登录
7.如图,一个圆柱体的底面周长为 24 cm,高 AB 为 5 cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（
A.6 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.16 cm
C
）A.6 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.16 cm
答案
7.C
解析
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合已知条件计算长度。本题为圆柱表面爬行问题，首先将圆柱侧面展开得到长方形，明确展开后A、C两点的对应位置：长方形的宽对应圆柱的高AB=5cm，长方形的长对应底面半周长（因BC是上底面直径，对应下底面的半段弧长，故取底面周长的一半），得到直角三角形的两条直角边长度后，用勾股定理计算斜边即可得到最短路程。
【解析】
解：将圆柱体的侧面沿AB剪开，展开为长方形：
1. 计算展开后水平方向的长度：等于圆柱底面周长的一半，即$24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
2. 展开后竖直方向的长度：等于圆柱的高$AB=5\ \mathrm{cm}$；
3. 连接A、C，线段AC即为蚂蚁爬行的最短路程，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因此最短路程为13cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，解题关键是掌握“化曲面为平面”的转化思想，通过展开将空间路径转化为平面内的线段长度，再结合勾股定理计算，要注意正确判断展开后对应线段的长度，避免误用底面全周长或直径导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合已知条件计算长度。本题为圆柱表面爬行问题，首先将圆柱侧面展开得到长方形，明确展开后A、C两点的对应位置：长方形的宽对应圆柱的高AB=5cm，长方形的长对应底面半周长（因BC是上底面直径，对应下底面的半段弧长，故取底面周长的一半），得到直角三角形的两条直角边长度后，用勾股定理计算斜边即可得到最短路程。
【解析】
解：将圆柱体的侧面沿AB剪开，展开为长方形：
1. 计算展开后水平方向的长度：等于圆柱底面周长的一半，即$24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
2. 展开后竖直方向的长度：等于圆柱的高$AB=5\ \mathrm{cm}$；
3. 连接A、C，线段AC即为蚂蚁爬行的最短路程，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因此最短路程为13cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型习题，解题关键是掌握“化曲面为平面”的转化思想，通过展开将空间路径转化为平面内的线段长度，再结合勾股定理计算，要注意正确判断展开后对应线段的长度，避免误用底面全周长或直径导致计算错误。
【难度系数】
0.7
8.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC:BC=3:4$，$AB=25$，则$AC=\underline{\hspace{5cm}}$，$BC=\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
8.15 20
解析
【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，首先明确∠C=90°，因此AC、BC为直角边，AB为斜边。已知两条直角边的比例关系和斜边长度，可采用设参数的方法：将AC、BC分别用含同一参数的式子表示，再代入勾股定理列方程求解参数，最后计算AC、BC的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ AC、BC为直角边，AB为斜边，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知$AC:BC=3:4$，设$AC=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），又$AB=25$，代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 25^2$
$9k^2 + 16k^2 = 625$
$25k^2 = 625$
$k^2 = 25$
∵ k为边长，为正数，
∴ $k=5$
因此$AC=3k=3×5=15$，$BC=4k=4×5=20$
【答案】
15；20
【知识点】
勾股定理；比例的应用；解方程
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，结合比例设未知数列方程是解决此类问题的常用方法，熟练掌握该思路可快速求解已知边的比例关系的直角三角形边长问题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长计算问题，首先明确∠C=90°，因此AC、BC为直角边，AB为斜边。已知两条直角边的比例关系和斜边长度，可采用设参数的方法：将AC、BC分别用含同一参数的式子表示，再代入勾股定理列方程求解参数，最后计算AC、BC的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ AC、BC为直角边，AB为斜边，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知$AC:BC=3:4$，设$AC=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），又$AB=25$，代入得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 25^2$
$9k^2 + 16k^2 = 625$
$25k^2 = 625$
$k^2 = 25$
∵ k为边长，为正数，
∴ $k=5$
因此$AC=3k=3×5=15$，$BC=4k=4×5=20$
【答案】
15；20
【知识点】
勾股定理；比例的应用；解方程
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，结合比例设未知数列方程是解决此类问题的常用方法，熟练掌握该思路可快速求解已知边的比例关系的直角三角形边长问题。
【难度系数】
0.8
9.如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 $EB=1,EC=2$,那么正方形 ABCD 的面积为
3
.答案
9.3
解析
【分析】
首先根据正方形的性质可知∠B为直角，因此△EBC是直角三角形，已知直角边EB和斜边EC的长度，可通过勾股定理求出正方形边长BC的平方，而正方形的面积恰好等于边长的平方，无需计算BC的具体长度即可直接得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90°，即△EBC为直角三角形
在Rt△EBC中，由勾股定理可得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$
将$EB=1$，$EC=2$代入上式得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
∵正方形ABCD的面积$S=BC^2$
∴正方形ABCD的面积为3
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理结合正方形性质的基础应用题，解题的关键是利用正方形的直角构造直角三角形，注意正方形面积等于边长平方的特点，可省略计算边长的步骤简化运算。
【难度系数】
0.8
