8.将一次函数$y=-2x+6$的图象向左平移$\underline{\hspace{5em}}$个单位长度，所得图象的函数解析式为$y=-2x.$

8.3

【分析】
解决本题首先要掌握一次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量x本身的操作：向左平移时给x加上平移的单位长度，向右平移时给x减去平移的单位长度。我们可以先设向左平移的单位长度为h，根据平移规律写出平移后的函数解析式，再和题目给出的平移后解析式对比建立方程，求解即可得到平移的单位长度。
【解析】
设将一次函数$ y=-2x+6 $的图象向左平移$ h $个单位长度。
根据“左加右减”的平移规律，平移后函数的解析式为：
$ y=-2(x+h)+6 $
展开化简得：$ y=-2x-2h+6 $
已知平移后所得图象的解析式为$ y=-2x $，因此两个解析式的常数项相等，可列方程：
$ -2h+6=0 $
解得：$ h=3 $
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象平移规律、解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数平移的基础题型，易错点是混淆平移规则，误将对x的加减操作直接作用在常数项上，牢记“左加右减针对x，上加下减针对常数项”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9.已知点$M(1,a)$和点$N(2,b)$是一次函数$y=-2x+1$图象上的两点，则$a$与$b$的大小关系是________.

9.$a＞b$

【分析】
要判断a和b的大小关系，有两种符合学段要求的解题思路：思路一：利用一次函数的增减性判断，先根据一次函数解析式中k的符号确定y随x的变化规律，再对比两点横坐标的大小，就能直接推出对应纵坐标的大小关系；思路二：将两点的横坐标分别代入函数解析式，直接计算出a、b的具体数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性判断
对于一次函数$y = kx + b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在一次函数$y=-2x+1$中，$k=-2＜0$，因此该函数的y值随x的增大而减小。
已知点$M(1,a)$、$N(2,b)$在函数图象上，横坐标$1＜2$，所以对应的纵坐标$a＞b$。
方法二：代入计算比较
将点$M(1,a)$的横坐标代入$y=-2x+1$，得：
$a = -2×1 + 1 = -1$
将点$N(2,b)$的横坐标代入$y=-2x+1$，得：
$b = -2×2 + 1 = -3$
因为$-1 ＞ -3$，所以$a＞b$。
【答案】
$a＞b$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都较为常规，既可以通过函数增减性快速判断，也可以通过代入计算验证，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9

10.若一次函数的图象如图所示,则该一次函数的解析式为 .

10.$y=-\dfrac{3}{2}x+3$

【分析】
要求一次函数的解析式，我们常用待定系数法求解。首先明确一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中$k$、$b$是待求的未知参数，需要两个独立条件才能求解。观察函数图像，我们可以直接读出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，将两个交点坐标代入一般式，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到函数解析式。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由函数图象可知，该直线与y轴交于点$(0,3)$，与x轴交于点$(2,0)$。
将点$(0,3)$代入解析式得：
$3 = k×0 + b$，解得$b=3$。
再将点$(2,0)$和$b=3$代入解析式得：
$0 = 2k + 3$，解得$k=-\dfrac{3}{2}$。
将$k=-\dfrac{3}{2}$、$b=3$代入一般式，得该一次函数解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x+3$。
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}x+3$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的图象；一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数模块的基础常考题，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用，能准确从图象中读取交点坐标代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

11.已知点$P(a,b)$在直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$上，点$Q(-a,2b)$在直线$y=x+1$上，则代数式$a^2-4b^2-1=$______.

11.1

【分析】
首先，若点在某条直线上，则点的坐标满足该直线的函数解析式，因此我们可以将点P、Q的坐标分别代入对应的直线解析式，得到关于a、b的两个关系式。再观察待求代数式$a^2-4b^2-1$，可发现$a^2-4b^2$能用平方差公式分解为$(a-2b)(a+2b)$，我们可直接从前面得到的关系式中提取$a-2b$和$a+2b$的值代入计算，无需单独求解a、b，简化计算过程。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$上
∴将$x=a,y=b$代入解析式得：$b=\dfrac{1}{2}a-1$
等式两边同乘2整理得：$a-2b=2$ ①
∵点$Q(-a,2b)$在直线$y=x+1$上
∴将$x=-a,y=2b$代入解析式得：$2b=-a+1$
整理得：$a+2b=1$ ②
根据平方差公式可得：$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$
将①②代入得：$a^2-4b^2=2×1=2$
∴$a^2-4b^2-1=2-1=1$
【答案】
1
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合一次函数性质与代数式求值考查，核心是掌握“直线上的点的坐标满足直线解析式”这一基础性质，灵活运用平方差公式可避免求解a、b的具体值，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

三、解答题
12.已知一次函数 $ y = kx - 2 $ 中，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
(1)$ k = $；(任取一个满足条件的 $ k $ 值)
(2)在平面直角坐标系中画出(1)中一次函数图象.

