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8.如图是甲、乙两人6次投篮测试成绩的统计图(每次投篮10个)，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作$s^{2}_{甲}$、$s^{2}_{乙}$，则$s^{2}_{甲}$ ______ $s^{2}_{乙}$.(填“＞”“=”或“＜”)
答案
8.＜
解析
【分析】
要比较甲、乙两人成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量数据波动程度的量，数据波动越大，方差越大，数据越不稳定；反之数据波动越小，方差越小，数据越稳定。解题时可以先直接观察折线统计图的起伏程度，起伏大的对应数据波动大、方差大，也可以通过分别计算两人成绩的方差，再比较大小得到结论。
【解析】
方法一：观察折线统计图可知，乙的成绩折线起伏程度明显大于甲的成绩折线，说明乙的成绩波动更大，因此乙的方差更大，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
方法二：计算验证：
1. 列出两人6次成绩：甲：8、7、8、6、9、8；乙：7、4、7、9、5、7。
2. 计算甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{8+7+8+6+9+8}{6}=\frac{23}{3}$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(8-\frac{23}{3})^2+(7-\frac{23}{3})^2+(8-\frac{23}{3})^2+(6-\frac{23}{3})^2+(9-\frac{23}{3})^2+(8-\frac{23}{3})^2]\approx0.89$
3. 计算乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{7+4+7+9+5+7}{6}=6.5$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(7-6.5)^2+(4-6.5)^2+(7-6.5)^2+(9-6.5)^2+(5-6.5)^2+(7-6.5)^2]\approx2.58$
对比可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
方差的意义；折线统计图；数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过观察折线波动程度快速判断结果，也可以通过计算方差得到结论，理解方差和数据波动程度的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较甲、乙两人成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量数据波动程度的量，数据波动越大，方差越大，数据越不稳定；反之数据波动越小，方差越小，数据越稳定。解题时可以先直接观察折线统计图的起伏程度，起伏大的对应数据波动大、方差大，也可以通过分别计算两人成绩的方差，再比较大小得到结论。
【解析】
方法一：观察折线统计图可知，乙的成绩折线起伏程度明显大于甲的成绩折线，说明乙的成绩波动更大，因此乙的方差更大，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
方法二：计算验证：
1. 列出两人6次成绩：甲：8、7、8、6、9、8；乙：7、4、7、9、5、7。
2. 计算甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{8+7+8+6+9+8}{6}=\frac{23}{3}$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(8-\frac{23}{3})^2+(7-\frac{23}{3})^2+(8-\frac{23}{3})^2+(6-\frac{23}{3})^2+(9-\frac{23}{3})^2+(8-\frac{23}{3})^2]\approx0.89$
3. 计算乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{7+4+7+9+5+7}{6}=6.5$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(7-6.5)^2+(4-6.5)^2+(7-6.5)^2+(9-6.5)^2+(5-6.5)^2+(7-6.5)^2]\approx2.58$
对比可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
方差的意义；折线统计图；数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的相关知识，既可以通过观察折线波动程度快速判断结果，也可以通过计算方差得到结论，理解方差和数据波动程度的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.如果一组数据为4,a,5,3,8,其平均数为a,那么这组数据的方差为
$\frac{14}{5}$
.答案
9.$\frac{14}{5}$
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，根据平均数的定义，结合题目给出的“平均数为a”的条件，列一元一次方程求出a的值；第二步，将求出的a作为平均数，代入方差的计算公式，计算出这组数据的方差即可。
【解析】
第一步：求a的值
根据平均数的计算公式，这组数据的平均数为$\frac{4+a+5+3+8}{5}$，由题意得：
$\frac{4+a+5+3+8}{5}=a$
先计算分子的和：$4+5+3+8=20$，因此方程化简为：
$\frac{20+a}{5}=a$
两边同时乘5得：$20+a=5a$
移项合并同类项得：$4a=20$
解得：$a=5$，即这组数据的平均数为5。
第二步：计算方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\bar{x}$是平均数。
这里$n=5$，$\bar{x}=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+0+0+4+9]$
$=\frac{1}{5}×14=\frac{14}{5}$
【答案】
$\frac{14}{5}$
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，核心是牢记平均数和方差的计算公式，解题的关键是先利用平均数的条件求出未知参数a，再代入方差公式计算即可，计算过程注意不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步走：第一步，根据平均数的定义，结合题目给出的“平均数为a”的条件，列一元一次方程求出a的值；第二步，将求出的a作为平均数，代入方差的计算公式，计算出这组数据的方差即可。
【解析】
第一步：求a的值
根据平均数的计算公式，这组数据的平均数为$\frac{4+a+5+3+8}{5}$，由题意得：
$\frac{4+a+5+3+8}{5}=a$
先计算分子的和：$4+5+3+8=20$，因此方程化简为：
$\frac{20+a}{5}=a$
两边同时乘5得：$20+a=5a$
移项合并同类项得：$4a=20$
解得：$a=5$，即这组数据的平均数为5。
第二步：计算方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\bar{x}$是平均数。
这里$n=5$，$\bar{x}=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+0+0+4+9]$
$=\frac{1}{5}×14=\frac{14}{5}$
【答案】
$\frac{14}{5}$
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，核心是牢记平均数和方差的计算公式，解题的关键是先利用平均数的条件求出未知参数a，再代入方差公式计算即可，计算过程注意不要出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
10.为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中随机抽取 10 株麦苗,测得苗高(单位:cm)如表:
(1)分别计算两种小麦的平均苗高;
(2)哪种小麦的长势比较整齐?请说明理由.