首先根据正方形的性质可知∠B为直角，因此△EBC是直角三角形，已知直角边EB和斜边EC的长度，可通过勾股定理求出正方形边长BC的平方，而正方形的面积恰好等于边长的平方，无需计算BC的具体长度即可直接得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90°，即△EBC为直角三角形
在Rt△EBC中，由勾股定理可得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$
将$EB=1$，$EC=2$代入上式得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
∵正方形ABCD的面积$S=BC^2$
∴正方形ABCD的面积为3
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理结合正方形性质的基础应用题，解题的关键是利用正方形的直角构造直角三角形，注意正方形面积等于边长平方的特点，可省略计算边长的步骤简化运算。
【难度系数】
0.8
10.如图,已知$∠ C=90°$,$AB=12$,$BC=3$,$CD=4$,$∠ ABD=90°$,则$AD=\_\_\_\_\_\_$.
答案
10.13
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形，存在两个直角三角形$Rt△ BCD$和$Rt△ ABD$，BD是两个三角形的公共边，是计算AD的中间量。第一步先在$Rt△ BCD$中，已知两条直角边BC、CD的长度，利用勾股定理求出BD的长度；第二步将求出的BD代入$Rt△ ABD$中，已知直角边AB、BD的长度，再次利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$CD=4$，
根据勾股定理可得：
$BD^2=BC^2+CD^2=3^2+4^2=9+16=25$，
$\therefore BD=5$（边长为正数，舍去负根）。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=12$，$BD=5$，
根据勾股定理可得：
$AD^2=AB^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
$\therefore AD=13$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边BD作为中间过渡量，分两次运用勾股定理计算即可。题目逻辑清晰，计算量小，只要熟练掌握勾股定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形，存在两个直角三角形$Rt△ BCD$和$Rt△ ABD$，BD是两个三角形的公共边，是计算AD的中间量。第一步先在$Rt△ BCD$中，已知两条直角边BC、CD的长度，利用勾股定理求出BD的长度；第二步将求出的BD代入$Rt△ ABD$中，已知直角边AB、BD的长度，再次利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$CD=4$，
根据勾股定理可得：
$BD^2=BC^2+CD^2=3^2+4^2=9+16=25$，
$\therefore BD=5$（边长为正数，舍去负根）。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=12$，$BD=5$，
根据勾股定理可得：
$AD^2=AB^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
$\therefore AD=13$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边BD作为中间过渡量，分两次运用勾股定理计算即可。题目逻辑清晰，计算量小，只要熟练掌握勾股定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
11.为了比较$\sqrt{10}$与$\sqrt{5}+1$的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中$∠ C=90°$，$BC=3$，点$D$在$BC$上，且$BD=AC=1$.通过计算可得$\sqrt{10}$______$\sqrt{5}+1$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
11.＜
解析
【分析】
要比较两个无理数的大小，我们可以结合勾股定理，将两个无理数分别转化为对应线段的长度，再利用三角形三边关系判断大小。首先根据已知边长计算图中相关线段的长度，找到与$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}+1$对应的线段，再结合三角形两边之和大于第三边的性质推导大小关系。
【解析】
首先计算$DC$的长度：$\because BC=3$，$BD=1$，$\therefore DC=BC-BD=3-1=2$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$DC=2$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=3$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$，
将$AD=\sqrt{5}$，$BD=1$，$AB=\sqrt{10}$代入得：$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$，即$\sqrt{10}＜\sqrt{5}+1$。
【答案】
＜
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题将无理数大小比较与几何知识结合，体现了数形结合的思想，解题的关键是借助勾股定理将待比较的无理数转化为三角形的边长，再利用三角形三边关系得出结论，解题思路新颖灵活。
【难度系数】
0.7
要比较两个无理数的大小，我们可以结合勾股定理，将两个无理数分别转化为对应线段的长度，再利用三角形三边关系判断大小。首先根据已知边长计算图中相关线段的长度，找到与$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}+1$对应的线段，再结合三角形两边之和大于第三边的性质推导大小关系。
【解析】
首先计算$DC$的长度：$\because BC=3$，$BD=1$，$\therefore DC=BC-BD=3-1=2$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$DC=2$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=3$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$，
将$AD=\sqrt{5}$，$BD=1$，$AB=\sqrt{10}$代入得：$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$，即$\sqrt{10}＜\sqrt{5}+1$。
【答案】
＜
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题将无理数大小比较与几何知识结合，体现了数形结合的思想，解题的关键是借助勾股定理将待比较的无理数转化为三角形的边长，再利用三角形三边关系得出结论，解题思路新颖灵活。
【难度系数】
0.7
12.一艘船由A港沿北偏东$60°$方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西$30°$方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为________ km.
