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作业(十七) 数据的四分位数和分组
一、选择题
1.某公司员工的月收入情况如下(单位:元):3 500,4 000,4 500,5 000,5 500,6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.该组数据的下四分位数是 （
A.4 500
B.4 550
C.4 750
D.5 000
一、选择题
1.某公司员工的月收入情况如下(单位:元):3 500,4 000,4 500,5 000,5 500,6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.该组数据的下四分位数是 （
C
）A.4 500
B.4 550
C.4 750
D.5 000
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先遵循百分位数的计算逻辑思考：①首先确认数据是否按从小到大排序，本题给出的数据已经有序，无需再排序；②统计数据的总个数n；③根据下四分位数对应25%分位数的定义，计算分位数的位置i = n×25%；④根据i的属性确定最终分位数：若i不是整数，向上取整后对应的数据即为分位数；若i是整数，则分位数为第i个和第i+1个数据的算术平均数。
【解析】
解：首先观察已知数据，已经按从小到大的顺序排列，总共有n=12个数据。
下四分位数即第25百分位数，计算其位置：
$i = 12×25\% = 3$
因为i为整数，所以下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均值。
已知第3个数据是4500元，第4个数据是5000元，因此：
$\mathrm{下四分位数} = (4500 + 5000)÷2 = 4750$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
下四分位数概念；百分位数计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查下四分位数的计算规则，易错点是当分位数位置为整数时，容易直接取第i个数据作为结果，只要牢记分位数的计算步骤，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先遵循百分位数的计算逻辑思考：①首先确认数据是否按从小到大排序，本题给出的数据已经有序，无需再排序；②统计数据的总个数n；③根据下四分位数对应25%分位数的定义，计算分位数的位置i = n×25%；④根据i的属性确定最终分位数：若i不是整数，向上取整后对应的数据即为分位数；若i是整数，则分位数为第i个和第i+1个数据的算术平均数。
【解析】
解：首先观察已知数据，已经按从小到大的顺序排列，总共有n=12个数据。
下四分位数即第25百分位数，计算其位置：
$i = 12×25\% = 3$
因为i为整数，所以下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均值。
已知第3个数据是4500元，第4个数据是5000元，因此：
$\mathrm{下四分位数} = (4500 + 5000)÷2 = 4750$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
下四分位数概念；百分位数计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查下四分位数的计算规则，易错点是当分位数位置为整数时，容易直接取第i个数据作为结果，只要牢记分位数的计算步骤，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
2.某城市在夏季统计了一周内每天的最高气温(单位:℃),下四分位数是28 ℃,上四分位数是32 ℃.若某天的最高气温为30 ℃,则该气温处于 （
A.下四分位数以下
B.下四分位数和上四分位数之间
C.上四分位数以上
D.无法确定
B
）A.下四分位数以下
B.下四分位数和上四分位数之间
C.上四分位数以上
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确四分位数的含义：下四分位数即25%分位数，代表约25%的数据小于等于该数值；上四分位数即75%分位数，代表约75%的数据小于等于该数值。接下来将待判断的气温30℃与下四分位数28℃、上四分位数32℃比较大小，即可确定该气温所处的位置。
【解析】
根据四分位数的定义：
下四分位数为28℃，说明该周约25%的日最高气温不高于28℃；
上四分位数为32℃，说明该周约75%的日最高气温不高于32℃，即约25%的日最高气温不低于32℃。
已知某天最高气温为30℃，满足28℃ ＜ 30℃ ＜ 32℃，因此该气温处于下四分位数和上四分位数之间。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
四分位数的概念；数据位置判定
【点评】
本题考查对四分位数概念的理解与应用，属于统计部分的基础题型，核心是明确不同分位数对应的数值分界，通过简单的大小比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确四分位数的含义：下四分位数即25%分位数，代表约25%的数据小于等于该数值；上四分位数即75%分位数，代表约75%的数据小于等于该数值。接下来将待判断的气温30℃与下四分位数28℃、上四分位数32℃比较大小，即可确定该气温所处的位置。
