15.如图,已知 BD 是$△ ABC$的角平分线,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,$ED// BC$,$EF// AC$.
求证:$BE=CF$.

15.$\because ED // BC, EF // AC$,
$\therefore$ 四边形 $EFCD$ 是平行四边形, $\therefore DE = CF$, $\because BD$ 平分 $∠ ABC$, $\therefore ∠ EBD = ∠ DBC$, $\because DE // BC$,
$\therefore ∠ EDB = ∠ DBC$, $\therefore ∠ EBD = ∠ EDB$, $\therefore EB = ED, \therefore BE = CF$

【分析】
要证明BE=CF，可通过寻找中间等量线段转化来推导。首先根据已知的两组对边平行的条件，先判定四边形EFCD为平行四边形，得到CF=DE，接下来只需证明BE=DE即可。结合BD是角平分线的性质和ED//BC的平行线性质，可推出∠EBD=∠EDB，再利用等角对等边得到BE=DE，最后通过等量代换就能证得结论。
【解析】
证明：
∵ ED // BC，EF // AC，
∴ 四边形EFCD是平行四边形，
∴ DE = CF。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠EBD = ∠DBC。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ EB = ED，
∴ BE = CF。
【答案】
BE=CF
【知识点】
平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行四边形的性质找到过渡线段DE，再结合角平分线和平行线的性质推导得到等腰三角形，通过等量代换即可完成证明，是几何部分的常规考点题型。
【难度系数】
0.7

16.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD=120°$,连接$BD$,作$AE// BD$交$CD$的延长线于点$E$,过点$E$作$EF⊥ BC$交$BC$的延长线于点$F$,且$CF=1$,求$AB$的长.

16.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB // CD, AB = CD, ∠ BCD = ∠ BAD = 120°, \therefore ∠ ECF = 60°$. $\because AE // BD$, $\therefore$ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形, $\therefore AB = DE, \therefore CE = 2AB$.
$\because EF ⊥ BC, \therefore ∠ CEF = 90° - ∠ ECF = 30°, \therefore CE = 2CF = 2, \therefore AB = 1$

【分析】
首先结合平行四边形的性质，先得到边、角的基础结论：平行四边形对边平行且相等、对角相等，可推出AB与CD的关系以及∠BCD的度数，进而得到∠ECF的度数。再根据AE//BD，结合AB//CE的条件，可判定四边形ABDE是平行四边形，得到AB与DE相等，就能推出CE=2AB。最后结合EF⊥BC得到直角三角形CEF，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，结合已知CF=1求出CE长度，反推即可得到AB的长。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB // CD, AB = CD, ∠ BCD = ∠ BAD = 120°$，
$\therefore ∠ ECF = 180°-∠BCD=60°$。
$\because AE // BD$，$AB// DE$，
$\therefore$ 四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore AB = DE$，
$\therefore CE = CD+DE=AB+AB=2AB$。
$\because EF ⊥ BC$，
$\therefore ∠F=90°$，$∠ CEF = 90° - ∠ ECF = 30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CE = 2CF = 2×1=2$，
又$\because CE=2AB$，
$\therefore 2AB=2$，即$AB=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先通过平行四边形的性质和判定得到CE与AB的数量关系，再结合直角三角形特殊角的性质建立边长关联求解，思路连贯性较强。
【难度系数】
0.7

17.(1)如图①，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作直线 $EF$ 分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$。求证：$OE=OF$。
(2)如图②，在$□ ABCD$ 中，若过点 $O$ 的直线与 $BA$，$DC$ 的延长线分别交于点 $E$，$F$，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？

17.(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AD // BC, OA = OC$. $\therefore ∠ EAO = ∠ FCO, ∠ AEO = ∠ CFO$. $\therefore △ AEO ≌ △ CFO$
(AAS). $\therefore OE = OF$ (2)能得到(1)中的结论.证明如下:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore AB // CD, OA = OC$. $\therefore ∠ EAO = ∠ FCO, ∠ AEO = ∠ CFO. \therefore △ AEO ≌ △ CFO$(AAS). $\therefore OE = OF$. 一般性结论是:过平行四边形对角线的交点 $O$ 作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于 $E,F$ 两点, 则 $OE = OF$

