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作业(七) 平行四边形
一、选择题
1.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，则下列结论一定正确的是 （
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
一、选择题
1.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，则下列结论一定正确的是 （
B
）A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的性质，解题思路是先回忆平行四边形边、对角线的相关性质，再逐一判断每个选项是否符合普通平行四边形的性质即可。首先明确：普通平行四边形仅满足对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，邻边相等、对角线相等、对角线垂直都是特殊平行四边形才具备的性质。
【解析】
根据平行四边形的性质逐一分析选项：
A. AB和BC是平行四边形的邻边，普通平行四边形邻边不一定相等，仅菱形的邻边相等，故A错误；
B. AD和BC是平行四边形的一组对边，平行四边形对边相等，因此AD=BC，故B正确；
C. 平行四边形对角线互相平分，可得$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，但普通平行四边形对角线不一定相等，因此OA和OB不一定相等，故C错误；
D. 普通平行四边形对角线不垂直，仅菱形的对角线互相垂直，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边性质；平行四边形对角线性质
【点评】
本题是基础题，需要熟练掌握普通平行四边形的性质，注意区分普通平行四边形与特殊平行四边形的性质差异，避免混淆特殊性质和一般性质。
【难度系数】
0.9
本题考查平行四边形的性质，解题思路是先回忆平行四边形边、对角线的相关性质，再逐一判断每个选项是否符合普通平行四边形的性质即可。首先明确：普通平行四边形仅满足对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，邻边相等、对角线相等、对角线垂直都是特殊平行四边形才具备的性质。
【解析】
根据平行四边形的性质逐一分析选项：
A. AB和BC是平行四边形的邻边，普通平行四边形邻边不一定相等，仅菱形的邻边相等，故A错误；
B. AD和BC是平行四边形的一组对边，平行四边形对边相等，因此AD=BC，故B正确；
C. 平行四边形对角线互相平分，可得$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，但普通平行四边形对角线不一定相等，因此OA和OB不一定相等，故C错误；
D. 普通平行四边形对角线不垂直，仅菱形的对角线互相垂直，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边性质；平行四边形对角线性质
【点评】
本题是基础题，需要熟练掌握普通平行四边形的性质，注意区分普通平行四边形与特殊平行四边形的性质差异，避免混淆特殊性质和一般性质。
【难度系数】
0.9
2.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判定四边形是平行四边形的是 （
A.$4:3:2:1$
B.$3:2:3:2$
C.$3:3:2:2$
D.$3:2:2:1$
B
）A.$4:3:2:1$
B.$3:2:3:2$
C.$3:3:2:2$
D.$3:2:2:1$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断给出的角度比能否判定四边形是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。四边形中∠A和∠C是一组对角，∠B和∠D是另一组对角，若为平行四边形则两组对角分别相等，对应角度比的份数也应相等，即比例中第1项和第3项数值相等，第2项和第4项数值相等，依此逐一验证选项即可。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的度数比中，∠A对应的份数与∠C对应的份数相等，∠B对应的份数与∠D对应的份数相等。
逐一分析选项：
A. 4:3:2:1，4≠2，3≠1，不符合两组对角相等，排除；
B. 3:2:3:2，∠A和∠C均为3份，∠B和∠D均为2份，满足两组对角分别相等，可以判定是平行四边形；
C. 3:3:2:2，3≠2，3≠2，不符合两组对角相等，排除；
D. 3:2:2:1，3≠2，2≠1，不符合两组对角相等，排除。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，比例的应用
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，核心考查“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理的应用，结合比例特征可快速判断，解题关键是牢记平行四边形对角相等的性质。
【难度系数】
0.8
要判断给出的角度比能否判定四边形是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。四边形中∠A和∠C是一组对角，∠B和∠D是另一组对角，若为平行四边形则两组对角分别相等，对应角度比的份数也应相等，即比例中第1项和第3项数值相等，第2项和第4项数值相等，依此逐一验证选项即可。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的度数比中，∠A对应的份数与∠C对应的份数相等，∠B对应的份数与∠D对应的份数相等。
逐一分析选项：
A. 4:3:2:1，4≠2，3≠1，不符合两组对角相等，排除；
B. 3:2:3:2，∠A和∠C均为3份，∠B和∠D均为2份，满足两组对角分别相等，可以判定是平行四边形；
C. 3:3:2:2，3≠2，3≠2，不符合两组对角相等，排除；
D. 3:2:2:1，3≠2，2≠1，不符合两组对角相等，排除。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，比例的应用
