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一、选择题
1.如图,直线$y=ax+b$过点$A(0,2)$和点$B(-3,0)$,则方程$ax+b=0$的解是 （
A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x=-1$
D.$x=-3$
1.如图,直线$y=ax+b$过点$A(0,2)$和点$B(-3,0)$,则方程$ax+b=0$的解是 （
D
）A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x=-1$
D.$x=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要建立一元一次方程和一次函数的对应关系：求方程$ax+b=0$的解，等价于寻找一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值，对应到函数图象上，就是直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。接下来结合题目给出的直线经过的点的坐标，找到纵坐标为0的点，该点的横坐标就是方程的解。
【解析】
方程$ax+b=0$的解，对应一次函数$y=ax+b$中$y=0$时$x$的取值，即直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。
已知直线$y=ax+b$过点$B(-3,0)$，也就是当$x=-3$时，$ax+b=0$，因此方程$ax+b=0$的解为$x=-3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数图象特征
【点评】
本题侧重考查一次函数与一元一次方程的内在联系，只要掌握“方程的解对应函数图象与x轴交点的横坐标”这一核心对应关系，就能快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要建立一元一次方程和一次函数的对应关系：求方程$ax+b=0$的解，等价于寻找一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值，对应到函数图象上，就是直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。接下来结合题目给出的直线经过的点的坐标，找到纵坐标为0的点，该点的横坐标就是方程的解。
【解析】
方程$ax+b=0$的解，对应一次函数$y=ax+b$中$y=0$时$x$的取值，即直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。
已知直线$y=ax+b$过点$B(-3,0)$，也就是当$x=-3$时，$ax+b=0$，因此方程$ax+b=0$的解为$x=-3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数图象特征
【点评】
本题侧重考查一次函数与一元一次方程的内在联系，只要掌握“方程的解对应函数图象与x轴交点的横坐标”这一核心对应关系，就能快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2.已知$y_1=2x-5$，$y_2=-2x+3$，如果$y_1＜y_2$，则$x$的取值范围是 （
A.$x＞2$
B.$x＜2$
C.$x＞-2$
D.$x＜-2$
B
）A.$x＞2$
B.$x＜2$
C.$x＞-2$
D.$x＜-2$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的$y_1＜y_2$的不等关系，将$y_1$、$y_2$对应的含$x$的代数式代入不等式，把一次函数值的大小比较问题转化为解一元一次不等式的问题，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，即可求出$x$的取值范围。
【解析】
解：由题意可知$y_1 ＜ y_2$，将$y_1=2x-5$，$y_2=-2x+3$代入不等式，得：
$2x - 5 ＜ -2x + 3$
移项，得：$2x + 2x ＜ 3 + 5$
合并同类项，得：$4x ＜ 8$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与不等式的关系、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的基础题型，核心是将函数值的大小比较转化为不等式求解问题，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的$y_1＜y_2$的不等关系，将$y_1$、$y_2$对应的含$x$的代数式代入不等式，把一次函数值的大小比较问题转化为解一元一次不等式的问题，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，即可求出$x$的取值范围。
【解析】
解：由题意可知$y_1 ＜ y_2$，将$y_1=2x-5$，$y_2=-2x+3$代入不等式，得：
$2x - 5 ＜ -2x + 3$
移项，得：$2x + 2x ＜ 3 + 5$
