16.如图,小星从点 A 出发,沿直线前进 8 m 后左转 $ 40° $,再沿直线前进 8 m,又左转 $ 40° $……照这样走下去,直到他第一次回到出发点 A 时,他所走的路径构成了一个多边形.
(1)小星一共走了多少米?
(2)这个多边形的内角和是多少?

16.(1)由题意可得,小星所走的路径正好构成一个外角是$40°$的正多边形,
∴这个正多边形的边数为$360°÷40°=9$,周长为$9×8=72(\mathrm{m}).∴$小星一共走了 72 m
(2)依题意,得$(9-2)×180°=1\ 260°$.
∴这个多边形的内角和是 1 260°

【分析】
解题时首先明确小星的行走路径是正多边形：每段行走长度均为8m，每次左转的40°就是该正多边形的单个外角度数。①解决第一问：任意多边形的外角和固定为360°，用外角和除以单个外角的度数即可得到正多边形的边数，再用边数乘每段长度8m，就能算出总路程。②解决第二问：得到边数后，代入多边形内角和公式$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）计算即可得到内角和。
【解析】
(1) 由题意可知，小星走的路径是每个外角均为$40°$、边长均为8m的正多边形。
∵任意多边形的外角和为$360°$，
∴该正多边形的边数为$360°÷40°=9$，
总路程即多边形周长为$9×8=72\,\mathrm{m}$。
(2) 根据多边形内角和公式，边数为$n$的多边形内角和为$(n-2)×180°$，
将$n=9$代入得：$(9-2)×180°=1260°$。
【答案】
(1) 小星一共走了72米；
(2) 这个多边形的内角和是$1260°$。
【知识点】
多边形外角和定理，正多边形的性质，多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是判断出行走路径为正多边形，且左转角度就是正多边形的外角度数，结合固定的多边形外角和即可快速求出边数，后续代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7

17.小明同学在计算某个多边形的内角和时得到$1840°$，老师说他算错了，于是小明认真地检查了一遍.
(1)若他检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查后发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？

17.(1)设这个多边形的边数是$n$,多算的内角的度数是$x$,则$(n-2)·180°=1\ 840°-x.∵1\ 840°=10×180°+40°$,多边形的内角和为$180°$的整数倍,$∴x=40°$,$n-2=10$,$∴n=12$.故这个多边形的边数是 12
(2)设这个多边形的边数是$m$,漏算的那个内角的度数是$y$,则$(m-2)·180°=1\ 840°+y.∵1\ 840°=11×180°-140°$,多边形的内角和为$180°$的整数倍,$∴y=140°$,$m-2=11.∴m=13$.故漏算的那个内角是$140°$,这个多边形的边数是 13

【分析】
本题可根据多边形内角和的核心性质求解：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），因此内角和一定是$180°$的整数倍，且多边形每个内角的度数范围为$0°＜α＜180°$。
(1) 多算一个内角时，计算得到的$1840°$比实际内角和大，差值就是多算的内角，该角在$0°$到$180°$之间，因此计算$1840°$除以$180°$的余数即为多算的内角，再结合内角和公式求边数即可。
(2) 漏算一个内角时，计算得到的$1840°$比实际内角和小，差值就是漏算的内角，该角同样在$0°$到$180°$之间，因此找到比$1840°$大的最小的$180°$的倍数，差值即为漏算的内角，再求边数即可。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数是$n$，多算的内角的度数是$x$（$0°＜x＜180°$）。
根据多边形内角和公式可得：$(n-2)·180°=1840° - x$
因为多边形内角和为$180°$的整数倍，计算得$1840°=10×180°+40°$，因此多算的内角$x=40°$，代入得$n-2=10$，解得$n=12$。
(2) 设这个多边形的边数是$m$，漏算的内角的度数是$y$（$0°＜y＜180°$）。
根据多边形内角和公式可得：$(m-2)·180°=1840° + y$
因为多边形内角和为$180°$的整数倍，计算得$1840°=11×180°-140°$，因此漏算的内角$y=140°$，代入得$m-2=11$，解得$m=13$。
【答案】
(1) 这个多边形的边数是12；
(2) 漏算的那个内角是$140°$，这个多边形的边数是13。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形内角取值范围
【点评】
本题是多边形内角和的经典应用题型，解题核心是抓住“多边形内角和为$180°$的整数倍”这一隐含性质，结合多算、漏算内角的取值范围即可快速求解，能有效考查对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

18.(1)如图①、图②,试探究其中∠1,∠2与∠3,∠4之间的数量关系；
(2)如果把∠1,∠2称为四边形的外角,那么请用文字描述(1)中的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题:如图③,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数.

18.(1)$∵∠3,∠4,∠5,∠6$是四边形的四个内角,$∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°.∴∠3+∠4=360°-(∠5+∠6).∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6).∴∠1+∠2=∠3+∠4$
(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和
(3)$∵∠B+∠C=240°$,$∴∠MDA+∠NAD=240°.∵AE,DE$ 分别是$∠NAD,∠MDA$ 的平分线, $∴ ∠DAE =\frac{1}{2}∠NAD$,$∠ADE = \frac{1}{2}∠MDA. ∴ ∠DAE +∠ADE=\frac{1}{2}(∠NAD+∠MDA)=120°.∴∠E=180°-(∠DAE+∠ADE)=60°$

【分析】
(1) 要推导∠1、∠2与∠3、∠4的数量关系，先利用四边形内角和为360°表示出内角间的关系，再结合∠1和∠5、∠2和∠6互为邻补角（和为180°），通过等量代换即可得出结论。
(2) 明确∠1、∠2是四边形的外角，对应(1)的等量关系，梳理清楚外角和不相邻内角的关联，用文字准确描述即可。
(3) 首先应用(1)得出的结论，由∠B+∠C的度数求出∠MDA+∠NAD的和，再结合角平分线的性质求出∠ADE与∠DAE的和，最后利用三角形内角和为180°即可算出∠E的度数。
【解析】
(1)
∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴根据四边形内角和定理得：$∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=360°$，
即$∠ 3+∠ 4=360°-(∠ 5+∠ 6)$。
∵$∠1+∠5=180°$，$∠2+∠6=180°$（邻补角的和为$180°$），
∴$∠1+∠2=180°-∠5+180°-∠6=360°-(∠5+∠6)$，
∴$∠1+∠2=∠3+∠4$。
(2) 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和。
(3) 根据(1)的结论，在四边形ABCD中，$∠ MDA+∠ NAD=∠ B+∠ C$，
∵$∠ B+∠ C=240°$，
∴$∠ MDA+∠ NAD=240°$。
∵AE、DE分别是$∠ NAD$、$∠ MDA$的平分线，
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ NAD$，$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ MDA$，
∴$∠ DAE+∠ ADE=\frac{1}{2}(∠ NAD+∠ MDA)=\frac{1}{2}×240°=120°$。
在△ADE中，根据三角形内角和为$180°$得：
$∠ E=180°-(∠ DAE+∠ ADE)=180°-120°=60°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1+∠2=∠3+∠4}$
(2) 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和
(3) $\boldsymbol{∠E=60°}$
【知识点】
四边形内角和定理，邻补角性质，角平分线定义
【点评】
本题从四边形基础性质出发，先探究角度规律再应用规律解题，既考查了几何基础定理的掌握程度，也锻炼了逻辑推理能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7