10.为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中随机抽取 10 株麦苗,测得苗高(单位:cm)如表:
(1)分别计算两种小麦的平均苗高;
(2)哪种小麦的长势比较整齐?请说明理由.
答案
10.(1)甲的平均苗高是 20 cm,乙的平均苗高是 20 cm
(2)$s_甲^2=5.2,s_乙^2=15.8$,因为$s_甲^2＜s_乙^2$,所以甲种小麦长得比较整齐
(2)$s_甲^2=5.2,s_乙^2=15.8$,因为$s_甲^2＜s_乙^2$,所以甲种小麦长得比较整齐
解析
【分析】
解决第(1)问时，求平均苗高可直接用算术平均数的计算方法：将每组10株麦苗的高度相加得到总和，再除以总株数10即可。解决第(2)问时，判断长势是否整齐需要比较两组数据的方差，方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小说明数据波动越小、长势越整齐，因此先分别计算两组数据的方差，再比较方差大小就能得出结论。
【解析】
(1)计算甲的平均苗高：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(16+18+18+19+20+20+21+21+23+24)=\frac{1}{10}×200=20\ (\mathrm{cm})$
计算乙的平均苗高：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(13+15+17+18+20+21+23+23+24+26)=\frac{1}{10}×200=20\ (\mathrm{cm})$
(2)分别计算两组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(16-20)^2+2×(18-20)^2+(19-20)^2+2×(20-20)^2+2×(21-20)^2+(23-20)^2+(24-20)^2]$
$=\frac{1}{10}×(16+8+1+0+2+9+16)=\frac{1}{10}×52=5.2$
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(13-20)^2+(15-20)^2+(17-20)^2+(18-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+2×(23-20)^2+(24-20)^2+(26-20)^2]$
$=\frac{1}{10}×(49+25+9+4+0+1+18+16+36)=\frac{1}{10}×158=15.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲种小麦苗高的波动更小，因此甲种小麦长势比较整齐。
【答案】
(1)甲的平均苗高是20 cm，乙的平均苗高是20 cm；
(2)甲种小麦长势比较整齐，因为$s_甲^2=5.2$，$s_乙^2=15.8$，$s_甲^2＜s_乙^2$，甲的苗高波动更小。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题属于统计基础应用题，考查平均数和方差的实际应用，掌握平均数、方差的计算方法，理解“方差越小数据稳定性越高”的性质是解题的关键，计算时需注意避免运算失误。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，求平均苗高可直接用算术平均数的计算方法：将每组10株麦苗的高度相加得到总和，再除以总株数10即可。解决第(2)问时，判断长势是否整齐需要比较两组数据的方差，方差是反映数据波动程度的统计量，方差越小说明数据波动越小、长势越整齐，因此先分别计算两组数据的方差，再比较方差大小就能得出结论。
【解析】
(1)计算甲的平均苗高：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(16+18+18+19+20+20+21+21+23+24)=\frac{1}{10}×200=20\ (\mathrm{cm})$
计算乙的平均苗高：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(13+15+17+18+20+21+23+23+24+26)=\frac{1}{10}×200=20\ (\mathrm{cm})$
(2)分别计算两组数据的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(16-20)^2+2×(18-20)^2+(19-20)^2+2×(20-20)^2+2×(21-20)^2+(23-20)^2+(24-20)^2]$
$=\frac{1}{10}×(16+8+1+0+2+9+16)=\frac{1}{10}×52=5.2$
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(13-20)^2+(15-20)^2+(17-20)^2+(18-20)^2+(20-20)^2+(21-20)^2+2×(23-20)^2+(24-20)^2+(26-20)^2]$
$=\frac{1}{10}×(49+25+9+4+0+1+18+16+36)=\frac{1}{10}×158=15.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲种小麦苗高的波动更小，因此甲种小麦长势比较整齐。
【答案】
(1)甲的平均苗高是20 cm，乙的平均苗高是20 cm；
(2)甲种小麦长势比较整齐，因为$s_甲^2=5.2$，$s_乙^2=15.8$，$s_甲^2＜s_乙^2$，甲的苗高波动更小。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题属于统计基础应用题，考查平均数和方差的实际应用，掌握平均数、方差的计算方法，理解“方差越小数据稳定性越高”的性质是解题的关键，计算时需注意避免运算失误。
【难度系数】
0.8
11.某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中,他们的射击成绩(单位:环)信息如下:
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
(2)
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以.你认为他说得对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可).