12.(1)$k=-1$（$k＜0$ 即可）
(2)图象如下：

【分析】
(1) 解题时先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此只需取任意小于0的数作为$k$即可，例如取$k=-1$。
(2) 一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”，用两点法画图即可，通常选取函数与$x$轴、$y$轴的交点：分别令$x=0$、$y=0$求出对应点的坐标，描点后连线就能得到函数图象。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=kx-2$中$y$随$x$的增大而减小，根据一次函数性质可得$k＜0$，因此可取$k=-1$（答案不唯一，所有负数均符合要求）。
(2) 当$k=-1$时，函数解析式为$y=-x-2$：
① 求与$y$轴交点：令$x=0$，代入得$y=-0-2=-2$，即交点为$(0,-2)$；
② 求与$x$轴交点：令$y=0$，代入得$0=-x-2$，解得$x=-2$，即交点为$(-2,0)$；
③ 在平面直角坐标系中描出上述两个点，过两点画直线，即为该一次函数的图象。
【答案】
(1)$k=-1$（$k＜0$ 即可）
(2)图象如下：
【知识点】
1.一次函数的性质
2.一次函数图象绘制
【点评】
本题属于一次函数基础题，主要考查一次函数的增减性规律和图象绘制方法，熟练掌握$k$的符号对函数增减性的影响，以及两点法画一次函数图象的技巧，就能轻松完成解答。
【难度系数】
0.85

13.已知 $ y+a $ 与 $ x-b $ 成正比例.(其中 $ a,b $ 都是常数)
(1)试说明 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数；
(2)如果 $ x=-1 $ 时，$ y=-15 $；$ x=7 $ 时，$ y=1 $.求这个一次函数的解析式.

13.(1)$\because y+a$ 与 $x-b$ 成正比例，$\therefore$ 若设比例系数为 $k(k≠0)$，则 $y+a=k(x-b)$，整理，得 $y=kx-kb-a.\because k,a,b$ 均为常数且 $k≠0$，$\therefore y$ 是 $x$ 的一次函数
(2)把 $x=-1,y=-15$ 和 $x=7,y=1$ 分别代入 $y=kx-kb-a$，得
$\begin{cases}-15=-k-kb-a,\\1=7k-kb-a,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=2,\\kb+a=13,\end{cases}$
故这个一次函数的解析式为 $y=2x-13$

【分析】
(1) 要说明y是x的一次函数，需结合一次函数的定义：形如$y=kx+c$（k、c为常数，$k≠0$）的函数是一次函数。已知$y+a$与$x-b$成正比例，根据正比例的定义，先设出比例关系，整理为y关于x的表达式，判断是否符合一次函数的形式即可。
(2) 求一次函数解析式用待定系数法，将已知的两组x、y的值代入第一问得到的通式，得到方程组求解，注意$kb+a$可看作整体，无需单独求a、b的值，简化计算。
【解析】
(1) 证明：
$\because y+a$与$x-b$成正比例，
$\therefore$ 设比例系数为$k(k≠0)$，可得$y+a=k(x-b)$，
整理等式得：$y=kx-kb-a$，
$\because k、a、b$均为常数，且$k≠0$，符合一次函数的定义形式，
$\therefore y$是$x$的一次函数。
(2) 解：把$x=-1,y=-15$和$x=7,y=1$分别代入$y=kx-kb-a$，得方程组：
$\begin{cases}-15=-k-kb-a\\1=7k-kb-a\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$-kb-a$，得$16=8k$，解得$k=2$，
将$k=2$代入第一个方程，得$-15=-2-kb-a$，解得$kb+a=13$，
把$k=2$、$kb+a=13$代入$y=kx-(kb+a)$，得解析式。
【答案】
(1) $y$是$x$的一次函数；
(2) $\boldsymbol{y=2x-13}$
【知识点】
正比例的定义；一次函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题，重点考查正比例关系和一次函数的联系，第二问将常数项整体计算可简化运算，掌握待定系数法是求解这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

14.已知一次函数$y=(2m+4)x+(3-n)$，求：
(1)当$m$为何值时，$y$随$x$的增大而增大；
(2)当$n$为何值时，函数图象与$y$轴的交点在$x$轴下方；
(3)当$m,n$为何值时，函数图象过原点。

14.(1)$m＞-2$
(2)$n＞3$
(3)$m≠-2,n=3$

【分析】
本题围绕一次函数的基本性质展开考查，解题时结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的性质对应分析即可：
1. 若y随x的增大而增大，只需满足一次项系数$k＞0$，代入对应系数列不等式求解即可；
2. 一次函数与y轴的交点为$(0,b)$，若交点在x轴下方，只需满足$b＜0$，代入常数项列不等式求解即可；
3. 若函数图象过原点，将$(0,0)$代入解析式可得$b=0$，同时需保证一次项系数$k≠0$（否则不属于一次函数），联立求解即可得到m、n的取值。
【解析】
已知该函数为一次函数，因此大前提为一次项系数$2m+4≠0$，即$m≠-2$，结合性质分别求解：
(1) 若y随x的增大而增大，需一次项系数大于0：
$\begin{aligned}2m+4&＞0\\2m&＞-4\\m&＞-2\end{aligned}$
(2) 一次函数与y轴交点的纵坐标为常数项$3-n$，若交点在x轴下方，需常数项小于0：
$\begin{aligned}3-n&＜0\\n&＞3\end{aligned}$
(3) 若函数图象过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式：
$\begin{aligned}0&=(2m+4)×0 + 3-n\\n&=3\end{aligned}$
结合一次函数一次项系数不为0的要求，得$m≠-2$。
【答案】
(1)$m＞-2$
(2)$n＞3$
(3)$m≠-2,n=3$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，解题核心是明确一次函数解析式中k、b两个参数对应的图象和性质特点，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8