题是多边形部分的易错题，解题关键是要全面考虑截线的三种不同位置，避免因漏解导致选错，熟练掌握截角后边数的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确多边形截去一个角时，根据截线的位置不同，新多边形的边数存在三种变化情况：边数比原多边形少1、边数与原多边形相等、边数比原多边形多1。已知截去角后得到的是四边形，我们分三种情况反推原多边形的边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形少1：此时原多边形边数 = 4 + 1 = 5，即五边形截去一个角（截线经过两个相邻顶点）可得到四边形；
2. 若截去一个角后新多边形边数与原多边形相等：此时原多边形边数 = 4，即四边形截去一个角（截线经过一个顶点和一条边）仍得到四边形；
3. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形多1：此时原多边形边数 = 4 - 1 = 3，即三角形截去一个角（截线经过两条相邻边、不经过顶点）可得到四边形。
综上，原多边形的边数可能为3、4、5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形截角规律、多边形边数计算
【点评】
本题是多边形部分的易错题，解题关键是要全面考虑截线的三种不同位置，避免因漏解导致选错，熟练掌握截角后边数的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.6
9.多边形的边数每增加1条,它的 ()
A.内角和、外角和都增加$180°$
B.内角和、外角和都减少$180°$
C.内角和、外角和都保持不变
D.内角和增加$180°$,外角和保持不变
A.内角和、外角和都增加$180°$
B.内角和、外角和都减少$180°$
C.内角和、外角和都保持不变
D.内角和增加$180°$,外角和保持不变
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分别分析多边形边数增加1时内角和、外角和的变化规律：首先回忆多边形内角和公式，计算边数增加1前后内角和的差值；再结合多边形外角和的固定性质判断外角和的变化，最终对应选项得出答案。
【解析】
设原多边形的边数为n：
1. 分析内角和的变化：
根据多边形内角和公式，n边形的内角和为$(n-2)× 180°$；
当边数增加1变为$n+1$边形时，内角和为$(n+1-2)× 180°=(n-1)× 180°$；
两者作差可得：$(n-1)× 180° - (n-2)× 180°=180°$，即内角和增加$180°$。
2. 分析外角和的变化：
任意多边形的外角和恒为$360°$，和边数无关，因此边数增加1时外角和保持不变。
综上，边数每增加1条，内角和增加$180°$，外角和保持不变，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基础性质，解题核心是牢记多边形外角和固定为$360°$、内角和随边数变化的规律，属于基础概念考查题，掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分别分析多边形边数增加1时内角和、外角和的变化规律：首先回忆多边形内角和公式，计算边数增加1前后内角和的差值；再结合多边形外角和的固定性质判断外角和的变化，最终对应选项得出答案。
【解析】
设原多边形的边数为n：
1. 分析内角和的变化：
根据多边形内角和公式，n边形的内角和为$(n-2)× 180°$；
当边数增加1变为$n+1$边形时，内角和为$(n+1-2)× 180°=(n-1)× 180°$；
两者作差可得：$(n-1)× 180° - (n-2)× 180°=180°$，即内角和增加$180°$。
2. 分析外角和的变化：
任意多边形的外角和恒为$360°$，和边数无关，因此边数增加1时外角和保持不变。
综上，边数每增加1条，内角和增加$180°$，外角和保持不变，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基础性质，解题核心是牢记多边形外角和固定为$360°$、内角和随边数变化的规律，属于基础概念考查题，掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10.如图①,乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央,是六盘水市的标志性建筑.如图②是乌蒙铁塔主体之一的八角形平台的平面示意图,若多边形ABCDEFGH是正八边形,则∠ABC的度数为
