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9.如图,一次函数$y=ax+b$的图象经过$A(2,0),B(0,-1)$两点,则关于$x$的不等式$ax+b＜0$的解集是
$x＜2$
.答案
9.$x＜2$
解析
【分析】
要解不等式$ax+b＜0$，可结合一次函数与一元一次不等式的关系分析：不等式$ax+b＜0$等价于一次函数$y=ax+b$的函数值小于0，对应图象上就是函数图象位于x轴下方的部分，我们只需要找到这部分图象对应的自变量x的取值范围即可。已知一次函数与x轴交点为$A(2,0)$，结合函数的增减性和图象位置就能确定解集。
【解析】
不等式$ax+b＜0$的几何意义是：一次函数$y=ax+b$的图象位于x轴下方时，对应的自变量$x$的取值范围。
由图可知，一次函数$y=ax+b$与x轴的交点为$A(2,0)$，且函数图象从左到右上升，当$x＜2$时，函数图象在x轴下方，此时$y=ax+b＜0$，因此不等式$ax+b＜0$的解集是$x＜2$。
【答案】
$x＜2$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式的关系；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查借助一次函数图象求解一元一次不等式的解集，核心是理解不等式的几何意义，结合函数与x轴的交点坐标可直接得出结果，是对数形结合思想的基础应用。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax+b＜0$，可结合一次函数与一元一次不等式的关系分析：不等式$ax+b＜0$等价于一次函数$y=ax+b$的函数值小于0，对应图象上就是函数图象位于x轴下方的部分，我们只需要找到这部分图象对应的自变量x的取值范围即可。已知一次函数与x轴交点为$A(2,0)$，结合函数的增减性和图象位置就能确定解集。
【解析】
不等式$ax+b＜0$的几何意义是：一次函数$y=ax+b$的图象位于x轴下方时，对应的自变量$x$的取值范围。
由图可知，一次函数$y=ax+b$与x轴的交点为$A(2,0)$，且函数图象从左到右上升，当$x＜2$时，函数图象在x轴下方，此时$y=ax+b＜0$，因此不等式$ax+b＜0$的解集是$x＜2$。
【答案】
$x＜2$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式的关系；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查借助一次函数图象求解一元一次不等式的解集，核心是理解不等式的几何意义，结合函数与x轴的交点坐标可直接得出结果，是对数形结合思想的基础应用。
【难度系数】
0.8
10.如图，直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 与直线 $ l_2: y = k_2x + b_2 $ 交于点 $ A $，则关于 $ x, y $ 的方程组
$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\y = k_2x + b_2\end{cases}$
的解是 ______.
$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\y = k_2x + b_2\end{cases}$
的解是 ______.
答案
10.$\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数的解析式所组成的二元一次方程组的解，因为交点的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式，即同时满足对应的两个方程。接下来只需要从图中读取直线$l_1$和$l_2$的交点$A$的坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解。
由图可得，直线$l_1$与$l_2$的交点$A$的坐标为$(4,6)$，因此方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、函数图象交点的含义
【点评】
本题是基础类题目，核心是理解一次函数和二元一次方程组的对应关系，只需准确读取图象中两直线的交点坐标即可快速得到答案，对学生的读图能力有简单考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数的解析式所组成的二元一次方程组的解，因为交点的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式，即同时满足对应的两个方程。接下来只需要从图中读取直线$l_1$和$l_2$的交点$A$的坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解。
由图可得，直线$l_1$与$l_2$的交点$A$的坐标为$(4,6)$，因此方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、函数图象交点的含义
【点评】
本题是基础类题目，核心是理解一次函数和二元一次方程组的对应关系，只需准确读取图象中两直线的交点坐标即可快速得到答案，对学生的读图能力有简单考查。
【难度系数】
0.9
11.已知一次函数$y=\frac{3}{2}x+m$和$y=-\frac{1}{2}x+n$的图象都经过点$A(-2,0)$，且与$y$轴分别交于$B,C$两点，则$△ ABC$的面积为________。
答案
11.4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，因为两个一次函数图象都经过点A(-2,0)，可将点A坐标分别代入两个函数解析式，求出参数m和n的值，得到完整的函数表达式；第二步，B、C是函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0分别代入两个函数，即可得到B、C两点的坐标；第三步，观察△ABC的特征，BC边在y轴上，底为BC的长度，高为点A到y轴的水平距离（即点A横坐标的绝对值），代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