合并同类项，得：$4x ＜ 8$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与不等式的关系、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的基础题型，核心是将函数值的大小比较转化为不等式求解问题，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.把直线 $y=-x+3$ 向上平移 $m$ 个单位长度后, 与直线 $y=2x+4$ 的交点在第一象限, 则 $m$ 的取值范围是
（
A.$1＜ m＜7$
B.$3＜ m＜4$
C.$m＞1$
D.$m＜4$
（
C
）A.$1＜ m＜7$
B.$3＜ m＜4$
C.$m＞1$
D.$m＜4$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路可分三步进行：第一步，根据一次函数“上加下减”的平移规律，写出平移后的直线解析式；第二步，联立两条直线的解析式，求解得到交点的横、纵坐标（用含m的代数式表示）；第三步，结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：根据一次函数平移“向上平移m个单位，常数项加m”的规律，直线$y=-x+3$向上平移m个单位后解析式为：
$y=-x+3+m$
2. 联立两直线解析式求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=-x+3+m \\ y=2x+4 \end{cases}$
将两个方程等号右侧相等，得：$-x+3+m=2x+4$
移项整理得：$3x=m-1$，解得$x=\frac{m-1}{3}$
将$x=\frac{m-1}{3}$代入$y=2x+4$，得：
$y=2×\frac{m-1}{3}+4=\frac{2m-2+12}{3}=\frac{2m+10}{3}$
即交点坐标为$(\frac{m-1}{3},\frac{2m+10}{3})$
3. 结合第一象限坐标特征列不等式求解：
因为交点在第一象限，所以横、纵坐标均大于0，即：
$\begin{cases}\frac{m-1}{3}＞0 \\ \frac{2m+10}{3}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$m-1＞0$，得$m＞1$
解第二个不等式：$2m+10＞0$，得$m＞-5$
取两个不等式解集的公共部分，得$m＞1$
【答案】
C
【知识点】
一次函数平移规律、一次函数交点求解、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考察平移性质、交点求解以及不等式的应用，解题关键是牢记平移规律，掌握联立方程求交点的方法，结合象限坐标特征列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步进行：第一步，根据一次函数“上加下减”的平移规律，写出平移后的直线解析式；第二步，联立两条直线的解析式，求解得到交点的横、纵坐标（用含m的代数式表示）；第三步，结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：根据一次函数平移“向上平移m个单位，常数项加m”的规律，直线$y=-x+3$向上平移m个单位后解析式为：
$y=-x+3+m$
2. 联立两直线解析式求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=-x+3+m \\ y=2x+4 \end{cases}$
将两个方程等号右侧相等，得：$-x+3+m=2x+4$
移项整理得：$3x=m-1$，解得$x=\frac{m-1}{3}$
将$x=\frac{m-1}{3}$代入$y=2x+4$，得：
$y=2×\frac{m-1}{3}+4=\frac{2m-2+12}{3}=\frac{2m+10}{3}$
即交点坐标为$(\frac{m-1}{3},\frac{2m+10}{3})$
3. 结合第一象限坐标特征列不等式求解：
因为交点在第一象限，所以横、纵坐标均大于0，即：
$\begin{cases}\frac{m-1}{3}＞0 \\ \frac{2m+10}{3}＞0 \end{cases}$
解第一个不等式：$m-1＞0$，得$m＞1$
解第二个不等式：$2m+10＞0$，得$m＞-5$
取两个不等式解集的公共部分，得$m＞1$
【答案】
C
【知识点】
一次函数平移规律、一次函数交点求解、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考察平移性质、交点求解以及不等式的应用，解题关键是牢记平移规律，掌握联立方程求交点的方法，结合象限坐标特征列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
4.若一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式总是成立的是 （
A.$ab＞0$
B.$a-b＞0$
C.$a^2+b＞0$
D.$a+b＞0$
C
）A.$ab＞0$
B.$a-b＞0$
C.$a^2+b＞0$
D.$a+b＞0$
答案
4.C
解析
【分析】