【解析】
根据四分位数的定义：
下四分位数为28℃，说明该周约25%的日最高气温不高于28℃；
上四分位数为32℃，说明该周约75%的日最高气温不高于32℃，即约25%的日最高气温不低于32℃。
已知某天最高气温为30℃，满足28℃ ＜ 30℃ ＜ 32℃，因此该气温处于下四分位数和上四分位数之间。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
四分位数的概念；数据位置判定
【点评】
本题考查对四分位数概念的理解与应用，属于统计部分的基础题型，核心是明确不同分位数对应的数值分界，通过简单的大小比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3.如图为某城市7月份空气质量指数(AQI)的箱线图(AQI值越小,空气质量越好).则下列说法错误的是
（
A.这个月空气质量指数的最大值为100
B.中位数为80
C.数据在箱体的右侧比较集中
D.第一四分位数为20
（
D
）A.这个月空气质量指数的最大值为100
B.中位数为80
C.数据在箱体的右侧比较集中
D.第一四分位数为20
答案
3.D
解析
【分析】
解题前首先要明确箱线图的各部分含义：箱线图最左侧的端点代表这组数据的最小值，最右侧的端点代表最大值；箱体的左边缘是第一四分位数（下四分位数），箱体的右边缘是第三四分位数（上四分位数），箱体中间的竖线是中位数；箱体某一侧长度越短，说明该区间的数据越集中。我们只需要对应图中的数值逐一判断选项即可。
【解析】
结合图中的AQI数轴，先确定箱线图各部分对应的数值：
1. 最左端点对应数值为20，即最小值是20；最右端点对应数值为100，即最大值是100，因此A选项说法正确。
2. 箱体中间的竖线对应数值为80，即中位数是80，因此B选项说法正确。
3. 箱体左半部分（50~80）长度为30，右半部分（80~90）长度为10，右侧长度更短，说明数据在箱体的右侧更集中，因此C选项说法正确。
4. 箱体的左边缘对应数值为50，即第一四分位数是50，20是这组数据的最小值，因此D选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
箱线图的认识；四分位数；中位数
【点评】
本题考查统计中箱线图的相关知识，核心是记忆箱线图各位置对应的统计量含义，属于基础题型，熟练掌握箱线图结构即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确箱线图的各部分含义：箱线图最左侧的端点代表这组数据的最小值，最右侧的端点代表最大值；箱体的左边缘是第一四分位数（下四分位数），箱体的右边缘是第三四分位数（上四分位数），箱体中间的竖线是中位数；箱体某一侧长度越短，说明该区间的数据越集中。我们只需要对应图中的数值逐一判断选项即可。
【解析】
结合图中的AQI数轴，先确定箱线图各部分对应的数值：
1. 最左端点对应数值为20，即最小值是20；最右端点对应数值为100，即最大值是100，因此A选项说法正确。
2. 箱体中间的竖线对应数值为80，即中位数是80，因此B选项说法正确。
3. 箱体左半部分（50~80）长度为30，右半部分（80~90）长度为10，右侧长度更短，说明数据在箱体的右侧更集中，因此C选项说法正确。
4. 箱体的左边缘对应数值为50，即第一四分位数是50，20是这组数据的最小值，因此D选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
箱线图的认识；四分位数；中位数
【点评】
本题考查统计中箱线图的相关知识，核心是记忆箱线图各位置对应的统计量含义，属于基础题型，熟练掌握箱线图结构即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，号召七、八、九年级的100名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的直方图.估计这100名同学测试成绩的上四分位数可能是 （
A.79分
B.82.5分
C.96分
D.92分
B
）A.79分
B.82.5分
C.96分
D.92分
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确上四分位数也就是第75百分位数，对于100个样本数据，上四分位数对应第75个数据的位置。解题时先统计各组频数、计算累计频数，确定第75个数据所在的分数区间，再结合组距和组内的位置估算出上四分位数的数值即可。
【解析】
首先统计各组测试人数，计算累计人数：
1. 成绩在50~60分的有10人，累计共10人；
2. 成绩在60~70分的有25人，累计共$10+25=35$人；
3. 成绩在70~80分的有35人，累计共$35+35=70$人；
4. 成绩在80~90分的有20人，累计共$70+20=90$人；
5. 成绩在90~100分的有10人，累计共$90+10=100$人。
上四分位数为第75百分位数，对应位置为$100×75\%=75$，即第75个数据。
由累计人数可知，前3个分数段累计共70人，因此第75个数据在80~90分这个区间内，是该区间内的第$75-70=5$个数据。
该区间组距为$90-80=10$，区间内共20个数据，因此估算上四分位数为：
$80+\frac{5}{20}×10=82.5$（分）
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图、百分位数（四分位数）