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
8.5
,$n=$8
;(2)
乙
队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填“甲”或“乙”);(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以.你认为他说得对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可).
答案
11.(1)乙运动员的成绩按照从小到大排列是:6,7,7,8,8,9,9,9,10,10,所以乙的中位数$m=\frac{8+9}{2}=8.5$,
∵甲运动员成绩中8环的最多,故众数$n=8$.故答案为:8.5,8
(2)
∵甲的方差是 2.01,乙的方差是 1.61,1.61＜2.01,
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定.故答案为:乙
(3)他说得不对,理由:虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定,所以应该推荐乙队员参赛
∵甲运动员成绩中8环的最多,故众数$n=8$.故答案为:8.5,8
(2)
∵甲的方差是 2.01,乙的方差是 1.61,1.61＜2.01,
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定.故答案为:乙
(3)他说得不对,理由:虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定,所以应该推荐乙队员参赛
解析
【分析】
解决这道题需结合各统计量的定义和性质逐步分析：
1. 求$m$、$n$的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，因此只需统计甲成绩中各环数的出现次数即可得到$n$；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，因此先排序乙的成绩，再计算中间两个数的平均值即可得到$m$。
2. 判断发挥稳定性：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，直接比较甲乙的方差即可得出结论。
3. 判断推荐逻辑是否合理：平均数相同的情况下，还可结合方差、中位数、众数等统计量综合判断，比如方差更小的选手发挥更稳定，更适合参赛。
【解析】
(1) 统计甲的10次成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中8环共出现4次，出现次数最多，因此众数$n=8$；
将乙的10次成绩从小到大排序为：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
(2) 方差越小，数据波动越小，发挥越稳定。已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，$1.61＜2.01$，因此乙队员发挥更稳定。
(3) 他说得不对。理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛（也可从乙的中位数、众数更高，高分更多等角度说明，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$；$8$
(2) 乙
(3) 不对，虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛。
【知识点】
众数；中位数；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法和实际意义，能根据实际需求选择合适的统计量分析数据，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题需结合各统计量的定义和性质逐步分析：
1. 求$m$、$n$的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，因此只需统计甲成绩中各环数的出现次数即可得到$n$；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，因此先排序乙的成绩，再计算中间两个数的平均值即可得到$m$。
2. 判断发挥稳定性：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，直接比较甲乙的方差即可得出结论。
3. 判断推荐逻辑是否合理：平均数相同的情况下，还可结合方差、中位数、众数等统计量综合判断，比如方差更小的选手发挥更稳定，更适合参赛。
【解析】
(1) 统计甲的10次成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中8环共出现4次，出现次数最多，因此众数$n=8$；
将乙的10次成绩从小到大排序为：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
(2) 方差越小，数据波动越小，发挥越稳定。已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，$1.61＜2.01$，因此乙队员发挥更稳定。
(3) 他说得不对。理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛（也可从乙的中位数、众数更高，高分更多等角度说明，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$；$8$
(2) 乙
(3) 不对，虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定，所以应该推荐乙队员参赛。
【知识点】
众数；中位数；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法和实际意义，能根据实际需求选择合适的统计量分析数据，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