首先回忆一次函数图象与系数的对应关系：一次函数$y=ax+b$中，$a$的符号决定图象的倾斜方向，$b$的符号决定图象与$y$轴的交点位置。先根据图象经过第一、二、四象限，确定$a$、$b$的正负，再逐一分析每个选项的不等式是否恒成立，对不确定的选项可以通过举反例排除。
【解析】
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限
∴斜率$a＜0$，与$y$轴交点在正半轴，即$b＞0$
接下来逐一分析选项：
A选项：$a$为负，$b$为正，故$ab＜0$，因此$ab＞0$不成立，A错误；
B选项：$a＜0$，$b＞0$，则$a-b=a+(-b)＜0$，因此$a-b＞0$不成立，B错误；
C选项：任何非零数的平方均为正数，故$a^2＞0$，又$b＞0$，正数加正数结果为正，因此$a^2+b＞0$恒成立，C正确；
D选项：举反例：取$a=-2$，$b=1$，此时函数为$y=-2x+1$，图象经过第一、二、四象限，但$a+b=-2+1=-1＜0$，因此$a+b＞0$不是总成立，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；不等式的性质
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据函数图象经过的象限确定系数$a$、$b$的符号，再结合不等式性质、举反例等方法判断选项的正误，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆一次函数图象与系数的对应关系：一次函数$y=ax+b$中，$a$的符号决定图象的倾斜方向，$b$的符号决定图象与$y$轴的交点位置。先根据图象经过第一、二、四象限，确定$a$、$b$的正负，再逐一分析每个选项的不等式是否恒成立，对不确定的选项可以通过举反例排除。
【解析】
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限
∴斜率$a＜0$，与$y$轴交点在正半轴，即$b＞0$
接下来逐一分析选项：
A选项：$a$为负，$b$为正，故$ab＜0$，因此$ab＞0$不成立，A错误；
B选项：$a＜0$，$b＞0$，则$a-b=a+(-b)＜0$，因此$a-b＞0$不成立，B错误；
C选项：任何非零数的平方均为正数，故$a^2＞0$，又$b＞0$，正数加正数结果为正，因此$a^2+b＞0$恒成立，C正确；
D选项：举反例：取$a=-2$，$b=1$，此时函数为$y=-2x+1$，图象经过第一、二、四象限，但$a+b=-2+1=-1＜0$，因此$a+b＞0$不是总成立，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；不等式的性质
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据函数图象经过的象限确定系数$a$、$b$的符号，再结合不等式性质、举反例等方法判断选项的正误，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图为一次函数$y=kx+b$的图象,关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解集为 （
A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
C
）A.$x＜-4$
B.$x＞-4$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时可以结合一次函数与一元一次不等式的关系，用整体代换的思路求解：首先明确不等式$kx+b＜0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$图象在x轴下方的x的取值范围，先从已知图象得到$kx+b＜0$的解集；再观察待求不等式$k(x-3)+b＜0$的形式，将$(x-3)$看作整体代入上述解集，最后解关于x的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
1. 由一次函数$y=kx+b$的图象可知：函数图象过点$(-1,0)$，且$y$随$x$的增大而增大（$k＞0$），因此不等式$kx+b＜0$的解集为$x＜-1$。
2. 对待求不等式$k(x-3)+b＜0$，将$(x-3)$看作整体，对比$kx+b＜0$的解集可得：$x-3 ＜ -1$。
3. 解上述不等式：移项得$x ＜ 3-1$，即$x＜2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，用到了整体代换的数学思想，熟练掌握一次函数图象和不等式解集的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可以结合一次函数与一元一次不等式的关系，用整体代换的思路求解：首先明确不等式$kx+b＜0$的解集，对应一次函数$y=kx+b$图象在x轴下方的x的取值范围，先从已知图象得到$kx+b＜0$的解集；再观察待求不等式$k(x-3)+b＜0$的形式，将$(x-3)$看作整体代入上述解集，最后解关于x的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
1. 由一次函数$y=kx+b$的图象可知：函数图象过点$(-1,0)$，且$y$随$x$的增大而增大（$k＞0$），因此不等式$kx+b＜0$的解集为$x＜-1$。