【点评】
本题结合频数分布直方图考查四分位数的估算，核心是先通过累计频数确定百分位数所在的分组，再结合组距计算近似值，是统计知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
首先明确上四分位数也就是第75百分位数，对于100个样本数据，上四分位数对应第75个数据的位置。解题时先统计各组频数、计算累计频数，确定第75个数据所在的分数区间，再结合组距和组内的位置估算出上四分位数的数值即可。
【解析】
首先统计各组测试人数，计算累计人数：
1. 成绩在50~60分的有10人，累计共10人；
2. 成绩在60~70分的有25人，累计共$10+25=35$人；
3. 成绩在70~80分的有35人，累计共$35+35=70$人；
4. 成绩在80~90分的有20人，累计共$70+20=90$人；
5. 成绩在90~100分的有10人，累计共$90+10=100$人。
上四分位数为第75百分位数，对应位置为$100×75\%=75$，即第75个数据。
由累计人数可知，前3个分数段累计共70人，因此第75个数据在80~90分这个区间内，是该区间内的第$75-70=5$个数据。
该区间组距为$90-80=10$，区间内共20个数据，因此估算上四分位数为：
$80+\frac{5}{20}×10=82.5$（分）
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图、百分位数（四分位数）
【点评】
本题结合频数分布直方图考查四分位数的估算，核心是先通过累计频数确定百分位数所在的分组，再结合组距计算近似值，是统计知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
5.有一组被墨水污染的数据:4,17,7,14,★,●,■,16,10,4,4,11,其箱线图如图所示,则下列说法不正确的是 （
A.这组数据的下四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的上四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中,一个数是 3,一个数是 18
B
）A.这组数据的下四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的上四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中,一个数是 3,一个数是 18
答案
5.B
解析
【分析】
解题前先明确箱线图对应5个统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。首先统计数据总个数为12，再依据四分位数的计算规则：n个数据的分位数位置为n×对应百分比，若结果为整数，分位数取该位置和下一个位置数据的平均数。先将未被污染的数据排序，结合箱线图标注的刻度确定各统计量的数值，再逐一判断选项即可。
【解析】
这组数据共有12个，先将已知未被污染的数据从小到大排序：4,4,4,7,10,11,14,16,17。
根据箱线图标注的刻度可知：这组数据的最小值为3，最大值为18，因此3个被污染的数据中一定包含3和18，故D选项说法正确，不符合题意。
将加入3、18后的11个数据排序：3,4,4,4,7,10,11,14,16,17,18，设剩余1个被污染数据为x，对12个排序后的数据进行分析：
1. 下四分位数：$12×25\%=3$，即下四分位数为第3个和第4个数据的平均数，观察排序可知前4个数据固定为3,4,4,4，因此下四分位数$=\frac{4+4}{2}=4$，A选项说法正确，不符合题意。
2. 中位数：$12×50\%=6$，即中位数为第6个和第7个数据的平均数，结合箱线图可知中位数为10.5，验证：第6个为10、第7个为11时，平均数$=\frac{10+11}{2}=10.5$，符合要求，因此中位数为10.5，不是10，故B选项说法错误，符合题意。
3. 上四分位数：$12×75\%=9$，即上四分位数为第9个和第10个数据的平均数，排序后第9、10个数据为14和16，平均数$=\frac{14+16}{2}=15$，C选项说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识，四分位数计算，中位数计算
【点评】
本题重点考查箱线图的识别和分位数的计算，解题的核心是掌握箱线图对应5个特征数的含义，结合数据个数确定分位数的计算位置，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
解题前先明确箱线图对应5个统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。首先统计数据总个数为12，再依据四分位数的计算规则：n个数据的分位数位置为n×对应百分比，若结果为整数，分位数取该位置和下一个位置数据的平均数。先将未被污染的数据排序，结合箱线图标注的刻度确定各统计量的数值，再逐一判断选项即可。
【解析】
这组数据共有12个，先将已知未被污染的数据从小到大排序：4,4,4,7,10,11,14,16,17。
根据箱线图标注的刻度可知：这组数据的最小值为3，最大值为18，因此3个被污染的数据中一定包含3和18，故D选项说法正确，不符合题意。
将加入3、18后的11个数据排序：3,4,4,4,7,10,11,14,16,17,18，设剩余1个被污染数据为x，对12个排序后的数据进行分析：
