15.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ A(-2,6) $,且与 $ x $ 轴相交于点 $ B $,与正比例函数 $ y = 3x $ 的图象相交于点 $ C $,点 $ C $ 的横坐标为 1.
(1)求 $ k $,$ b $ 的值;
(2)若点 $ D $ 在 $ y $ 轴负半轴上,且满足 $ S_{△ COD} = \frac{1}{3} S_{△ BOC} $,求点 $ D $ 的坐标.

15.(1)当 $x=1$ 时，$y=3x=3$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(1,3)$.将 $A(-2,6)$，$C(1,3)$ 代入 $y=kx+b$，得 $\begin{cases}-2k+b=6,\\k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$
(2)由(1)知，直线 $AB$ 的解析式为 $y=-x+4$，当 $y=0$ 时，有 $-x+4=0$，解得 $x=4$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$.设点 $D$ 的坐标为 $(0,m)(m＜0)$，$\because S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$，即 $-\frac{1}{2}m×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3$，解得 $m=-4$，$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(0,-4)$

【分析】
(1) 要确定一次函数y=kx+b中k、b的值，需要先得到该函数经过的两个已知点坐标。首先利用点C在正比例函数y=3x上、横坐标为1的条件，代入求出点C的坐标，再将点A、C的坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值。
(2) 先根据(1)求出的一次函数解析式，令y=0求出x的值，得到点B的坐标，计算△BOC的面积；再设y轴负半轴上的点D坐标为(0,m)（m＜0），以OD为底、点C的横坐标为高表示△COD的面积，结合两个三角形的面积关系列等式求解m，即可得到点D的坐标，注意m的符号为负。
【解析】
(1) 求点C的坐标：
∵ 点C在正比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，
∴ 将x=1代入y=3x，得y=3×1=3，即点C坐标为(1,3)。
∵ 一次函数y=kx+b经过A(-2,6)、C(1,3)，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-2k + b = 6\\k + b = 3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得3k=-3，解得k=-1；
将k=-1代入k+b=3，得-1+b=3，解得b=4。
(2) 由(1)得一次函数解析式为y=-x+4，
求点B坐标：令y=0，即-x+4=0，解得x=4，
∴ 点B坐标为(4,0)，OB=4。
计算△BOC的面积：以OB为底，高为点C的纵坐标3，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×OB×3=\frac{1}{2}×4×3=6$。
设点D坐标为(0,m)，
∵ D在y轴负半轴，
∴ m＜0，OD=|m|=-m。
△COD以OD为底，高为点C的横坐标1，由题意$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$，得：
$\frac{1}{2}×(-m)×1=\frac{1}{3}×6$
化简得$-\frac{1}{2}m=2$，解得m=-4。
∴ 点D的坐标为(0,-4)。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=-1}$，$\boldsymbol{b=4}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(0,-4)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心是先通过已知点求出一次函数解析式，再结合坐标特征计算三角形面积，解题时要注意负半轴上点的坐标符号，避免运算出错，熟练掌握一次函数基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

16.如图，直线$y=-\dfrac{2}{3}x+2$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$，以线段$AB$为直角边在第一象限内作等腰直角三角形$ABC$，$∠ BAC=90°$.点$P(1,a)$为坐标系中的一个动点.
(1)求$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$；
(2)请说明不论$a$取任何实数，$△ BOP$的面积是一个常数；
(3)要使得$△ ABC$和$△ ABP$的面积相等，求实数$a$的值.