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，核心考查“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理的应用，结合比例特征可快速判断，解题关键是牢记平行四边形对角相等的性质。
【难度系数】
0.8
3.在平面直角坐标系中,以$A(-1,0),B(2,0),C(0,1)$为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是 （
A.$(3,1)$
B.$(-4,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(-3,1)$
B
）A.$(3,1)$
B.$(-4,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(-3,1)$
答案
3.B
解析
【分析】
已知三个定点构造平行四边形，需分三种情况讨论：分别将三条已知线段作为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式计算第四个顶点的坐标，再将计算结果与选项对比，即可找出不符合要求的坐标。
【解析】
设平行四边形第四个顶点坐标为$D(x,y)$，根据平行四边形对角线互相平分，可知两条对角线的中点坐标相同，分三种情况计算：
1. 若以$AB$为对角线
$AB$的中点坐标为$( \frac{-1+2}{2},\frac{0+0}{2} )=(0.5,0)$，该点也是$CD$的中点，已知$C(0,1)$，可得：
$\frac{0+x}{2}=0.5$，$\frac{1+y}{2}=0$
解得$x=1$，$y=-1$，即$D(1,-1)$，对应选项C，不符合题意。
2. 若以$AC$为对角线
$AC$的中点坐标为$( \frac{-1+0}{2},\frac{0+1}{2} )=(-0.5,0.5)$，该点也是$BD$的中点，已知$B(2,0)$，可得：
$\frac{2+x}{2}=-0.5$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=-3$，$y=1$，即$D(-3,1)$，对应选项D，不符合题意。
3. 若以$BC$为对角线
$BC$的中点坐标为$( \frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2} )=(1,0.5)$，该点也是$AD$的中点，已知$A(-1,0)$，可得：
$\frac{-1+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=3$，$y=1$，即$D(3,1)$，对应选项A，不符合题意。
综上，只有$(-4,1)$不能作为平行四边形的顶点。
【答案】
B
【知识点】
1.平行四边形对角线性质
2.中点坐标公式
3.分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形性质在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是按照对角线的不同情况分类讨论，避免漏解，熟练掌握中点坐标公式可快速求解第四个顶点的坐标。
【难度系数】
0.7
已知三个定点构造平行四边形，需分三种情况讨论：分别将三条已知线段作为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式计算第四个顶点的坐标，再将计算结果与选项对比，即可找出不符合要求的坐标。
【解析】
设平行四边形第四个顶点坐标为$D(x,y)$，根据平行四边形对角线互相平分，可知两条对角线的中点坐标相同，分三种情况计算：
1. 若以$AB$为对角线
$AB$的中点坐标为$( \frac{-1+2}{2},\frac{0+0}{2} )=(0.5,0)$，该点也是$CD$的中点，已知$C(0,1)$，可得：
$\frac{0+x}{2}=0.5$，$\frac{1+y}{2}=0$
解得$x=1$，$y=-1$，即$D(1,-1)$，对应选项C，不符合题意。
2. 若以$AC$为对角线
$AC$的中点坐标为$( \frac{-1+0}{2},\frac{0+1}{2} )=(-0.5,0.5)$，该点也是$BD$的中点，已知$B(2,0)$，可得：
$\frac{2+x}{2}=-0.5$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=-3$，$y=1$，即$D(-3,1)$，对应选项D，不符合题意。
3. 若以$BC$为对角线
$BC$的中点坐标为$( \frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2} )=(1,0.5)$，该点也是$AD$的中点，已知$A(-1,0)$，可得：
$\frac{-1+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=0.5$
解得$x=3$，$y=1$，即$D(3,1)$，对应选项A，不符合题意。
综上，只有$(-4,1)$不能作为平行四边形的顶点。
【答案】
B
【知识点】
1.平行四边形对角线性质
2.中点坐标公式
3.分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形性质在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是按照对角线的不同情况分类讨论，避免漏解，熟练掌握中点坐标公式可快速求解第四个顶点的坐标。
【难度系数】
0.7
4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 （
A.6
B.12
C.20
D.24
D
）A.6
B.12
C.20
D.24
答案
4.D
解析
【分析】
解题可按三步思考：①先观察到△CBE是直角三角形，已知两条直角边长度，可利用勾股定理求出斜边CE的长度；②结合AC的总长度可推出AE=CE，再结合已知BE=ED，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可判定四边形ABCD为平行四边形；③平行四边形的面积是△BCD面积的2倍，结合BD⊥BC的条件，先求出BD长度，计算△BCD面积后乘2即可得到四边形总面积。