答案
12.50
解析
【分析】
解决这道题首先要结合方位角判断△ABC的形状：第一步先根据航行的方位角计算∠ABC的度数，若得到直角则△ABC为直角三角形；第二步已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
首先根据方位角计算∠ABC的度数：
船从A沿北偏东60°到B，则从B看A的方向为南偏西60°；船从B沿北偏西30°到C，因此B点处两个方向的夹角$∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即△ABC是直角三角形，且直角在B点。
已知AB=30km，BC=40km，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
所以$AC = \sqrt{2500} = 50$（km）
【答案】
50
【知识点】
方位角识别，勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的典型应用，解题的核心是准确根据方位角推导出直角，再代入勾股定理计算，解题时要注意方位角的相对位置避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要结合方位角判断△ABC的形状：第一步先根据航行的方位角计算∠ABC的度数，若得到直角则△ABC为直角三角形；第二步已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
首先根据方位角计算∠ABC的度数：
船从A沿北偏东60°到B，则从B看A的方向为南偏西60°；船从B沿北偏西30°到C，因此B点处两个方向的夹角$∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即△ABC是直角三角形，且直角在B点。
已知AB=30km，BC=40km，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
所以$AC = \sqrt{2500} = 50$（km）
【答案】
50
【知识点】
方位角识别，勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的典型应用，解题的核心是准确根据方位角推导出直角，再代入勾股定理计算，解题时要注意方位角的相对位置避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
13.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,若AB=3,BC=9,则折痕EF的长度为________.
答案
13.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：首先利用折叠的性质得到相等的线段和角，结合长方形对边平行的性质推导出等腰三角形，得到相等的边；然后设未知数，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出相关线段的长度；最后构造直角三角形，再次用勾股定理求出折痕EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，AD=BC=9，AB=CD=3，∠A=90°，
由折叠的性质可得：BE=ED，∠DEF=∠BEF，
设BE=ED=x，则AE=AD - ED=9 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入数值：$3^2 + (9 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
整理得：$18x=90$，解得$x=5$，
∴ BE=5，AE=9-5=4，
∵ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠EFB，
又
∵ ∠DEF=∠BEF，
∴ ∠BEF=∠BFE，
∴ BE=BF=5，
过点E作EG⊥BC于点G，
则四边形ABGE是矩形，
∴ BG=AE=4，EG=AB=3，
∴ GF=BF - BG=5 - 4=1，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EG^2 + GF^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合矩形的性质转化边的关系，再利用勾股定理建立方程求解，对学生的方程思想和几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决这道题可按以下思路思考：首先利用折叠的性质得到相等的线段和角，结合长方形对边平行的性质推导出等腰三角形，得到相等的边；然后设未知数，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出相关线段的长度；最后构造直角三角形，再次用勾股定理求出折痕EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，AD=BC=9，AB=CD=3，∠A=90°，
由折叠的性质可得：BE=ED，∠DEF=∠BEF，
设BE=ED=x，则AE=AD - ED=9 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入数值：$3^2 + (9 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
整理得：$18x=90$，解得$x=5$，
∴ BE=5，AE=9-5=4，
∵ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠EFB，
又
∵ ∠DEF=∠BEF，
∴ ∠BEF=∠BFE，
∴ BE=BF=5，
过点E作EG⊥BC于点G，
则四边形ABGE是矩形，
∴ BG=AE=4，EG=AB=3，
∴ GF=BF - BG=5 - 4=1，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EG^2 + GF^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合矩形的性质转化边的关系，再利用勾股定理建立方程求解，对学生的方程思想和几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
14.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$ 于点 $D,AC=12,BC=5$,求 $BD$ 的长.
