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8.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是________.
答案
8.(7,3)
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的核心性质：对边平行且相等。首先观察已知点坐标，A、B都在x轴上，先确定AB的长度和方向：AB长度为5，且平行于x轴。由此可得CD也平行于x轴、长度等于5，因此点C的纵坐标和点D一致，横坐标为点D的横坐标加AB的长度，即可算出C点坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，且AB=CD
已知A(0,0)，B(5,0)，
∴AB=5，且AB在x轴上，即AB平行于x轴
∴CD也平行于x轴，因此点C的纵坐标与D(2,3)的纵坐标相同，为3
又
∵CD=AB=5，
∴点C的横坐标为2+5=7
∴顶点C的坐标为(7,3)
【答案】
(7,3)
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是平行四边形性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的特点，结合平行于x轴的直线上点纵坐标相等的规律快速推导坐标，熟练掌握相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形的核心性质：对边平行且相等。首先观察已知点坐标，A、B都在x轴上，先确定AB的长度和方向：AB长度为5，且平行于x轴。由此可得CD也平行于x轴、长度等于5，因此点C的纵坐标和点D一致，横坐标为点D的横坐标加AB的长度，即可算出C点坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，且AB=CD
已知A(0,0)，B(5,0)，
∴AB=5，且AB在x轴上，即AB平行于x轴
∴CD也平行于x轴，因此点C的纵坐标与D(2,3)的纵坐标相同，为3
又
∵CD=AB=5，
∴点C的横坐标为2+5=7
∴顶点C的坐标为(7,3)
【答案】
(7,3)
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是平行四边形性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的特点，结合平行于x轴的直线上点纵坐标相等的规律快速推导坐标，熟练掌握相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
9.如图,点 D 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 A,B,连接 AD,分别以点 B,D 为圆心,AD,AB 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 CD,BC,则四边形 ABCD 是平行四边形,理由是
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
.答案
9.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析
【分析】
解题时首先从题目给出的尺规作图步骤入手，提取边的等量关系：以B为圆心、AD长为半径画弧得到BC，故BC=AD；以D为圆心、AB长为半径画弧得到CD，故CD=AB。再结合平行四边形的判定定理，就能找到对应的判定依据。
【解析】
根据作图规则可知：
$AB = DC$，$AD = BC$，
即四边形ABCD的两组对边分别相等，
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图
【点评】
本题考查平行四边形判定的直接应用，解题的核心是从作图过程中准确提取两组对边的相等关系，只要熟练掌握平行四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目给出的尺规作图步骤入手，提取边的等量关系：以B为圆心、AD长为半径画弧得到BC，故BC=AD；以D为圆心、AB长为半径画弧得到CD，故CD=AB。再结合平行四边形的判定定理，就能找到对应的判定依据。
【解析】
根据作图规则可知：
$AB = DC$，$AD = BC$，
即四边形ABCD的两组对边分别相等，
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图
【点评】
本题考查平行四边形判定的直接应用，解题的核心是从作图过程中准确提取两组对边的相等关系，只要熟练掌握平行四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交点$O$,$E$是$BD$上一点且$BE=2DE$,若$△ DEC$的面积为2,则$△ AOB$的面积为________.
