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作业(十六) 数据的离散程度
一、选择题
1.在网页制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位:分)分别是:7,10,9,8,8,9,9,8,对这组数据,下列说法不正确的是 （
A.中位数是 8
B.平均数是 8.5
C.众数是 8 和 9
D.方差是 0.75
一、选择题
1.在网页制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位:分)分别是:7,10,9,8,8,9,9,8,对这组数据,下列说法不正确的是 （
A
）A.中位数是 8
B.平均数是 8.5
C.众数是 8 和 9
D.方差是 0.75
答案
1.A
解析
【分析】
要判断各选项说法是否正确，需先将数据按从小到大排序，再根据中位数、众数、平均数、方差的定义和计算公式，分别求出对应统计量，逐一比对选项即可得到错误结论。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，9，9，10，共8个数据。
1. 计算中位数：偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数，即第4个和第5个数据的平均数，为$\frac{8+9}{2}=8.5$，故A选项说法错误；
2. 计算平均数：总和为$7+8×3+9×3+10=68$，平均数为$\frac{68}{8}=8.5$，故B选项说法正确；
3. 确定众数：数据中8和9均出现3次，出现次数最多，故众数是8和9，C选项说法正确；
4. 计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入得：
$s^2=\frac{1}{8}[(7-8.5)^2+3×(8-8.5)^2+3×(9-8.5)^2+(10-8.5)^2]$
$=\frac{1}{8}(2.25+0.75+0.75+2.25)=\frac{6}{8}=0.75$，故D选项说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
统计量计算；方差计算；数据的集中趋势与离散程度
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查各常见统计量的定义及计算方法，只要熟练掌握相关公式，细心计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断各选项说法是否正确，需先将数据按从小到大排序，再根据中位数、众数、平均数、方差的定义和计算公式，分别求出对应统计量，逐一比对选项即可得到错误结论。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，9，9，10，共8个数据。
1. 计算中位数：偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数，即第4个和第5个数据的平均数，为$\frac{8+9}{2}=8.5$，故A选项说法错误；
2. 计算平均数：总和为$7+8×3+9×3+10=68$，平均数为$\frac{68}{8}=8.5$，故B选项说法正确；
3. 确定众数：数据中8和9均出现3次，出现次数最多，故众数是8和9，C选项说法正确；
4. 计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入得：
$s^2=\frac{1}{8}[(7-8.5)^2+3×(8-8.5)^2+3×(9-8.5)^2+(10-8.5)^2]$
$=\frac{1}{8}(2.25+0.75+0.75+2.25)=\frac{6}{8}=0.75$，故D选项说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
统计量计算；方差计算；数据的集中趋势与离散程度
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查各常见统计量的定义及计算方法，只要熟练掌握相关公式，细心计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2.如图,下列说法正确的是
（
A.甲组数据的波动程度较大
B.乙组数据的波动程度较大
C.甲、乙两组数据的波动程度一样大
D.无法判断甲、乙两组数据的波动程度哪个较大
（
B
）A.甲组数据的波动程度较大
B.乙组数据的波动程度较大
C.甲、乙两组数据的波动程度一样大
D.无法判断甲、乙两组数据的波动程度哪个较大
答案
2.B
解析
【分析】