【分析】
(1) 要证明$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。结合平行四边形的性质，先得到$AD// BC$、$OA=OC$，进而推出$△ AEO$和$△ CFO$的对应角相等，即可用AAS判定两三角形全等，得到对应边$OE=OF$。
(2) 解题思路和(1)一致，虽然交点在$BA$、$DC$的延长线上，但平行四边形$AB// CD$、$OA=OC$的性质依然成立，仍可证明$△ AEO≌△ CFO$得到$OE=OF$，再根据两小问的共同特征总结出一般性结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$为平行四边形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，
∴ $∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$，
在$△ AEO$和$△ CFO$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO\\∠ AEO=∠ CFO\\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AEO≌△ CFO$（AAS），
∴ $OE=OF$。
(2) 能得到(1)中的结论，证明如下：
∵ 四边形$ABCD$为平行四边形，
∴ $AB// CD$，$OA=OC$，
∴ $∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$，
在$△ AEO$和$△ CFO$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO\\∠ AEO=∠ CFO\\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AEO≌△ CFO$（AAS），
∴ $OE=OF$。
由此可总结一般性结论：过平行四边形对角线的交点$O$作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于$E,F$两点，则$OE=OF$。
【答案】
(1) $OE=OF$得证；
(2) 能得到(1)中的结论，一般性结论为：过平行四边形对角线的交点$O$作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于$E,F$两点，则$OE=OF$。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，核心考查利用全等三角形证明线段相等的方法，解题关键是熟练运用平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质推导全等所需的边角条件，总结得到的一般性结论可作为常用规律，在选择填空类题目中直接使用以提升解题效率。
【难度系数】
0.8

18.如图,点 O 是$△ ABC$内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC 的中点 D,E,F,G 依次连接,得到四边形 DEFG.
(1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形;
(2)若$∠OCB=30°,∠OBC=60°,OE=2$,求 DG 的长度.

18.(1)$\because D,G$ 分别是 $AB,AC$ 的中点, $\therefore DG // BC, DG = \dfrac{1}{2}BC$, 同理
$EF // BC, EF = \dfrac{1}{2}BC, \therefore DG = EF, DG // EF$,
$\therefore$ 四边形 $DEFG$ 是平行四边形 (2)$\because ∠ OBC = 60°, ∠ OCB = 30°, \therefore ∠ OBC + ∠ OCB = 90°$,
$\therefore ∠ BOC = 90°, \therefore BC = 2OB$, 由(1)得 $BC = 2EF$,
$DG = EF, \therefore EF = OB = 2OE = 4, \therefore DG = 4$

【分析】
(1) 要证明四边形DEFG是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。题中给出多个边的中点，可联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。分别推导DG、EF与BC的关系，即可得到DG和EF的位置、数量关系，完成证明。
(2) 求DG的长度，由(1)的结论可知DG等于BC的一半，因此只需先求出BC的长度。先在△OBC中利用内角和计算出∠BOC=90°，得到直角三角形，再结合30°角所对直角边是斜边一半的性质得到BC和OB的关系，结合E是OB中点的条件求出OB长度，即可得到BC的长度，最终算出DG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、G分别是AB、AC的中点，
∴ DG是△ABC的中位线，
∴ $DG // BC$，$DG = \dfrac{1}{2}BC$，
同理，E、F分别是OB、OC的中点，
∴ EF是△OBC的中位线，
∴ $EF // BC$，$EF = \dfrac{1}{2}BC$，
∴ $DG = EF$，且$DG // EF$，
∴ 四边形DEFG是平行四边形。
(2) 解：
在△OBC中，$∠ OBC = 60°$，$∠ OCB = 30°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即△BOC是直角三角形，
∵ Rt△BOC中，$∠ OCB = 30°$，其所对的直角边为OB，
∴ $OB = \dfrac{1}{2}BC$，即$BC = 2OB$，
∵ E是OB的中点，$OE=2$，
∴ $OB = 2OE = 4$，
∴ $BC = 2 × 4 = 8$，
由(1)得$DG = \dfrac{1}{2}BC$，
∴ $DG = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形DEFG是平行四边形；
(2) $\boxed{4}$
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将三角形中位线、平行四边形判定和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是合理运用中位线定理转化线段关系，再结合直角三角形的性质求解线段长度，能够帮助学生巩固基础几何定理的应用方法。
【难度系数】
0.7