答案
10.3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据BE=2DE得出DE与BD的长度比，利用同高三角形面积比等于底边长的比，结合△DEC的面积求出△DBC的面积；2. 再根据平行四边形的性质：对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，且对角线互相平分，可知两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形，每个三角形面积是平行四边形面积的1/4，进而求出△AOB的面积。
【解析】
解：
∵ BE=2DE，
∴ BD=DE+BE=3DE，即DE:BD=1:3。
△DEC和△DBC以C为顶点、底边都在BD上，二者高相同，
∴ $S_{△ DEC}:S_{△ DBC}=DE:BD=1:3$。
已知$S_{△ DEC}=2$，代入得 $2:S_{△ DBC}=1:3$，解得$S_{△ DBC}=6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线BD将平行四边形分成面积相等的两部分，即$S_{□ ABCD}=2S_{△ DBC}=12$；
又
∵ 平行四边形对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成4个等底同高的小三角形，面积相等，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}=12÷4=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质和同高三角形的面积关系，解题关键是灵活运用同高三角形面积比等于底边长的比，结合平行四边形对角线的性质求解，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据BE=2DE得出DE与BD的长度比，利用同高三角形面积比等于底边长的比，结合△DEC的面积求出△DBC的面积；2. 再根据平行四边形的性质：对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，且对角线互相平分，可知两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形，每个三角形面积是平行四边形面积的1/4，进而求出△AOB的面积。
【解析】
解：
∵ BE=2DE，
∴ BD=DE+BE=3DE，即DE:BD=1:3。
△DEC和△DBC以C为顶点、底边都在BD上，二者高相同，
∴ $S_{△ DEC}:S_{△ DBC}=DE:BD=1:3$。
已知$S_{△ DEC}=2$，代入得 $2:S_{△ DBC}=1:3$，解得$S_{△ DBC}=6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线BD将平行四边形分成面积相等的两部分，即$S_{□ ABCD}=2S_{△ DBC}=12$；
又
∵ 平行四边形对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成4个等底同高的小三角形，面积相等，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}=12÷4=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质和同高三角形的面积关系，解题关键是灵活运用同高三角形面积比等于底边长的比，结合平行四边形对角线的性质求解，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ ADC$ 的平分线与边 $AB$ 相交于点 $P$，$E$ 是 $PD$ 中点，若 $AD=4$，$CD=6$，则 $EO$ 的长为________.
答案
11.1
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形的性质得到AB与CD的位置和数量关系，以及对角线交点O是BD的中点；第二步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到△ADP是等腰三角形，求出AP的长度，进而得到PB的长度；第三步，根据E是PD中点、O是BD中点，判断EO是△DPB的中位线，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=4，CD=6，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线BD与AC互相平分，即O为BD的中点，
∵DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2，
又
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=1/2 PB=1/2×2=1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行四边形相关的典型综合题，解题的核心是先通过角的等量关系得到等腰三角形，求出PB的长度，再结合中点特征利用三角形中位线定理求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形的性质得到AB与CD的位置和数量关系，以及对角线交点O是BD的中点；第二步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到△ADP是等腰三角形，求出AP的长度，进而得到PB的长度；第三步，根据E是PD中点、O是BD中点，判断EO是△DPB的中位线，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=4，CD=6，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线BD与AC互相平分，即O为BD的中点，
∵DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2，
又
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=1/2 PB=1/2×2=1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行四边形相关的典型综合题，解题的核心是先通过角的等量关系得到等腰三角形，求出PB的长度，再结合中点特征利用三角形中位线定理求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$AB ⊥ AC$,$AH ⊥ BD$于点$H$,若$AB=2$,$BC=2\sqrt{3}$,则$AH$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再根据平行四边形对角线互相平分的性质得到AO的长度；接着在Rt△ABO中用勾股定理求出BO的长度，最后利用△ABO面积的两种表示方法（等面积法）建立等式，即可求出AH的长。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=2，BC=2√3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，
∵AH⊥BD，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB× AO=\frac{1}{2}× BO× AH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}× AH$，
化简得：$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}AH$，
解得：$AH=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，等面积法求线段长
【点评】
本题属于平行四边形与直角三角形结合的基础题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用等面积法建立线段间的等量关系，计算时要注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.6
解题时先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再根据平行四边形对角线互相平分的性质得到AO的长度；接着在Rt△ABO中用勾股定理求出BO的长度，最后利用△ABO面积的两种表示方法（等面积法）建立等式，即可求出AH的长。
【解析】
解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=2，BC=2√3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，
∵AH⊥BD，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB× AO=\frac{1}{2}× BO× AH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}× AH$，
化简得：$\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}AH$，
解得：$AH=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，等面积法求线段长
【点评】
本题属于平行四边形与直角三角形结合的基础题型，解题核心是熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用等面积法建立线段间的等量关系，计算时要注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.如图，BD是$□ ABCD$的对角线，$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，垂足分别为点E，F，求证：$AE=CF$.
13.如图，BD是$□ ABCD$的对角线，$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，垂足分别为点E，F，求证：$AE=CF$.