要判断两组数据的波动程度，首先明确：在折线统计图中，折线的起伏幅度和数据波动程度正相关，折线起伏越大，数据波动越大。解题时只需对比甲、乙两组对应折线的起伏情况即可，先观察甲组折线，整体走势平缓，数值变化小；再观察乙组折线，高低落差大，有极低值和极高值，起伏明显更大，可直接得出结论。
【解析】
数据的波动程度可通过折线统计图的起伏情况直观判断：折线起伏越大，数据的离散程度越高，波动程度越大。观察题图可得：
1. 甲组对应的虚线折线整体走势平缓，数值集中在6~10之间，变化幅度小；
2. 乙组对应的实线折线高低落差大，出现了0、1等极低值，也有10的极高值，起伏幅度远大于甲组。
因此乙组数据的波动程度更大。
【答案】
B
【知识点】
折线统计图识别；数据的波动程度
【点评】
本题考查统计中数据波动的直观判断，掌握折线统计图的特点以及数据波动和折线起伏的对应关系即可快速解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断两组数据的波动程度，首先明确：在折线统计图中，折线的起伏幅度和数据波动程度正相关，折线起伏越大，数据波动越大。解题时只需对比甲、乙两组对应折线的起伏情况即可，先观察甲组折线，整体走势平缓，数值变化小；再观察乙组折线，高低落差大，有极低值和极高值，起伏明显更大，可直接得出结论。
【解析】
数据的波动程度可通过折线统计图的起伏情况直观判断：折线起伏越大，数据的离散程度越高，波动程度越大。观察题图可得：
1. 甲组对应的虚线折线整体走势平缓，数值集中在6~10之间，变化幅度小；
2. 乙组对应的实线折线高低落差大，出现了0、1等极低值，也有10的极高值，起伏幅度远大于甲组。
因此乙组数据的波动程度更大。
【答案】
B
【知识点】
折线统计图识别；数据的波动程度
【点评】
本题考查统计中数据波动的直观判断，掌握折线统计图的特点以及数据波动和折线起伏的对应关系即可快速解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3.在某样本方差的计算公式$s^2=\frac{1}{10}[(x_1-8)^2+(x_2-8)^2+\dots+(x_{10}-8)^2]$中，数字10和8依次表示样本的 （
A.容量，方差
B.平均数，容量
C.容量，平均数
D.方差，平均数
C
）A.容量，方差
B.平均数，容量
C.容量，平均数
D.方差，平均数
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆样本方差的标准计算公式，明确公式中每个参数对应的含义，再将题目给出的公式和标准公式做对应，就能确定两个数字分别代表的意义，进而选出正确选项。
【解析】
样本方差的标准计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中：$n$代表样本容量，$\overline{x}$代表样本平均数。
将题目给出的公式$s^2=\frac{1}{10}[(x_1-8)^2+(x_2-8)^2+\dots+(x_{10}-8)^2]$和标准公式对比可得：
$n=10$，即10是样本容量；$\overline{x}=8$，即8是样本平均数。
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
样本方差公式；样本容量；样本平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对样本方差公式各参数的记忆与识别，熟练掌握方差公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆样本方差的标准计算公式，明确公式中每个参数对应的含义，再将题目给出的公式和标准公式做对应，就能确定两个数字分别代表的意义，进而选出正确选项。
【解析】
样本方差的标准计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中：$n$代表样本容量，$\overline{x}$代表样本平均数。
将题目给出的公式$s^2=\frac{1}{10}[(x_1-8)^2+(x_2-8)^2+\dots+(x_{10}-8)^2]$和标准公式对比可得：
$n=10$，即10是样本容量；$\overline{x}=8$，即8是样本平均数。
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
样本方差公式；样本容量；样本平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对样本方差公式各参数的记忆与识别，熟练掌握方差公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩(单位:cm)的平均数与方差.
