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12.某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩(单位:分)如图所示.
(1)根据图示填写表格:
(2)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队的选手成绩集中程度较高.
(1)根据图示填写表格:
(2)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队的选手成绩集中程度较高.
答案
12.(1)初中代表队:平均数 85,众数为 85;高中代表队:中位数为 80
(2)$s_初^2=70,s_高^2=160$,
∵$s_初^2＜s_高^2$,
∴初中代表队选手成绩集中程度较高
(2)$s_初^2=70,s_高^2=160$,
∵$s_初^2＜s_高^2$,
∴初中代表队选手成绩集中程度较高
解析
【分析】
(1)解决第一问首先要从统计图中提取初、高中代表队5名选手的决赛成绩，再根据对应统计量的定义计算：平均数是所有数据之和除以数据个数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取正中间的数）。
(2)解决第二问先回忆方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，分别代入两队的成绩和平均数计算方差，再根据“方差越小，数据波动越小，集中程度越高”的性质比较方差大小，判断哪个队成绩更集中。
【解析】
首先提取两队决赛成绩：
初中代表队5名选手成绩：75，80，85，85，100
高中代表队5名选手成绩：70，75，80，100，100
(1)计算对应统计量：
初中代表队平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$；
成绩中85出现次数最多，故初中代表队众数为85；
将高中代表队成绩从小到大排序为70，75，80，100，100，共5个数据，第3个数据为80，故高中代表队中位数为80。
(2)计算两队方差：
初中代表队方差：
$s_初^2=\frac{1}{5}[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)=\frac{350}{5}=70$
高中代表队平均数：$\overline{x}_高=\frac{70+75+80+100+100}{5}=85$
高中代表队方差：
$s_高^2=\frac{1}{5}[(70-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(225+100+25+225+225)=\frac{800}{5}=160$
比较得$s_初^2＜s_高^2$，方差越小说明数据波动越小、集中程度越高，因此初中代表队选手成绩集中程度较高。
【答案】
(1)初中代表队:平均数 85,众数为 85;高中代表队:中位数为 80
(2)$s_初^2=70,s_高^2=160$,
∵$s_初^2＜s_高^2$,
∴初中代表队选手成绩集中程度较高
【知识点】
统计量的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合校园歌手大赛的实际情境考查统计知识，要求熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据离散程度的实际意义，是统计知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
(1)解决第一问首先要从统计图中提取初、高中代表队5名选手的决赛成绩，再根据对应统计量的定义计算：平均数是所有数据之和除以数据个数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取正中间的数）。
(2)解决第二问先回忆方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，分别代入两队的成绩和平均数计算方差，再根据“方差越小，数据波动越小，集中程度越高”的性质比较方差大小，判断哪个队成绩更集中。
【解析】
首先提取两队决赛成绩：
初中代表队5名选手成绩：75，80，85，85，100
高中代表队5名选手成绩：70，75，80，100，100
(1)计算对应统计量：
初中代表队平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$；
成绩中85出现次数最多，故初中代表队众数为85；
将高中代表队成绩从小到大排序为70，75，80，100，100，共5个数据，第3个数据为80，故高中代表队中位数为80。
(2)计算两队方差：
初中代表队方差：
$s_初^2=\frac{1}{5}[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)=\frac{350}{5}=70$
高中代表队平均数：$\overline{x}_高=\frac{70+75+80+100+100}{5}=85$
高中代表队方差：
$s_高^2=\frac{1}{5}[(70-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(225+100+25+225+225)=\frac{800}{5}=160$
比较得$s_初^2＜s_高^2$，方差越小说明数据波动越小、集中程度越高，因此初中代表队选手成绩集中程度较高。
【答案】
(1)初中代表队:平均数 85,众数为 85;高中代表队:中位数为 80
(2)$s_初^2=70,s_高^2=160$,
∵$s_初^2＜s_高^2$,
∴初中代表队选手成绩集中程度较高
【知识点】
统计量的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合校园歌手大赛的实际情境考查统计知识，要求熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据离散程度的实际意义，是统计知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
13.甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图.根据统计图信息，整理分析数据如下表.
| | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | $a$ | 7 | 7 | 1.2 |
| 乙 | 7 | $b$ | 8 | $c$ |
(1)写出表格中$a,b,c$的值；
(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
| | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | $a$ | 7 | 7 | 1.2 |
| 乙 | 7 | $b$ | 8 | $c$ |
(1)写出表格中$a,b,c$的值；
(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
答案
13.(1)$a=7,b=7.5,c=4.2$
(2)从平均数看甲、乙二人的成绩相等均为7环;从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙;从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多;从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定;综合以上因素,若选派一名队员参加比赛的话,可选择乙参赛,因为乙获得高分的可能性更大(答案不唯一)
(2)从平均数看甲、乙二人的成绩相等均为7环;从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙;从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多;从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定;综合以上因素,若选派一名队员参加比赛的话,可选择乙参赛,因为乙获得高分的可能性更大(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决第(1)问，①求a（甲的平均数）：先从甲的条形统计图中读取各成绩对应的射击次数，用加权平均数公式，总环数除以总次数即可求出a；②求b（乙的中位数）：先从乙的折线统计图中读取所有10次成绩，从小到大排序后，取第5和第6个数据的平均值就是中位数b；③求c（乙的方差）：已知乙的平均数是7，根据方差公式，计算每个成绩与平均数差值的平方的平均值即可得到c。解决第(2)问时，分别结合平均数、中位数、众数、方差的意义对比甲乙两人的成绩，平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，众数反映出现次数最多的成绩，方差反映成绩稳定性，综合各统计量的含义给出合理的选派建议即可。
【解析】
(1)计算a的值：
甲的射击总次数为$1+2+4+2+1=10$次，
总环数为$5×1 + 6×2 + 7×4 + 8×2 + 9×1=5+12+28+16+9=70$，
因此平均数$a=\frac{70}{10}=7$。
计算b的值：
从乙的折线统计图中读取10次成绩，从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10，
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$b=\frac{7+8}{2}=7.5$。
计算c的值：
已知乙的平均数为7，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
$c=\frac{1}{10}[(3-7)^2+(4-7)^2+(6-7)^2+2×(7-7)^2+3×(8-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}(16+9+1+0+3+4+9)=\frac{42}{10}=4.2$。
(2)成绩分析：
①从平均数看：甲、乙的平均数均为7，说明两人的平均射击水平相同；
②从中位数看：甲的中位数为7，乙的中位数为7.5，说明乙射中7环以上的次数多于甲，乙的中等成绩更好；
③从众数看：甲的众数为7，乙的众数为8，说明乙打出8环的次数最多，甲打出7环的次数最多，乙获得高分的可能性更大；
④从方差看：甲的方差1.2小于乙的方差4.2，说明甲的成绩比乙的成绩更稳定。
综合以上因素，若想争取更好的高分成绩，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大（若更看重成绩稳定性也可选择甲，合理即可）。
【答案】
(1)$a=7,b=7.5,c=4.2$
(2)从平均数看甲、乙二人的成绩相等均为7环;从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙;从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多;从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定;综合以上因素,若选派一名队员参加比赛的话,可选择乙参赛,因为乙获得高分的可能性更大(答案不唯一)
【知识点】
加权平均数的计算，中位数与众数，方差的计算与应用
【点评】
本题结合统计图考查常见统计量的计算及实际应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法，同时能结合统计量的实际意义分析问题，做出合理决策。
【难度系数】
0.7
要解决第(1)问，①求a（甲的平均数）：先从甲的条形统计图中读取各成绩对应的射击次数，用加权平均数公式，总环数除以总次数即可求出a；②求b（乙的中位数）：先从乙的折线统计图中读取所有10次成绩，从小到大排序后，取第5和第6个数据的平均值就是中位数b；③求c（乙的方差）：已知乙的平均数是7，根据方差公式，计算每个成绩与平均数差值的平方的平均值即可得到c。解决第(2)问时，分别结合平均数、中位数、众数、方差的意义对比甲乙两人的成绩，平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，众数反映出现次数最多的成绩，方差反映成绩稳定性，综合各统计量的含义给出合理的选派建议即可。
【解析】
(1)计算a的值：
甲的射击总次数为$1+2+4+2+1=10$次，
总环数为$5×1 + 6×2 + 7×4 + 8×2 + 9×1=5+12+28+16+9=70$，
因此平均数$a=\frac{70}{10}=7$。
计算b的值：
从乙的折线统计图中读取10次成绩，从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10，
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$b=\frac{7+8}{2}=7.5$。
计算c的值：
已知乙的平均数为7，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$：
$c=\frac{1}{10}[(3-7)^2+(4-7)^2+(6-7)^2+2×(7-7)^2+3×(8-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}(16+9+1+0+3+4+9)=\frac{42}{10}=4.2$。
(2)成绩分析：
①从平均数看：甲、乙的平均数均为7，说明两人的平均射击水平相同；
②从中位数看：甲的中位数为7，乙的中位数为7.5，说明乙射中7环以上的次数多于甲，乙的中等成绩更好；
③从众数看：甲的众数为7，乙的众数为8，说明乙打出8环的次数最多，甲打出7环的次数最多，乙获得高分的可能性更大；
④从方差看：甲的方差1.2小于乙的方差4.2，说明甲的成绩比乙的成绩更稳定。
综合以上因素，若想争取更好的高分成绩，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大（若更看重成绩稳定性也可选择甲，合理即可）。
【答案】
(1)$a=7,b=7.5,c=4.2$
(2)从平均数看甲、乙二人的成绩相等均为7环;从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙;从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多;从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定;综合以上因素,若选派一名队员参加比赛的话,可选择乙参赛,因为乙获得高分的可能性更大(答案不唯一)
【知识点】
加权平均数的计算，中位数与众数，方差的计算与应用
【点评】
本题结合统计图考查常见统计量的计算及实际应用，需要熟练掌握各统计量的计算方法，同时能结合统计量的实际意义分析问题，做出合理决策。
【难度系数】
0.7