135°
.答案
10.135°
解析
【分析】
要计算正八边形中内角∠ABC的度数，首先回忆多边形内角和的计算方法：n边形的内角和为$(n-2)×180°$；再结合正多边形的性质，正多边形的所有内角大小相等，因此只需先算出正八边形的内角总和，再除以边数8，就能得到单个内角的度数。
【解析】
解：已知多边形ABCDEFGH是正八边形，边数$n=8$。
第一步，计算正八边形的内角和：
根据多边形内角和公式，内角和为$(n-2)×180°=(8-2)×180°=1080°$
第二步，计算单个内角的度数：
因为正八边形的每个内角都相等，所以$∠ ABC=1080°÷8=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
多边形内角和计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于多边形内角的基础考查题，解题关键是牢记多边形内角和公式，结合正多边形各内角相等的特征即可快速求解，是巩固多边形基础知识点的典型题型。
【难度系数】
0.9
要计算正八边形中内角∠ABC的度数，首先回忆多边形内角和的计算方法：n边形的内角和为$(n-2)×180°$；再结合正多边形的性质，正多边形的所有内角大小相等，因此只需先算出正八边形的内角总和，再除以边数8，就能得到单个内角的度数。
【解析】
解：已知多边形ABCDEFGH是正八边形，边数$n=8$。
第一步，计算正八边形的内角和：
根据多边形内角和公式，内角和为$(n-2)×180°=(8-2)×180°=1080°$
第二步，计算单个内角的度数：
因为正八边形的每个内角都相等，所以$∠ ABC=1080°÷8=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
多边形内角和计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于多边形内角的基础考查题，解题关键是牢记多边形内角和公式，结合正多边形各内角相等的特征即可快速求解，是巩固多边形基础知识点的典型题型。
【难度系数】
0.9
11.如果从某个多边形的一个顶点出发能引4条对角线，那么该多边形的内角和是
900°
.答案
11.900°
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：首先回忆多边形对角线的性质，n边形从一个顶点出发时，无法向自身及相邻的2个顶点连对角线，因此可引出的对角线条数为(n-3)条，先根据已知的对角线数量求出多边形的边数n；再将求得的边数代入多边形内角和公式，即可算出最终的内角和。
【解析】
设该多边形的边数为$ n $。
根据从多边形一个顶点引出的对角线条数公式可得：
$ n - 3 = 4 $
解得$ n = 7 $，即该多边形为七边形。
再根据多边形内角和公式$ (n-2) × 180° $，代入$ n=7 $得：
$ (7-2) × 180° = 5 × 180° = 900° $
【答案】
$ 900° $
【知识点】
1. 多边形对角线与边数的关系
2. 多边形内角和计算
【点评】
本题属于多边形的基础常考题，解题关键是牢记多边形对角线数量和边数的对应关系，结合内角和公式即可快速求解，是巩固多边形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决本题需分两步思考：首先回忆多边形对角线的性质，n边形从一个顶点出发时，无法向自身及相邻的2个顶点连对角线，因此可引出的对角线条数为(n-3)条，先根据已知的对角线数量求出多边形的边数n；再将求得的边数代入多边形内角和公式，即可算出最终的内角和。
【解析】
设该多边形的边数为$ n $。
根据从多边形一个顶点引出的对角线条数公式可得：
$ n - 3 = 4 $
解得$ n = 7 $，即该多边形为七边形。
再根据多边形内角和公式$ (n-2) × 180° $，代入$ n=7 $得：
$ (7-2) × 180° = 5 × 180° = 900° $
【答案】
$ 900° $
【知识点】
1. 多边形对角线与边数的关系
2. 多边形内角和计算
【点评】
本题属于多边形的基础常考题，解题关键是牢记多边形对角线数量和边数的对应关系，结合内角和公式即可快速求解，是巩固多边形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
12.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是________.
