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7.下图为某地区某年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图，AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重，则下列说法正确的是 （
A.5月该地区AQI的最大值为150
B.6月该地区AQI的中位数与5月份该地区AQI的中位数相同
C.5月该地区AQI的下四分位数为80
D.6月该地区AQI的最小值小于5月该地区AQI的最小值
B
）A.5月该地区AQI的最大值为150
B.6月该地区AQI的中位数与5月份该地区AQI的中位数相同
C.5月该地区AQI的下四分位数为80
D.6月该地区AQI的最小值小于5月该地区AQI的最小值
答案
7.B
解析
【分析】
首先明确箱线图的结构：箱线图从上到下的五条线依次对应一组数据的最大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值。解题时我们先分别识别5月、6月箱线图各部分对应的AQI数值，再逐一核对四个选项的正误即可。
【解析】
结合箱线图的含义逐一分析选项：
A. 5月AQI的最大值对应5月最上方的短线，读数约为120，不是150，该选项错误；
B. 中位数对应箱形内部的横向中线，观察可知5月和6月箱形的中线高度完全一致，说明两个月AQI的中位数相同，该选项正确；
C. 下四分位数对应箱形的下边缘，5月AQI的下四分位数约为50，不是80，该选项错误；
D. 最小值对应箱线图最下方的短线，观察可知5月的最小值低于6月的最小值，即6月的最小值更大，该选项错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；中位数；四分位数
【点评】
本题重点考查统计图表中箱线图的识别，只要掌握箱线图各部分对应的数据特征，就能快速判断选项，属于统计板块的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先明确箱线图的结构：箱线图从上到下的五条线依次对应一组数据的最大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值。解题时我们先分别识别5月、6月箱线图各部分对应的AQI数值，再逐一核对四个选项的正误即可。
【解析】
结合箱线图的含义逐一分析选项：
A. 5月AQI的最大值对应5月最上方的短线，读数约为120，不是150，该选项错误；
B. 中位数对应箱形内部的横向中线，观察可知5月和6月箱形的中线高度完全一致，说明两个月AQI的中位数相同，该选项正确；
C. 下四分位数对应箱形的下边缘，5月AQI的下四分位数约为50，不是80，该选项错误；
D. 最小值对应箱线图最下方的短线，观察可知5月的最小值低于6月的最小值，即6月的最小值更大，该选项错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；中位数；四分位数
【点评】
本题重点考查统计图表中箱线图的识别，只要掌握箱线图各部分对应的数据特征，就能快速判断选项，属于统计板块的基础题型。
【难度系数】
0.7
8.把数据12,24,20,18,30按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.{12}和{18,20,24,30}
B.{12,18}和{20,24,30}
C.{12,18,20}和{24,30}
D.{12,18,20,24}和{30}
A
）A.{12}和{18,20,24,30}
B.{12,18}和{20,24,30}
C.{12,18,20}和{24,30}
D.{12,18,20,24}和{30}
答案
我们先将原始数据按大小排序为：12, 18, 20, 24, 30，分别计算四个选项的组内离差平方和：
- 选项A：第一组{12}的离差平方和为$0$；第二组均值为$\frac{18+20+24+30}{4}=23$，离差平方和为$(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=84$，总和为$84$。
- 选项B：第一组{12,18}均值为$15$，离差平方和为$(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组{20,24,30}均值为$\frac{20+24+30}{3}=\frac{74}{3}$，离差平方和为$(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{248}{3}\approx82.67$，总和约为$100.67$。
- 选项C：第一组{12,18,20}均值为$\frac{12+18+20}{3}=\frac{50}{3}$，离差平方和为$(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{104}{3}\approx34.67$；第二组{24,30}均值为$27$，离差平方和为$(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总和约为$52.67$。
- 选项D：第一组{12,18,20,24}均值为$18.5$，离差平方和为$(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=79$；第二组{30}的离差平方和为$0$，总和为$79$。
对比可知选项C的组内离差平方和最小。
答案：C
- 选项A：第一组{12}的离差平方和为$0$；第二组均值为$\frac{18+20+24+30}{4}=23$，离差平方和为$(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=84$，总和为$84$。
- 选项B：第一组{12,18}均值为$15$，离差平方和为$(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组{20,24,30}均值为$\frac{20+24+30}{3}=\frac{74}{3}$，离差平方和为$(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{248}{3}\approx82.67$，总和约为$100.67$。
- 选项C：第一组{12,18,20}均值为$\frac{12+18+20}{3}=\frac{50}{3}$，离差平方和为$(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{104}{3}\approx34.67$；第二组{24,30}均值为$27$，离差平方和为$(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总和约为$52.67$。
- 选项D：第一组{12,18,20,24}均值为$18.5$，离差平方和为$(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=79$；第二组{30}的离差平方和为$0$，总和为$79$。
对比可知选项C的组内离差平方和最小。
答案：C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，先将给定数据按从小到大的顺序排列，题目要求按大小顺序分组，因此各组数据都是排序后的连续段。其次，明确组内离差平方和的计算规则：先求出每组的平均数，再计算组内每个数据与组平均数的差的平方之和，即为该组的离差平方和。最后，分别计算四个选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组就是符合要求的答案。
【解析】
第一步：先将原始数据从小到大排序得：12，18，20，24，30。
第二步：分别计算各选项的组内离差平方和总和：