【解析】
1. 在$Rt△ CBE$中，$∠ CBD=90°$，$BE=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. 已知$AC=10$，则$AE=AC-CE=10-5=5$，因此$AE=CE$。
又$\because BE=ED=3$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
3. 计算$BD=BE+ED=3+3=6$，
$\because ∠ CBD=90°$，即$BD⊥ BC$，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×6×4=12$。
平行四边形中$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}$，因此$S_{ABCD}=2× S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，将勾股定理、平行四边形的判定与面积计算结合考查，解题的突破口是先通过勾股定理求得CE的长度，进而判定四边形的形状，再结合直角三角形的面积特征计算结果。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：①先观察到△CBE是直角三角形，已知两条直角边长度，可利用勾股定理求出斜边CE的长度；②结合AC的总长度可推出AE=CE，再结合已知BE=ED，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可判定四边形ABCD为平行四边形；③平行四边形的面积是△BCD面积的2倍，结合BD⊥BC的条件，先求出BD长度，计算△BCD面积后乘2即可得到四边形总面积。
【解析】
1. 在$Rt△ CBE$中，$∠ CBD=90°$，$BE=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. 已知$AC=10$，则$AE=AC-CE=10-5=5$，因此$AE=CE$。
又$\because BE=ED=3$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
3. 计算$BD=BE+ED=3+3=6$，
$\because ∠ CBD=90°$，即$BD⊥ BC$，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×6×4=12$。
平行四边形中$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}$，因此$S_{ABCD}=2× S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，将勾股定理、平行四边形的判定与面积计算结合考查，解题的突破口是先通过勾股定理求得CE的长度，进而判定四边形的形状，再结合直角三角形的面积特征计算结果。
【难度系数】
0.7
5.如图，P 是面积为 S 的$□ ABCD$内任意一点，$△ PAD$的面积为$S_1$，$△ PBC$的面积为$S_2$，则下列结论正确的是 （
A.$S_1+S_2＞\dfrac{S}{2}$
B.$S_1+S_2＜\dfrac{S}{2}$
C.$S_1+S_2=\dfrac{S}{2}$
D.$S_1+S_2$的大小与 P 点位置有关
C
）A.$S_1+S_2＞\dfrac{S}{2}$
B.$S_1+S_2＜\dfrac{S}{2}$
C.$S_1+S_2=\dfrac{S}{2}$
D.$S_1+S_2$的大小与 P 点位置有关
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，考虑通过作辅助线得到△PAD和△PBC的高，两个三角形的高之和恰好等于平行四边形对应底边上的高，再结合三角形和平行四边形的面积公式推导两个三角形的面积和即可。
【解析】
过点P作EF⊥AD，垂足为E，延长EP交BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴EF⊥BC，即PE是△PAD的高，PF是△PBC的高，且PE+PF=EF（EF为平行四边形AD边上的高）。
根据三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2} × AD × PE$，$S_2=\frac{1}{2} × BC × PF$，
∵AD=BC，
∴$S_1+S_2=\frac{1}{2} × AD × PE + \frac{1}{2} × AD × PF = \frac{1}{2} × AD × (PE+PF) = \frac{1}{2} × AD × EF$，
又
∵平行四边形面积$S=AD × EF$，
∴$S_1+S_2=\frac{S}{2}$，该结果与P点位置无关。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题是平行四边形面积相关的基础常考题，解题核心是通过作辅助线将两个三角形的高与平行四边形的高建立关联，熟练掌握面积公式和平行四边形基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，考虑通过作辅助线得到△PAD和△PBC的高，两个三角形的高之和恰好等于平行四边形对应底边上的高，再结合三角形和平行四边形的面积公式推导两个三角形的面积和即可。
【解析】
过点P作EF⊥AD，垂足为E，延长EP交BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴EF⊥BC，即PE是△PAD的高，PF是△PBC的高，且PE+PF=EF（EF为平行四边形AD边上的高）。
根据三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2} × AD × PE$，$S_2=\frac{1}{2} × BC × PF$，
∵AD=BC，
∴$S_1+S_2=\frac{1}{2} × AD × PE + \frac{1}{2} × AD × PF = \frac{1}{2} × AD × (PE+PF) = \frac{1}{2} × AD × EF$，