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 （
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.A
解析
【分析】
要选择成绩好且发挥稳定的运动员，首先明确两个要求对应的统计量：①成绩好对应平均成绩更高，即平均数更大；②发挥稳定对应成绩波动更小，即方差更小。解题时先比较四人的平均数，筛选出平均成绩高的选手，再在这些选手中比较方差，选出方差最小的即可。
【解析】
第一步，比较四人的平均成绩：
甲、丙的平均数为185，乙、丁的平均数为180，因为185＞180，所以甲和丙的平均成绩更好，先排除乙和丁。
第二步，比较甲、丙的方差：
甲的方差为3.6，丙的方差为7.4，因为3.6＜7.4，方差越小说明数据波动越小、发挥越稳定，所以甲的发挥更稳定。
综上，成绩好且发挥稳定的是甲。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际问题中的应用，解题时需要结合平均数和方差各自的统计意义，根据题目要求分步筛选即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要选择成绩好且发挥稳定的运动员，首先明确两个要求对应的统计量：①成绩好对应平均成绩更高，即平均数更大；②发挥稳定对应成绩波动更小，即方差更小。解题时先比较四人的平均数，筛选出平均成绩高的选手，再在这些选手中比较方差，选出方差最小的即可。
【解析】
第一步，比较四人的平均成绩：
甲、丙的平均数为185，乙、丁的平均数为180，因为185＞180，所以甲和丙的平均成绩更好，先排除乙和丁。
第二步，比较甲、丙的方差：
甲的方差为3.6，丙的方差为7.4，因为3.6＜7.4，方差越小说明数据波动越小、发挥越稳定，所以甲的发挥更稳定。
综上，成绩好且发挥稳定的是甲。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际问题中的应用，解题时需要结合平均数和方差各自的统计意义，根据题目要求分步筛选即可得到结果。
【难度系数】
0.9
5.已知数据$x_1,x_2,···,x_n$的方差是$s_1^2$，$x_1 - a,x_2 - a,···,x_n - a$的方差是$s_2^2$，则 （
A.$s_1^2 ＞ s_2^2$
B.$s_1^2 ＜ s_2^2$
C.$s_1^2 = s_2^2$
D.$s_1^2$与$s_2^2$无法比较
C
）A.$s_1^2 ＞ s_2^2$
B.$s_1^2 ＜ s_2^2$
C.$s_1^2 = s_2^2$
D.$s_1^2$与$s_2^2$无法比较
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时需要先求数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。我们可以先设出原数据的平均数，推导得到新数据的平均数，再分别代入方差公式，对比两个方差的表达式即可判断大小关系。另外也可以直接用方差的性质思考：一组数据同时加减同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差不变。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则原方差为：
$s_1^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
新数据$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_n-a)]=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)-a=\overline{x}-a$
新数据的方差为：
$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-a-\overline{x}')^2+(x_2-a-\overline{x}')^2+\dots+(x_n-a-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}-a$代入上式，每个括号内可化简为：
$x_i - a - (\overline{x}-a)=x_i-\overline{x}$（$i=1,2,\dots,n$）
因此$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s_1^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关知识，牢记“一组数据同时加上或减去同一个常数，数据的波动程度不变，即方差不变”这一结论，可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的量，计算时需要先求数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。我们可以先设出原数据的平均数，推导得到新数据的平均数，再分别代入方差公式，对比两个方差的表达式即可判断大小关系。另外也可以直接用方差的性质思考：一组数据同时加减同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差不变。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则原方差为：
$s_1^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
新数据$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_n-a)]=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)-a=\overline{x}-a$
新数据的方差为：
$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-a-\overline{x}')^2+(x_2-a-\overline{x}')^2+\dots+(x_n-a-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}-a$代入上式，每个括号内可化简为：
$x_i - a - (\overline{x}-a)=x_i-\overline{x}$（$i=1,2,\dots,n$）
因此$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s_1^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的相关知识，牢记“一组数据同时加上或减去同一个常数，数据的波动程度不变，即方差不变”这一结论，可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
6.有一组数据11,8,10,9,12的平均数是
10
，方差是2
.答案
6.10 2
解析
【分析】
求解本题需要牢记平均数和方差的计算公式，分两步计算：第一步先求算术平均数，算术平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数；第二步将求出的平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可得到方差，按步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算平均数：
本组数据共5个，数据总和为$11+8+10+9+12=50$，
根据算术平均数公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得平均数$\overline{x}=\frac{50}{5}=10$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(11-10)^2+(8-10)^2+(10-10)^2+(9-10)^2+(12-10)^2]\\&=\frac{1}{5}[1^2+(-2)^2+0^2+(-1)^2+2^2]\\&=\frac{1}{5}×(1+4+0+1+4)\\&=\frac{10}{5}=2\end{aligned}$
【答案】
10；2
【知识点】
算术平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查平均数和方差的公式应用，只要熟记公式、计算时仔细认真，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
求解本题需要牢记平均数和方差的计算公式，分两步计算：第一步先求算术平均数，算术平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数；第二步将求出的平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可得到方差，按步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算平均数：
本组数据共5个，数据总和为$11+8+10+9+12=50$，
根据算术平均数公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得平均数$\overline{x}=\frac{50}{5}=10$。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(11-10)^2+(8-10)^2+(10-10)^2+(9-10)^2+(12-10)^2]\\&=\frac{1}{5}[1^2+(-2)^2+0^2+(-1)^2+2^2]\\&=\frac{1}{5}×(1+4+0+1+4)\\&=\frac{10}{5}=2\end{aligned}$
【答案】
10；2
【知识点】
算术平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查平均数和方差的公式应用，只要熟记公式、计算时仔细认真，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
7.小华想了解本市的气温情况,他把所调查的7天的气温(单位:$°\mathrm{C}$)情况制作成了如下表格:对这7天气温情况,去掉一个最高温度和一个最低温度,表格中的统计量一定不发生变化的是________.