选项A：第一组{12}的离差平方和为0；第二组均值为$\frac{18+20+24+30}{4}=23$，离差平方和为$(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=84$，总离差平方和为$0+84=84$。
选项B：第一组{12,18}均值为$15$，离差平方和为$(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组{20,24,30}均值为$\frac{20+24+30}{3}=\frac{74}{3}$，离差平方和为$(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{248}{3}\approx82.67$，总离差平方和约为$18+82.67=100.67$。
选项C：第一组{12,18,20}均值为$\frac{12+18+20}{3}=\frac{50}{3}$，离差平方和为$(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{104}{3}\approx34.67$；第二组{24,30}均值为$27$，离差平方和为$(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总离差平方和约为$34.67+18=52.67$。
选项D：第一组{12,18,20,24}均值为$18.5$，离差平方和为$(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=79$；第二组{30}的离差平方和为0，总离差平方和为$79+0=79$。
对比可知选项C的组内离差平方和最小。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、统计分组
【点评】
本题考查统计中离差平方和的相关计算，解题核心是掌握离差平方和的计算方法，通过逐一计算各选项的总离差平方和比较大小即可得出结果，计算时需注意细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，先将给定数据按从小到大的顺序排列，题目要求按大小顺序分组，因此各组数据都是排序后的连续段。其次，明确组内离差平方和的计算规则：先求出每组的平均数，再计算组内每个数据与组平均数的差的平方之和，即为该组的离差平方和。最后，分别计算四个选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组就是符合要求的答案。
【解析】
第一步：先将原始数据从小到大排序得：12，18，20，24，30。
第二步：分别计算各选项的组内离差平方和总和：
选项A：第一组{12}的离差平方和为0；第二组均值为$\frac{18+20+24+30}{4}=23$，离差平方和为$(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=84$，总离差平方和为$0+84=84$。
选项B：第一组{12,18}均值为$15$，离差平方和为$(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组{20,24,30}均值为$\frac{20+24+30}{3}=\frac{74}{3}$，离差平方和为$(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{248}{3}\approx82.67$，总离差平方和约为$18+82.67=100.67$。
选项C：第一组{12,18,20}均值为$\frac{12+18+20}{3}=\frac{50}{3}$，离差平方和为$(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{104}{3}\approx34.67$；第二组{24,30}均值为$27$，离差平方和为$(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总离差平方和约为$34.67+18=52.67$。
选项D：第一组{12,18,20,24}均值为$18.5$，离差平方和为$(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=79$；第二组{30}的离差平方和为0，总离差平方和为$79+0=79$。
对比可知选项C的组内离差平方和最小。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、统计分组
【点评】
本题考查统计中离差平方和的相关计算，解题核心是掌握离差平方和的计算方法，通过逐一计算各选项的总离差平方和比较大小即可得出结果，计算时需注意细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.6
9.如图,这是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图,从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是________（填“甲地”或“乙地”）.
答案
9.甲地
解析
【分析】
要判断哪地的日平均气温方差更大，首先明确方差的意义：方差反映一组数据的波动大小，波动越大，方差越大。其次箱线图可以直观体现数据的离散程度：数据的取值范围越大、分布越分散，说明波动越大。接下来对比甲乙两地的箱线图，观察两地气温的分布范围即可判断波动大小，进而得到方差大小关系。
【解析】
1. 方差的性质：方差是衡量数据波动程度的统计量，一组数据的波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
2. 观察箱线图可得：甲地日平均气温的最小值更低、最大值更高，整体气温的取值范围比乙地大，说明甲地的日平均气温波动更大。
3. 因此甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
1. 方差的意义
2. 箱线图的识别
3. 数据离散程度判断
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的相关性质，解题的核心是明确方差与数据波动的关系，能从箱线图中提取数据离散程度的信息，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
要判断哪地的日平均气温方差更大，首先明确方差的意义：方差反映一组数据的波动大小，波动越大，方差越大。其次箱线图可以直观体现数据的离散程度：数据的取值范围越大、分布越分散，说明波动越大。接下来对比甲乙两地的箱线图，观察两地气温的分布范围即可判断波动大小，进而得到方差大小关系。
【解析】
1. 方差的性质：方差是衡量数据波动程度的统计量，一组数据的波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
2. 观察箱线图可得：甲地日平均气温的最小值更低、最大值更高，整体气温的取值范围比乙地大，说明甲地的日平均气温波动更大。
3. 因此甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
1. 方差的意义
2. 箱线图的识别
3. 数据离散程度判断
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的相关性质，解题的核心是明确方差与数据波动的关系，能从箱线图中提取数据离散程度的信息，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
10.某手机评测机构有一项手机续航能力研究，现针对市场上某新款手机，正在进行续航能力测试.研究人员对使用这款手机的用户进行了跟踪观察，经过用户一段时间的使用后，记录下用户的手机续航时间，并绘制成如图所示的箱线图，则这款手机续航时间的上四分位数是________，下四分位数是________，最大值是________，最小值是________.