16.(1)令 $y=-\dfrac{2}{3}x+2$ 中 $x=0$，得点 $B$ 坐标为 $(0,2)$；令 $y=0$，得点 $A$ 坐标为 $(3,0)$.由勾股定理可得 $AB=\sqrt{13}$，所以 $S_{△ ABC}=6.5$
(2)不论 $a$ 取任何实数，$△ BOP$ 都能以 $BO=2$ 为底，点 $P$ 到 $y$ 轴的距离1为高，所以 $S_{△ BOP}=1$，是一个常数
(3)当点 $P$ 在第四象限时，因为 $S_{△ ABO}=3$，$S_{△ APO}=-\frac{3}{2}a$，$S_{△ BOP}=1$，所以 $S_{△ ABP}=S_{△ ABO}+S_{△ APO}-S_{△ BOP}=S_{△ ABC}$，即 $3-\frac{3}{2}a-1=\frac{13}{2}$，解得 $a=-3$；当点 $P$ 在第一象限时，$\because S_{△ ABO}=3$，$S_{△ APO}=\frac{3}{2}a$，$S_{△ BOP}=1$，$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ BOP}+S_{△ AOP}-S_{△ ABO}=S_{△ ABC}$，即 $1+\frac{3}{2}a-3=\frac{13}{2}$，解得 $a=\frac{17}{3}$，综上可知，$a$ 的值为 $-3$ 或 $\frac{17}{3}$

【分析】
(1) 要求等腰直角△ABC的面积，需先求出直角边AB的长度：首先根据直线解析式求出与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再用勾股定理计算AB的长度，最后根据等腰直角三角形面积公式计算即可。
(2) 要说明△BOP的面积是常数，观察可知点B在y轴上，底边OB长度固定，点P的横坐标为1，因此点P到y轴（即OB所在直线）的距离固定为1，底和高都与a无关，因此面积为常数。
(3) △ABP的面积无法直接计算时，采用割补法，用△ABO、△APO、△BOP的面积和差表示△ABP的面积；由于点P可能在第一象限或第四象限，两种情况的面积和差关系不同，因此分两种情况列方程求解a的值即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{2}{3}x+2$：
令$y=0$，解得$x=3$，即点A坐标为$(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，解得$y=2$，即点B坐标为$(0,2)$，$OB=2$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB× AC=\dfrac{1}{2}× AB^2=\dfrac{1}{2}×13=6.5$。
(2) 在$△ BOP$中，底边$OB=2$，点$P(1,a)$到y轴（OB所在直线）的距离为横坐标的绝对值，即高$h=1$，
∴$S_{△ BOP}=\dfrac{1}{2}× OB× h=\dfrac{1}{2}×2×1=1$，
该结果与$a$的取值无关，因此不论$a$取任何实数，$△ BOP$的面积都是常数1。
(3) 已知$S_{△ ABC}=\dfrac{13}{2}$，分两种情况讨论：
① 当点P在第四象限时，$a＜0$：
$S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ APO}=\dfrac{1}{2}×3×(-a)=-\dfrac{3}{2}a$，$S_{△ BOP}=1$，
由割补法得$S_{△ ABP}=S_{△ ABO}+S_{△ APO}-S_{△ BOP}$，
代入得$3-\dfrac{3}{2}a-1=\dfrac{13}{2}$，解得$a=-3$。
② 当点P在第一象限时，$a＞0$：
$S_{△ APO}=\dfrac{1}{2}×3× a=\dfrac{3}{2}a$，
由割补法得$S_{△ ABP}=S_{△ BOP}+S_{△ APO}-S_{△ ABO}$，
代入得$1+\dfrac{3}{2}a-3=\dfrac{13}{2}$，解得$a=\dfrac{17}{3}$。
综上，$a$的值为$-3$或$\dfrac{17}{3}$。
【答案】
(1) $S_{△ ABC}=6.5$（或$\dfrac{13}{2}$）；
(2) $△ BOP$的面积恒为1，是常数；
(3) $a=-3$或$a=\dfrac{17}{3}$
【知识点】
一次函数交点求法；割补法求面积；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，将坐标计算、勾股定理、面积计算结合考察，解题时利用坐标特点简化面积计算，同时注意分类讨论点的位置，避免漏解，能够有效训练几何与代数结合的解题思维。
【难度系数】
0.6