14.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$ 于点 $D,AC=12,BC=5$,求 $BD$ 的长.
答案
14.$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°, AC = 12, BC = 5, \therefore AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13, \because \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC, \therefore CD = \frac{12 × 5}{13} = \frac{60}{13}, \therefore BD = \sqrt{5^2 - (\frac{60}{13})^2} = \frac{25}{13}$
解析
【分析】
要求BD的长，可按以下思路逐步推导：首先观察到△ABC是直角三角形且已知两条直角边的长度，第一步先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，CD是斜边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘高的一半），通过等面积法建立等式求出CD的长度；第三步，BD在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，再次运用勾股定理即可求出BD的长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$，
代入数值计算得：$CD = \frac{AC·BC}{AB} = \frac{12×5}{13} = \frac{60}{13}$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ CDB=90°$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{60}{13})^2} = \frac{25}{13}$。
【答案】
$\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理、等面积法、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常规题型，需要灵活结合勾股定理和等面积法推导中间线段的长度，再逐步求解目标线段，能够锻炼直角三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求BD的长，可按以下思路逐步推导：首先观察到△ABC是直角三角形且已知两条直角边的长度，第一步先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，CD是斜边上的高，可利用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘高的一半），通过等面积法建立等式求出CD的长度；第三步，BD在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，再次运用勾股定理即可求出BD的长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$，
代入数值计算得：$CD = \frac{AC·BC}{AB} = \frac{12×5}{13} = \frac{60}{13}$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ CDB=90°$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{60}{13})^2} = \frac{25}{13}$。
【答案】
$\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理、等面积法、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的常规题型，需要灵活结合勾股定理和等面积法推导中间线段的长度，再逐步求解目标线段，能够锻炼直角三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.如图,在$△ ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$AC=13$,求$△ ABC$的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
答案
15.设 $BD = x$, 则 $CD = 14 - x$, 由勾股定理得 $AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$, $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$, 故 $15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$, 解得 $x = 9. \therefore AD = 12. \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
解析
【分析】
要计算斜三角形$△ABC$的面积，已知三边长度但缺少对应高，因此先作$BC$边上的高$AD$，将原三角形分割为两个直角三角形。设$BD=x$，可表示出$CD=14-x$，两个直角三角形中均可通过勾股定理表示公共高$AD$的平方，据此建立等量关系列方程，求出$x$的值后即可计算$AD$的长度，最终代入三角形面积公式得到结果。
【解析】
作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
设$BD = x$，则$CD = BC - BD =14 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$。
因此可列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开整理得：
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
消去$-x^2$后解得$x = 9$。
将$x=9$代入$AD^2 =15^2 -9^2=144$，得$AD=12$（线段长度为正）。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
【答案】
$\boxed{84}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，借助公共高构造等量关系列方程求解，渗透了转化思想与方程思想，能较好考查学生对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算斜三角形$△ABC$的面积，已知三边长度但缺少对应高，因此先作$BC$边上的高$AD$，将原三角形分割为两个直角三角形。设$BD=x$，可表示出$CD=14-x$，两个直角三角形中均可通过勾股定理表示公共高$AD$的平方，据此建立等量关系列方程，求出$x$的值后即可计算$AD$的长度，最终代入三角形面积公式得到结果。
【解析】
作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
设$BD = x$，则$CD = BC - BD =14 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$。
因此可列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开整理得：
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
消去$-x^2$后解得$x = 9$。
将$x=9$代入$AD^2 =15^2 -9^2=144$，得$AD=12$（线段长度为正）。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
【答案】
$\boxed{84}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，借助公共高构造等量关系列方程求解，渗透了转化思想与方程思想，能较好考查学生对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