答案
13.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB = CD, ∠ ABE = ∠ CDF$. 在 $△ ABE$ 和
$△ CDF$ 中, $\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \\ ∠ ABE=∠ CDF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF$
(AAS), $\therefore AE = CF$
$△ CDF$ 中, $\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \\ ∠ ABE=∠ CDF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF$
(AAS), $\therefore AE = CF$
解析
【分析】
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△ABE和△CDF全等来推导。首先利用平行四边形的性质得到AB=CD、AB//CD，由平行线的性质可得内错角∠ABE=∠CDF；再结合AE⊥BD、CF⊥BD的条件，可得两个直角∠AEB=∠CFD，满足AAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}AB=CD, \\∠AEB=∠CFD, \\∠ABE=∠CDF,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △CDF（AAS），
∴ AE = CF。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB = CD, ∠ ABE = ∠ CDF$. 在 $△ ABE$ 和$△ CDF$ 中, $\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \\ ∠ ABE=∠ CDF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF$(AAS), $\therefore AE = CF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查通过三角形全等证明线段相等的常用方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理，梳理清楚对应边、对应角的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△ABE和△CDF全等来推导。首先利用平行四边形的性质得到AB=CD、AB//CD，由平行线的性质可得内错角∠ABE=∠CDF；再结合AE⊥BD、CF⊥BD的条件，可得两个直角∠AEB=∠CFD，满足AAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}AB=CD, \\∠AEB=∠CFD, \\∠ABE=∠CDF,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △CDF（AAS），
∴ AE = CF。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB = CD, ∠ ABE = ∠ CDF$. 在 $△ ABE$ 和$△ CDF$ 中, $\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \\ ∠ ABE=∠ CDF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDF$(AAS), $\therefore AE = CF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查通过三角形全等证明线段相等的常用方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理，梳理清楚对应边、对应角的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
14.如图,点 E,F 在$□ ABCD$的边 BC,AD 上,$BE=\frac{1}{3}BC$,$FD=\frac{1}{3}AD$,连接 BF,DE.求证:四边形 BEDF 是平行四边形.
答案
14.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD = BC, AD // BC$. $\because BE = \dfrac{1}{3}BC$,
$FD = \dfrac{1}{3}AD, \therefore BE = DF$. 又 $\because DF // BE, \therefore$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形
$FD = \dfrac{1}{3}AD, \therefore BE = DF$. 又 $\because DF // BE, \therefore$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形
解析
【分析】
要证明四边形BEDF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据已知的平行四边形ABCD，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD=BC、AD//BC；再结合题干给出的BE和FD分别是BC、AD的三分之一，可推出BE=DF；同时DF在AD上、BE在BC上，由AD//BC可推出DF//BE，即可得到待证四边形的一组对边平行且相等，完成判定。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$。
∵ $BE = \dfrac{1}{3}BC$，$FD = \dfrac{1}{3}AD$，
∴ $BE = DF$。
又
∵ $DF$在$AD$上，$BE$在$BC$上，即$DF // BE$，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD = BC, AD // BC$. $\because BE = \dfrac{1}{3}BC$,$FD = \dfrac{1}{3}AD, \therefore BE = DF$. 又 $\because DF // BE, \therefore$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题思路清晰直接，核心是熟练掌握平行四边形的性质与判定定理，通过已知条件推导待证四边形一组对边的位置和数量关系即可完成证明，没有复杂的变形和运算。
【难度系数】
0.85
要证明四边形BEDF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据已知的平行四边形ABCD，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD=BC、AD//BC；再结合题干给出的BE和FD分别是BC、AD的三分之一，可推出BE=DF；同时DF在AD上、BE在BC上，由AD//BC可推出DF//BE，即可得到待证四边形的一组对边平行且相等，完成判定。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$。
∵ $BE = \dfrac{1}{3}BC$，$FD = \dfrac{1}{3}AD$，
∴ $BE = DF$。
又
∵ $DF$在$AD$上，$BE$在$BC$上，即$DF // BE$，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD = BC, AD // BC$. $\because BE = \dfrac{1}{3}BC$,$FD = \dfrac{1}{3}AD, \therefore BE = DF$. 又 $\because DF // BE, \therefore$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题思路清晰直接，核心是熟练掌握平行四边形的性质与判定定理，通过已知条件推导待证四边形一组对边的位置和数量关系即可完成证明，没有复杂的变形和运算。
【难度系数】
0.85