答案
12.60°
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，先根据多边形内角和公式求出五边形的总内角和，结合已知的三个角的和，算出∠EDC与∠BCD的度数和；第二步，利用角平分线的性质，得到△PDC中两个底角∠PDC、∠PCD的和；第三步，根据三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
首先计算五边形ABCDE的内角和：
根据n边形内角和公式，五边形内角和为$(5-2) × 180° = 540°$。
已知$∠ A + ∠ B + ∠ E = 300°$，因此：
$∠ EDC + ∠ BCD = 540° - 300° = 240°$。
∵DP平分$∠ EDC$，CP平分$∠ BCD$，
∴$∠ PDC = \frac{1}{2}∠ EDC$，$∠ PCD = \frac{1}{2}∠ BCD$，
则$∠ PDC + ∠ PCD = \frac{1}{2}(∠ EDC + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 240° = 120°$。
在$△ PDC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P = 180° - (∠ PDC + ∠ PCD) = 180° - 120° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
多边形内角和、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形与三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过五边形内角和求出待转化的两个角的和，再借助角平分线的性质将条件转移到三角形中求解，解题逻辑清晰，是内角和相关知识点的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，先根据多边形内角和公式求出五边形的总内角和，结合已知的三个角的和，算出∠EDC与∠BCD的度数和；第二步，利用角平分线的性质，得到△PDC中两个底角∠PDC、∠PCD的和；第三步，根据三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
首先计算五边形ABCDE的内角和：
根据n边形内角和公式，五边形内角和为$(5-2) × 180° = 540°$。
已知$∠ A + ∠ B + ∠ E = 300°$，因此：
$∠ EDC + ∠ BCD = 540° - 300° = 240°$。
∵DP平分$∠ EDC$，CP平分$∠ BCD$，
∴$∠ PDC = \frac{1}{2}∠ EDC$，$∠ PCD = \frac{1}{2}∠ BCD$，
则$∠ PDC + ∠ PCD = \frac{1}{2}(∠ EDC + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 240° = 120°$。
在$△ PDC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P = 180° - (∠ PDC + ∠ PCD) = 180° - 120° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
多边形内角和、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形与三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过五边形内角和求出待转化的两个角的和，再借助角平分线的性质将条件转移到三角形中求解，解题逻辑清晰，是内角和相关知识点的典型考法。
【难度系数】
0.7
13.如图,在正五边形ABCDE的内部,以CD为边作正方形CDFH,连接BH,则∠BHC的度数为
81°
.答案
13.81°
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先利用多边形内角和公式计算正五边形每个内角的度数；第二步，结合正方形内角为90°、各边相等的性质，求出∠BCH的度数，同时推导得到BC=CH，确定△BCH为等腰三角形；第三步，利用等腰三角形两底角相等、内角和为180°的性质，计算出∠BHC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ BCD=108°$。
2. 结合正方形性质推导边和角的关系：
因为四边形CDFH是正方形，所以$∠ HCD=90°$，且$CD=CH$。
又因为正五边形各边相等，所以$BC=CD$，因此$BC=CH$，$△ BCH$是等腰三角形。
3. 计算$∠ BHC$的度数：
$∠ BCH=∠ BCD-∠ HCD=108°-90°=18°$，
等腰三角形两底角相等，因此$∠ BHC=\frac{180°-∠ BCH}{2}=\frac{180°-18°}{2}=81°$。
【答案】
$81°$
【知识点】
多边形内角和计算；等腰三角形性质；正方形的性质
【点评】
本题是多边形性质的基础综合题，解题核心是通过正五边形和正方形的边的等量关系得到等腰三角形，再结合角度差求出等腰三角形顶角，进而计算底角，熟练掌握基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，先利用多边形内角和公式计算正五边形每个内角的度数；第二步，结合正方形内角为90°、各边相等的性质，求出∠BCH的度数，同时推导得到BC=CH，确定△BCH为等腰三角形；第三步，利用等腰三角形两底角相等、内角和为180°的性质，计算出∠BHC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ BCD=108°$。
2. 结合正方形性质推导边和角的关系：
因为四边形CDFH是正方形，所以$∠ HCD=90°$，且$CD=CH$。
又因为正五边形各边相等，所以$BC=CD$，因此$BC=CH$，$△ BCH$是等腰三角形。
3. 计算$∠ BHC$的度数：
$∠ BCH=∠ BCD-∠ HCD=108°-90°=18°$，
等腰三角形两底角相等，因此$∠ BHC=\frac{180°-∠ BCH}{2}=\frac{180°-18°}{2}=81°$。
【答案】
$81°$
【知识点】
多边形内角和计算；等腰三角形性质；正方形的性质
【点评】
本题是多边形性质的基础综合题，解题核心是通过正五边形和正方形的边的等量关系得到等腰三角形，再结合角度差求出等腰三角形顶角，进而计算底角，熟练掌握基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三、解题题
14.求下列图形中x的值.
14.求下列图形中x的值.