又
∵平行四边形面积$S=AD × EF$，
∴$S_1+S_2=\frac{S}{2}$，该结果与P点位置无关。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题是平行四边形面积相关的基础常考题，解题核心是通过作辅助线将两个三角形的高与平行四边形的高建立关联，熟练掌握面积公式和平行四边形基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$OE ⊥ BD$交$AD$于点$E$,连接$BE$,若$□ ABCD$的周长为28,则$△ ABE$的周长为（
A.28
B.24
C.21
D.14
D
）A.28
B.24
C.21
D.14
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手：平行四边形对边相等、对角线互相平分，可先得到邻边AB与AD的和是平行四边形周长的一半；再观察到OE垂直BD且O是BD中点，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=DE；最后将△ABE的周长中的BE替换为DE，就可将△ABE的周长转化为AB+AD，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴2(AB+AD)=28，即AB+AD=14，
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=14。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；周长转化计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，避免复杂计算，是平行四边形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从平行四边形的性质入手：平行四边形对边相等、对角线互相平分，可先得到邻边AB与AD的和是平行四边形周长的一半；再观察到OE垂直BD且O是BD中点，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=DE；最后将△ABE的周长中的BE替换为DE，就可将△ABE的周长转化为AB+AD，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴2(AB+AD)=28，即AB+AD=14，
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=14。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；周长转化计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，避免复杂计算，是平行四边形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
7.如图,在四边形 ABCD 中,R,P 分别是 BC,CD 上的点,E,F 分别是 AP,RP 的中点,当点P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不动时,那么下列结论成立的是 (
A.线段 EF 的长逐渐增大
B.线段 EF 的长逐渐减小
C.线段 EF 的长不变
D.线段 EF 的长与点 P 的位置有关
C
)A.线段 EF 的长逐渐增大
B.线段 EF 的长逐渐减小
C.线段 EF 的长不变
D.线段 EF 的长与点 P 的位置有关
答案
7.C
解析
【分析】
遇到三角形两边中点的条件，优先考虑三角形中位线定理。本题中E、F分别是AP、RP的中点，我们可以通过连接AR构造△ARP，此时EF就是△ARP的中位线，根据中位线性质，EF的长度等于AR长度的一半。接下来判断AR的长度是否变化：由于点A是四边形的固定顶点，点R固定在BC上不动，因此AR是定长线段，由此可推出EF的长度也为定值，和点P的移动无关。
【解析】
解：连接AR，
∵ E是AP的中点，F是RP的中点，
∴ EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$ EF = \frac{1}{2}AR $，
∵ 点A为定点，点R固定在BC上不动，
∴ 线段AR的长度是定值，
∴ $ EF = \frac{1}{2}AR $也为定值，即线段EF的长不随点P的移动而变化。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；两点间距离的确定性
【点评】
本题是三角形中位线定理的典型应用题目，解题的关键是通过连接辅助线AR，将待判断的动线段EF转化为定长线段的一半，巧妙避开了点P移动带来的干扰，掌握中位线的构造思路是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
遇到三角形两边中点的条件，优先考虑三角形中位线定理。本题中E、F分别是AP、RP的中点，我们可以通过连接AR构造△ARP，此时EF就是△ARP的中位线，根据中位线性质，EF的长度等于AR长度的一半。接下来判断AR的长度是否变化：由于点A是四边形的固定顶点，点R固定在BC上不动，因此AR是定长线段，由此可推出EF的长度也为定值，和点P的移动无关。
【解析】
解：连接AR，
∵ E是AP的中点，F是RP的中点，
∴ EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$ EF = \frac{1}{2}AR $，
∵ 点A为定点，点R固定在BC上不动，
∴ 线段AR的长度是定值，
∴ $ EF = \frac{1}{2}AR $也为定值，即线段EF的长不随点P的移动而变化。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；两点间距离的确定性
【点评】
本题是三角形中位线定理的典型应用题目，解题的关键是通过连接辅助线AR，将待判断的动线段EF转化为定长线段的一半，巧妙避开了点P移动带来的干扰，掌握中位线的构造思路是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