2. 对待求不等式$k(x-3)+b＜0$，将$(x-3)$看作整体，对比$kx+b＜0$的解集可得：$x-3 ＜ -1$。
3. 解上述不等式：移项得$x ＜ 3-1$，即$x＜2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，用到了整体代换的数学思想，熟练掌握一次函数图象和不等式解集的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知函数$y=2x+b$与函数$y=kx-3$的图象交于点$P$,则不等式$kx - 3 ＞ 2x + b$的解集是
（
A.$x ＞ -6$
B.$x ＜ -6$
C.$x ＞ 2$
D.$x ＜ 2$
（
D
）A.$x ＞ -6$
B.$x ＜ -6$
C.$x ＞ 2$
D.$x ＜ 2$
答案
6.D
解析
【分析】
要解不等式$kx - 3 ＞ 2x + b$，可结合一次函数的图象意义思考：该不等式表示同一个$x$取值下，$y=kx-3$的函数值大于$y=2x+b$的函数值，反映在图象上就是直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$上方的部分。我们只需先找到两条直线的交点横坐标，再判断交点哪一侧满足$y=kx-3$在上方，即可得到解集，无需计算函数解析式，用数形结合思路就能快速解题。
【解析】
不等式$kx - 3 ＞ 2x + b$的几何意义是：直线$y=kx-3$的图象在直线$y=2x+b$图象上方时，对应所有点的横坐标的取值范围。
观察图象可知，两个函数图象的交点$P$的横坐标为2，当$x ＜ 2$时，直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$的上方，即此时满足$kx - 3 ＞ 2x + b$。
因此不等式的解集为$x ＜ 2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数图象性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，核心是掌握不等式对应的图象含义，利用数形结合思想即可快速求解，无需复杂计算，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx - 3 ＞ 2x + b$，可结合一次函数的图象意义思考：该不等式表示同一个$x$取值下，$y=kx-3$的函数值大于$y=2x+b$的函数值，反映在图象上就是直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$上方的部分。我们只需先找到两条直线的交点横坐标，再判断交点哪一侧满足$y=kx-3$在上方，即可得到解集，无需计算函数解析式，用数形结合思路就能快速解题。
【解析】
不等式$kx - 3 ＞ 2x + b$的几何意义是：直线$y=kx-3$的图象在直线$y=2x+b$图象上方时，对应所有点的横坐标的取值范围。
观察图象可知，两个函数图象的交点$P$的横坐标为2，当$x ＜ 2$时，直线$y=kx-3$位于直线$y=2x+b$的上方，即此时满足$kx - 3 ＞ 2x + b$。
因此不等式的解集为$x ＜ 2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数图象性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，核心是掌握不等式对应的图象含义，利用数形结合思想即可快速求解，无需复杂计算，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知正比例函数 $y_1=ax$ 与一次函数 $y_2=\frac{1}{2}x+b$ 的图象相交于点 $P$,则以下结论:
①$a＞0$;②$2a+b=1$;③当 $x＜0$ 时,$y_1＞0$;④当 $x＜-2$ 时,$ax＜\frac{1}{2}x+b$.其中正确的有
$(\quad)$
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
①$a＞0$;②$2a+b=1$;③当 $x＜0$ 时,$y_1＞0$;④当 $x＜-2$ 时,$ax＜\frac{1}{2}x+b$.其中正确的有
$(\quad)$
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
7.B
解析
【分析】
要判断4个结论的正确性，我们可以按以下思路分析：
1. 先结合正比例函数图象的走向判断a的符号，验证结论①；
2. 交点P的坐标同时满足两个函数的解析式，将交点横坐标代入两个解析式，联立推导验证结论②；
3. 根据a的符号，结合正比例函数的符号规律，判断x＜0时y₁的符号，验证结论③；
4. 不等式$ax＜\frac{1}{2}x +b$的解集就是正比例函数图象在一次函数图象下方对应的x取值范围，结合交点横坐标和图象上下位置关系验证结论④。
【解析】
结合题目对应图象分析如下：
1. 正比例函数$y_1=ax$的图象经过第二、四象限，因此$a＜0$，故结论①错误；
2. 两个函数图象交点P的横坐标为-2，将$x=-2$分别代入两个函数解析式，得$y_1=-2a$，$y_2=\frac{1}{2}×(-2)+b=b-1$，交点处两个函数值相等，因此$-2a = b - 1$，整理得$2a + b = 1$，故结论②正确；