将点A(-2,0)代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得：
$0=\frac{3}{2}×(-2)+m$
计算得$0=-3+m$，解得$m=3$，因此第一个函数为$y=\frac{3}{2}x+3$。
将点A(-2,0)代入$y=-\frac{1}{2}x+n$，得：
$0=-\frac{1}{2}×(-2)+n$
计算得$0=1+n$，解得$n=-1$，因此第二个函数为$y=-\frac{1}{2}x-1$。
2. 求B、C两点坐标：
函数与y轴交点横坐标为0，
将x=0代入$y=\frac{3}{2}x+3$，得$y=3$，即B点坐标为(0,3)；
将x=0代入$y=-\frac{1}{2}x-1$，得$y=-1$，即C点坐标为(0,-1)。
3. 计算△ABC的面积：
BC的长度为$|3 - (-1)|=4$，
点A到y轴的距离为$|-2|=2$，即△ABC中BC边上的高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与平面几何结合的基础题，核心是掌握一次函数的基本性质，通过已知点坐标求解函数参数，再结合坐标轴上点的特征得到交点坐标，最终代入面积公式计算即可，解题逻辑清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，因为两个一次函数图象都经过点A(-2,0)，可将点A坐标分别代入两个函数解析式，求出参数m和n的值，得到完整的函数表达式；第二步，B、C是函数与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0分别代入两个函数，即可得到B、C两点的坐标；第三步，观察△ABC的特征，BC边在y轴上，底为BC的长度，高为点A到y轴的水平距离（即点A横坐标的绝对值），代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 求参数m、n的值：
将点A(-2,0)代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得：
$0=\frac{3}{2}×(-2)+m$
计算得$0=-3+m$，解得$m=3$，因此第一个函数为$y=\frac{3}{2}x+3$。
将点A(-2,0)代入$y=-\frac{1}{2}x+n$，得：
$0=-\frac{1}{2}×(-2)+n$
计算得$0=1+n$，解得$n=-1$，因此第二个函数为$y=-\frac{1}{2}x-1$。
2. 求B、C两点坐标：
函数与y轴交点横坐标为0，
将x=0代入$y=\frac{3}{2}x+3$，得$y=3$，即B点坐标为(0,3)；
将x=0代入$y=-\frac{1}{2}x-1$，得$y=-1$，即C点坐标为(0,-1)。
3. 计算△ABC的面积：
BC的长度为$|3 - (-1)|=4$，
点A到y轴的距离为$|-2|=2$，即△ABC中BC边上的高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与平面几何结合的基础题，核心是掌握一次函数的基本性质，通过已知点坐标求解函数参数，再结合坐标轴上点的特征得到交点坐标，最终代入面积公式计算即可，解题逻辑清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
12.如图所示,一次函数$y=x+5$的图象经过点$P(a,b)$和$Q(c,d)$,则$a(c-ad)-b(c-cd)$的值为________.
答案
12.25
解析
【分析】
解题时首先利用“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到P、Q两点横、纵坐标的数量关系；再对所求的代数式进行因式分解，将其转化为含有上述数量关系的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b、c、d的具体值。
【解析】
解：
∵一次函数$y=x+5$的图象经过点$P(a,b)$和$Q(c,d)$
∴将两点坐标代入函数解析式，可得：
$b=a+5$，$d=c+5$
移项得：$b-a=5$，$d-c=5$
对所求代数式化简：
$a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)$
又
∵$a-b=-(b-a)=-5$，$c-d=-(d-c)=-5$
∴代入得：原式$=(-5)×(-5)=25$
【答案】
25
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，代数式求值
【点评】
本题是一次函数与代数式化简的综合题，解题的核心是熟练掌握一次函数的图象性质，灵活运用整体代入的思想计算，能有效简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到P、Q两点横、纵坐标的数量关系；再对所求的代数式进行因式分解，将其转化为含有上述数量关系的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b、c、d的具体值。
【解析】
解：
∵一次函数$y=x+5$的图象经过点$P(a,b)$和$Q(c,d)$
∴将两点坐标代入函数解析式，可得：
$b=a+5$，$d=c+5$
移项得：$b-a=5$，$d-c=5$
对所求代数式化简：
$a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)$
又
∵$a-b=-(b-a)=-5$，$c-d=-(d-c)=-5$
∴代入得：原式$=(-5)×(-5)=25$
【答案】
25
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，代数式求值
【点评】
本题是一次函数与代数式化简的综合题，解题的核心是熟练掌握一次函数的图象性质，灵活运用整体代入的思想计算，能有效简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.65
三、解答题
13.如图,根据函数$y=kx+b$($k,b$是常数,且$k≠0$)的图象,求:
(1)方程$kx+b=0$的解;
(2)方程$kx+b=-3$的解.
13.如图,根据函数$y=kx+b$($k,b$是常数,且$k≠0$)的图象,求:
(1)方程$kx+b=0$的解;
(2)方程$kx+b=-3$的解.