1. 下四分位数：$12×25\%=3$，即下四分位数为第3个和第4个数据的平均数，观察排序可知前4个数据固定为3,4,4,4，因此下四分位数$=\frac{4+4}{2}=4$，A选项说法正确，不符合题意。
2. 中位数：$12×50\%=6$，即中位数为第6个和第7个数据的平均数，结合箱线图可知中位数为10.5，验证：第6个为10、第7个为11时，平均数$=\frac{10+11}{2}=10.5$，符合要求，因此中位数为10.5，不是10，故B选项说法错误，符合题意。
3. 上四分位数：$12×75\%=9$，即上四分位数为第9个和第10个数据的平均数，排序后第9、10个数据为14和16，平均数$=\frac{14+16}{2}=15$，C选项说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识，四分位数计算，中位数计算
【点评】
本题重点考查箱线图的识别和分位数的计算，解题的核心是掌握箱线图对应5个特征数的含义，结合数据个数确定分位数的计算位置，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
6.如图所示是甲、乙两位同学射击成绩的箱线图,下面说法正确的是
（
A.甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差
B.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
C.甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
（
A
）A.甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差
B.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
C.甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
答案
6.A
解析
【分析】
首先明确箱线图的各部分含义：箱线图中，箱体中间的横线代表数据的中位数，箱体上下边缘分别是上四分位数和下四分位数，箱体向外延伸的竖线端点分别是最大值和最小值。解题时先从图中提取甲、乙两人射击成绩的相关统计量，再逐个判断选项是否正确：①方差反映数据波动程度，数据越离散方差越大；②中位数直接看箱体中间的线即可比较；③平均数可结合数据的整体分布判断大小；④众数是出现次数最多的数，箱线图无法体现众数。
【解析】
首先从箱线图提取信息：
甲的射击成绩：最小值3，下四分位数5，中位数7，上四分位数8.25，最大值10；
乙的射击成绩：最小值5，下四分位数7.25，中位数9，上四分位数10，最大值10。
逐一分析选项：
A. 方差反映数据的波动大小，甲的成绩极差为$10-3=7$，乙的成绩极差为$10-5=5$，且甲的成绩整体分布更分散、波动更大，因此甲射击成绩的方差一定大于乙的方差，该选项正确；
B. 甲的中位数是7，乙的中位数是9，甲的中位数小于乙的中位数，该选项错误；
C. 甲的成绩多集中在5~8.25区间，还有极小值3拉低平均，乙的成绩多集中在7.25~10区间，因此乙的平均数更大，该选项错误；
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，箱线图无法反映数据的众数，无法比较二者众数大小，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的认识；统计量的意义；方差的特征
【点评】
本题主要考查箱线图的识别和常见统计量的含义，解题关键是能从箱线图中准确提取数据的分布特征，结合各统计量的性质逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
首先明确箱线图的各部分含义：箱线图中，箱体中间的横线代表数据的中位数，箱体上下边缘分别是上四分位数和下四分位数，箱体向外延伸的竖线端点分别是最大值和最小值。解题时先从图中提取甲、乙两人射击成绩的相关统计量，再逐个判断选项是否正确：①方差反映数据波动程度，数据越离散方差越大；②中位数直接看箱体中间的线即可比较；③平均数可结合数据的整体分布判断大小；④众数是出现次数最多的数，箱线图无法体现众数。
【解析】
首先从箱线图提取信息：
甲的射击成绩：最小值3，下四分位数5，中位数7，上四分位数8.25，最大值10；
乙的射击成绩：最小值5，下四分位数7.25，中位数9，上四分位数10，最大值10。
逐一分析选项：
A. 方差反映数据的波动大小，甲的成绩极差为$10-3=7$，乙的成绩极差为$10-5=5$，且甲的成绩整体分布更分散、波动更大，因此甲射击成绩的方差一定大于乙的方差，该选项正确；
B. 甲的中位数是7，乙的中位数是9，甲的中位数小于乙的中位数，该选项错误；
C. 甲的成绩多集中在5~8.25区间，还有极小值3拉低平均，乙的成绩多集中在7.25~10区间，因此乙的平均数更大，该选项错误；
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，箱线图无法反映数据的众数，无法比较二者众数大小，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的认识；统计量的意义；方差的特征
【点评】
本题主要考查箱线图的识别和常见统计量的含义，解题关键是能从箱线图中准确提取数据的分布特征，结合各统计量的性质逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