3. 由$a＜0$，正比例函数$y_1=ax$中，当$x＜0$时，负数乘负数结果为正，即$y_1＞0$，故结论③正确；
4. 观察图象可知，当$x＜-2$时，正比例函数$y_1=ax$的图象在一次函数$y_2=\frac{1}{2}x +b$的图象上方，即$y_1＞y_2$，也就是$ax ＞ \frac{1}{2}x +b$，故结论④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与不等式；函数交点的意义
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的综合应用，解题核心是理解函数解析式和图象位置的对应关系，掌握利用函数图象判断不等式解集的方法。
【难度系数】
0.7
要判断4个结论的正确性，我们可以按以下思路分析：
1. 先结合正比例函数图象的走向判断a的符号，验证结论①；
2. 交点P的坐标同时满足两个函数的解析式，将交点横坐标代入两个解析式，联立推导验证结论②；
3. 根据a的符号，结合正比例函数的符号规律，判断x＜0时y₁的符号，验证结论③；
4. 不等式$ax＜\frac{1}{2}x +b$的解集就是正比例函数图象在一次函数图象下方对应的x取值范围，结合交点横坐标和图象上下位置关系验证结论④。
【解析】
结合题目对应图象分析如下：
1. 正比例函数$y_1=ax$的图象经过第二、四象限，因此$a＜0$，故结论①错误；
2. 两个函数图象交点P的横坐标为-2，将$x=-2$分别代入两个函数解析式，得$y_1=-2a$，$y_2=\frac{1}{2}×(-2)+b=b-1$，交点处两个函数值相等，因此$-2a = b - 1$，整理得$2a + b = 1$，故结论②正确；
3. 由$a＜0$，正比例函数$y_1=ax$中，当$x＜0$时，负数乘负数结果为正，即$y_1＞0$，故结论③正确；
4. 观察图象可知，当$x＜-2$时，正比例函数$y_1=ax$的图象在一次函数$y_2=\frac{1}{2}x +b$的图象上方，即$y_1＞y_2$，也就是$ax ＞ \frac{1}{2}x +b$，故结论④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与不等式；函数交点的意义
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的综合应用，解题核心是理解函数解析式和图象位置的对应关系，掌握利用函数图象判断不等式解集的方法。
【难度系数】
0.7
8.已知一次函数$y=ax+b$中，$x$和$y$的部分对应值如表：
那么方程$ax+b=0$的解是________.
那么方程$ax+b=0$的解是________.
答案
8.$x=1$
解析
【分析】
要求方程$ax+b=0$的解，本质是求一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。我们可以先用待定系数法，从表格中选取两组方便计算的$x$、$y$对应值代入一次函数解析式，求出系数$a$、$b$的值，再解一元一次方程$ax+b=0$即可得到结果。
【解析】
设一次函数解析式为$y=ax+b$，
从表格中选取$x=0$，$y=2$代入解析式，可得：
$0× a + b = 2$，解得$b=2$；
再选取$x=2$，$y=-2$代入$y=ax+2$，可得：
$2a + 2 = -2$，
移项得$2a = -4$，
解得$a=-2$；
因此一次函数解析式为$y=-2x+2$，
方程$ax+b=0$即$-2x + 2 = 0$，
移项得$-2x = -2$，
系数化为1得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的关联，解题核心是理解一元一次方程的解对应同系数一次函数函数值为0时的自变量取值，也可通过观察表格中$x$、$y$的变化规律直接推导结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求方程$ax+b=0$的解，本质是求一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。我们可以先用待定系数法，从表格中选取两组方便计算的$x$、$y$对应值代入一次函数解析式，求出系数$a$、$b$的值，再解一元一次方程$ax+b=0$即可得到结果。
【解析】
设一次函数解析式为$y=ax+b$，
从表格中选取$x=0$，$y=2$代入解析式，可得：
$0× a + b = 2$，解得$b=2$；
再选取$x=2$，$y=-2$代入$y=ax+2$，可得：
$2a + 2 = -2$，
移项得$2a = -4$，
解得$a=-2$；
因此一次函数解析式为$y=-2x+2$，
方程$ax+b=0$即$-2x + 2 = 0$，
移项得$-2x = -2$，
系数化为1得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的关联，解题核心是理解一元一次方程的解对应同系数一次函数函数值为0时的自变量取值，也可通过观察表格中$x$、$y$的变化规律直接推导结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