答案
13.(1)由函数图象可知,当$y=0$时,$x=2$.故方程$kx+b=0$的解是$x=2$
(2)根据函数图象可知,当$y=-3$时,$x=-1$.故方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$
(2)根据函数图象可知,当$y=-3$时,$x=-1$.故方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$
解析
【分析】
解答本题的核心是理解一次函数与一元一次方程的对应关系：一元一次方程$kx+b=a$的解，就是一次函数$y=kx+b$的函数值为$a$时对应的自变量$x$的值。因此只需从图象中找到指定$y$值对应的横坐标即可得到方程的解：第一问找$y=0$对应的$x$，第二问找$y=-3$对应的$x$，直接读取图象坐标即可解题。
【解析】
(1) 观察函数图象，一次函数$y=kx+b$与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
(2) 观察函数图象，当$x=-1$时，对应的函数值$y=-3$，即当$y=-3$时，$x=-1$，因此方程$kx+b=-3$的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $x=-1$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，只需结合图象找到对应函数值下的自变量取值即可，解题关键是理解一次函数和对应一元一次方程的内在联系。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是理解一次函数与一元一次方程的对应关系：一元一次方程$kx+b=a$的解，就是一次函数$y=kx+b$的函数值为$a$时对应的自变量$x$的值。因此只需从图象中找到指定$y$值对应的横坐标即可得到方程的解：第一问找$y=0$对应的$x$，第二问找$y=-3$对应的$x$，直接读取图象坐标即可解题。
【解析】
(1) 观察函数图象，一次函数$y=kx+b$与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
(2) 观察函数图象，当$x=-1$时，对应的函数值$y=-3$，即当$y=-3$时，$x=-1$，因此方程$kx+b=-3$的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $x=-1$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，只需结合图象找到对应函数值下的自变量取值即可，解题关键是理解一次函数和对应一元一次方程的内在联系。
【难度系数】
0.8
14.如图,直线 $ l_1:y=x+1 $ 与直线 $ l_2:y=mx+n $ 相交于点 $ P(1,b) $.
(1)求 $ b $ 的值;
(2)不解关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n, \end{cases} $ 请你直接写出它的解;
(3)直线 $ l_3:y=nx+m $ 是否也经过点 $ P $? 请说明理由.
(1)求 $ b $ 的值;
(2)不解关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n, \end{cases} $ 请你直接写出它的解;
(3)直线 $ l_3:y=nx+m $ 是否也经过点 $ P $? 请说明理由.
答案
14.(1)$b=2$
(2)由(1)知$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(3)直线$l_3:y=nx+m$经过点P.理由如下:$\because y=mx+n$经过点$P(1,2)$,$\therefore m+n=2$,$\therefore$直线$y=nx+m$也经过P点
(2)由(1)知$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(3)直线$l_3:y=nx+m$经过点P.理由如下:$\because y=mx+n$经过点$P(1,2)$,$\therefore m+n=2$,$\therefore$直线$y=nx+m$也经过P点
解析
【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线$l_1$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将x=1代入$l_1$的解析式计算即可得到b的值。
(2) 二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，已经求得两直线交点P的坐标，直接对应写出方程组的解即可。
(3) 判断直线$l_3$是否经过点P，只需验证将P点的横坐标代入$l_3$的解析式时，计算出的纵坐标是否等于P点的纵坐标。首先利用点P在$l_2$上得到m与n的数量关系，再代入$l_3$的解析式验证即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=x+1$上，
∴将$x=1$代入$y=x+1$，得$b=1+1=2$。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知$l_1$和$l_2$的交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3:y=nx+m$经过点P，理由如下：
∵直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，
∴将$x=1,y=2$代入$y=mx+n$，得$m+n=2$。
将$x=1$代入$l_3:y=nx+m$，得$y=n+m=2$，即$x=1$时$y=2$，符合点P的坐标，因此直线$l_3$经过点P。
【答案】
(1)$b=2$
(2)$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(3)直线$l_3:y=nx+m$经过点P，理由：$\because y=mx+n$经过点$P(1,2)$，$\therefore m+n=2$，$\therefore$直线$y=nx+m$也经过P点
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程组的关系，函数过点验证
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，以及点与函数图象位置关系的验证方法，解题的关键是理解函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式。
【难度系数】
0.75
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线$l_1$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将x=1代入$l_1$的解析式计算即可得到b的值。
(2) 二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，已经求得两直线交点P的坐标，直接对应写出方程组的解即可。
(3) 判断直线$l_3$是否经过点P，只需验证将P点的横坐标代入$l_3$的解析式时，计算出的纵坐标是否等于P点的纵坐标。首先利用点P在$l_2$上得到m与n的数量关系，再代入$l_3$的解析式验证即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=x+1$上，
∴将$x=1$代入$y=x+1$，得$b=1+1=2$。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知$l_1$和$l_2$的交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3:y=nx+m$经过点P，理由如下：
∵直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，
∴将$x=1,y=2$代入$y=mx+n$，得$m+n=2$。
将$x=1$代入$l_3:y=nx+m$，得$y=n+m=2$，即$x=1$时$y=2$，符合点P的坐标，因此直线$l_3$经过点P。
【答案】
(1)$b=2$
(2)$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(3)直线$l_3:y=nx+m$经过点P，理由：$\because y=mx+n$经过点$P(1,2)$，$\therefore m+n=2$，$\therefore$直线$y=nx+m$也经过P点
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程组的关系，函数过点验证
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，以及点与函数图象位置关系的验证方法，解题的关键是理解函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式。
【难度系数】
0.75