答案
7.中位数
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要依次分析四个统计量在去掉一个最高温度和一个最低温度后的变化情况：首先回忆各统计量的定义，中位数是将数据排序后处于中间位置的数，平均数是所有数据的平均值，众数是出现次数最多的数，方差反映数据的波动大小。首先针对7个数据的排序特征判断中位数的变化，再依次分析其余统计量是否可能发生变化，最终确定一定不变的统计量。
【解析】
将7天的气温数据从小到大排列，共7个数据，原中位数为排序后第4个数据。
当去掉1个最高值和1个最低值时，相当于去掉排序后的第1个和第7个数据，剩余5个数据，此时剩余数据排序后的中位数仍然是原来的第4个数据，因此中位数一定不发生变化。
其余统计量的变化情况：
1. 平均数：由所有数据的和除以数据个数得到，去掉两个数据后总和与数据个数均改变，因此平均数可能发生变化；
2. 众数：是一组数据中出现次数最多的数，若去掉的最高值或最低值恰好是原众数，可能改变众数的出现次数，因此众数可能发生变化；
3. 方差：反映数据的波动程度，去掉极值后数据的波动幅度变小，方差通常会发生变化。
综上，一定不发生变化的是中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的定义；统计量的特征；方差的意义
【点评】
本题考查对不同统计量特征的理解，解题的核心是明确各统计量的决定因素：中位数仅与数据的排序位置有关，去掉首尾的极端数据不会改变中间位置的数值，而其余统计量均会受数据数值变化的影响。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要依次分析四个统计量在去掉一个最高温度和一个最低温度后的变化情况：首先回忆各统计量的定义，中位数是将数据排序后处于中间位置的数，平均数是所有数据的平均值，众数是出现次数最多的数，方差反映数据的波动大小。首先针对7个数据的排序特征判断中位数的变化，再依次分析其余统计量是否可能发生变化，最终确定一定不变的统计量。
【解析】
将7天的气温数据从小到大排列，共7个数据，原中位数为排序后第4个数据。
当去掉1个最高值和1个最低值时，相当于去掉排序后的第1个和第7个数据，剩余5个数据，此时剩余数据排序后的中位数仍然是原来的第4个数据，因此中位数一定不发生变化。
其余统计量的变化情况：
1. 平均数：由所有数据的和除以数据个数得到，去掉两个数据后总和与数据个数均改变，因此平均数可能发生变化；
2. 众数：是一组数据中出现次数最多的数，若去掉的最高值或最低值恰好是原众数，可能改变众数的出现次数，因此众数可能发生变化；
3. 方差：反映数据的波动程度，去掉极值后数据的波动幅度变小，方差通常会发生变化。
综上，一定不发生变化的是中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的定义；统计量的特征；方差的意义
【点评】
本题考查对不同统计量特征的理解，解题的核心是明确各统计量的决定因素：中位数仅与数据的排序位置有关，去掉首尾的极端数据不会改变中间位置的数值，而其余统计量均会受数据数值变化的影响。
【难度系数】
0.7