答案
14.在图①中，
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,
∴2x+140°+90°=360°,解得x=65°.在图②中,
∵AB//CD,
∴∠B+∠C=180°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴135°+180°+150°+x=540°,解得x=75°
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,
∴2x+140°+90°=360°,解得x=65°.在图②中,
∵AB//CD,
∴∠B+∠C=180°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴135°+180°+150°+x=540°,解得x=75°
解析
【分析】
解决这类多边形求未知角的问题，思路如下：①先判断多边形的边数，利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）算出对应多边形的内角和；②若有平行线条件，先结合平行线的性质得到相关角的数量关系；③将所有内角的度数相加等于内角和，列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
图①：
该图形是四边形，根据多边形内角和公式，四边形内角和为：
$(4-2)×180°=360°$
结合内角和等于所有内角度数之和，列方程得：
$2x+140°+90°=360°$
解得$x=65°$
图②：
$\because AB// CD$，根据平行线同旁内角互补的性质，可得：
$∠ B+∠ C=180°$
该图形是五边形，根据多边形内角和公式，五边形内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
结合内角和等于所有内角度数之和，列方程得：
$135°+180°+150°+x=540°$
解得$x=75°$
【答案】
图①中$\boldsymbol{x=65°}$，图②中$\boldsymbol{x=75°}$
【知识点】
多边形内角和公式、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查多边形内角和公式与平行线性质的综合运用，解题时需先准确判断多边形边数，再结合已知条件列方程求解，计算过程中注意角度的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解决这类多边形求未知角的问题，思路如下：①先判断多边形的边数，利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）算出对应多边形的内角和；②若有平行线条件，先结合平行线的性质得到相关角的数量关系；③将所有内角的度数相加等于内角和，列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
图①：
该图形是四边形，根据多边形内角和公式，四边形内角和为：
$(4-2)×180°=360°$
结合内角和等于所有内角度数之和，列方程得：
$2x+140°+90°=360°$
解得$x=65°$
图②：
$\because AB// CD$，根据平行线同旁内角互补的性质，可得：
$∠ B+∠ C=180°$
该图形是五边形，根据多边形内角和公式，五边形内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
结合内角和等于所有内角度数之和，列方程得：
$135°+180°+150°+x=540°$
解得$x=75°$
【答案】
图①中$\boldsymbol{x=65°}$，图②中$\boldsymbol{x=75°}$
【知识点】
多边形内角和公式、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查多边形内角和公式与平行线性质的综合运用，解题时需先准确判断多边形边数，再结合已知条件列方程求解，计算过程中注意角度的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
15.若一个多边形的每个外角都等于与之相邻的内角的$\frac{1}{2}$，求这个多边形的边数.
答案
15.设这个多边形的一个外角的度数为$x°$,则与这个外角相邻的内角的度数为$(180-x)°$.根据题意,得$\frac{1}{2}(180-x)=x$,解得$x=60$.所以这个多边形的边数为$360°÷60°=6$
解析
【分析】
解题时首先用到两个核心基础知识：一是多边形的任意一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180°；二是任意多边形的外角和恒为360°。我们可以先设一个外角的度数为x°，根据题目给出的“外角等于相邻内角的$\frac{1}{2}$”这一数量关系列方程，先求出单个外角的度数，再用外角和360°除以单个外角的度数，就能得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的一个外角的度数为$x°$，则与这个外角相邻的内角的度数为$(180-x)°$。
根据题意列方程得：
$\frac{1}{2}(180-x)=x$
解方程：
$180-x=2x$
$3x=180$
解得$x=60$
因为任意多边形的外角和为$360°$，因此该多边形的边数为：
$360°÷60°=6$
【答案】
6
【知识点】
1.邻补角的性质
2.多边形外角和定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形相关的基础题型，解题的关键是结合外角与相邻内角的互补关系、题干给出的数量关系求出单个外角的度数，牢记任意多边形外角和恒为360°是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先用到两个核心基础知识：一是多边形的任意一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180°；二是任意多边形的外角和恒为360°。我们可以先设一个外角的度数为x°，根据题目给出的“外角等于相邻内角的$\frac{1}{2}$”这一数量关系列方程，先求出单个外角的度数，再用外角和360°除以单个外角的度数，就能得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的一个外角的度数为$x°$，则与这个外角相邻的内角的度数为$(180-x)°$。
根据题意列方程得：
$\frac{1}{2}(180-x)=x$
解方程：
$180-x=2x$
$3x=180$
解得$x=60$
因为任意多边形的外角和为$360°$，因此该多边形的边数为：
$360°÷60°=6$
【答案】
6
【知识点】
1.邻补角的性质
2.多边形外角和定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形相关的基础题型，解题的关键是结合外角与相邻内角的互补关系、题干给出的数量关系求出单个外角的度数，牢记任意多边形外角和恒为360°是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