答案
10.10.875 h 8.625 h 13 h 7 h
解析
【分析】
解决本题首先要明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图中最下方的竖线端点对应数据的最小值，最上方的竖线端点对应数据的最大值；中间矩形箱体的下边缘对应下四分位数（第25百分位数），箱体的上边缘对应上四分位数（第75百分位数），我们只需对应读取图中标注的数值即可得到结果。
【解析】
根据箱线图的统计意义：
1. 最上方横线的端点标注数值为13，因此最大值是13 h；
2. 最下方横线的端点标注数值为7，因此最小值是7 h；
3. 箱体的上边缘标注数值为10.875，因此上四分位数是10.875 h；
4. 箱体的下边缘标注数值为8.625，因此下四分位数是8.625 h。
【答案】
10.875 h；8.625 h；13 h；7 h
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念；统计量读取
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对箱线图结构及对应统计量的掌握，只要熟记箱线图各部分代表的含义，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图中最下方的竖线端点对应数据的最小值，最上方的竖线端点对应数据的最大值；中间矩形箱体的下边缘对应下四分位数（第25百分位数），箱体的上边缘对应上四分位数（第75百分位数），我们只需对应读取图中标注的数值即可得到结果。
【解析】
根据箱线图的统计意义：
1. 最上方横线的端点标注数值为13，因此最大值是13 h；
2. 最下方横线的端点标注数值为7，因此最小值是7 h；
3. 箱体的上边缘标注数值为10.875，因此上四分位数是10.875 h；
4. 箱体的下边缘标注数值为8.625，因此下四分位数是8.625 h。
【答案】
10.875 h；8.625 h；13 h；7 h
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念；统计量读取
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对箱线图结构及对应统计量的掌握，只要熟记箱线图各部分代表的含义，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
三、解答题
11.在某次数学测试中,4名同学的成绩分别为70,68,75,82.根据组内离差平方和最小原则,把这4名同学的成绩分为两组.
解:将4个数据由小到大排序后分成两组,所有情况如下表所示(请将表格补充完整,结果精确到0.01):
上表中的计算结果表明,第
11.在某次数学测试中,4名同学的成绩分别为70,68,75,82.根据组内离差平方和最小原则,把这4名同学的成绩分为两组.
解:将4个数据由小到大排序后分成两组,所有情况如下表所示(请将表格补充完整,结果精确到0.01):
上表中的计算结果表明,第
2
种情况的组内离差平方和最小,因此把这4名同学的成绩分为两组是$\{\_\_\_\_\_\_\}$和$\{\_\_\_\_\_\_\}$.答案
11.0 72.67 72.67 2 24.5 26.5 26 0 26 3 68,70 75,82
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的计算逻辑：先计算每组数据的平均数，再求每个数据和本组平均数的差的平方和，得到单组的离差平方和，两组的离差平方和相加就是该分组的总组内离差平方和。我们依次计算三种分组对应的数值，再比较总组内离差平方和的大小，最小的对应最优分组。
【解析】
我们分三种情况计算：
1. 第一种分组$\{68\},\{70,75,82\}$：
第一组平均数是68，离差平方和为$(68-68)^2=0$；
第二组平均数为$\frac{70+75+82}{3}\approx75.67$，离差平方和为$(70-75.67)^2+(75-75.67)^2+(82-75.67)^2\approx72.67$；
总组内离差平方和为$0+72.67=72.67$。
2. 第二种分组$\{68,70\},\{75,82\}$：
第一组平均数为$\frac{68+70}{2}=69$，离差平方和为$(68-69)^2+(70-69)^2=2$；
第二组平均数为$\frac{75+82}{2}=78.5$，离差平方和为$(75-78.5)^2+(82-78.5)^2=24.5$；
总组内离差平方和为$2+24.5=26.5$。
3. 第三种分组$\{68,70,75\},\{82\}$：
第一组平均数为$\frac{68+70+75}{3}=71$，离差平方和为$(68-71)^2+(70-71)^2+(75-71)^2=26$；
第二组平均数是82，离差平方和为$(82-82)^2=0$；
总组内离差平方和为$26+0=26$。
对比三个总组内离差平方和，按要求选取对应分组即可。
【答案】
表格第一行依次填：$0$，$72.67$，$72.67$；
表格第二行依次填：$2$，$24.5$，$26.5$；
表格第三行依次填：$26$，$0$，$26$；
第$\boldsymbol{3}$种情况的组内离差平方和最小，因此分组是$\{68,70\}$和$\{75,82\}$。
【知识点】
离差平方和计算，统计分组
【点评】
本题考查离差平方和的计算与分组优化，需要熟练掌握平均数计算、离差平方求和的步骤，通过数值比较确定最优分组，是统计知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确组内离差平方和的计算逻辑：先计算每组数据的平均数，再求每个数据和本组平均数的差的平方和，得到单组的离差平方和，两组的离差平方和相加就是该分组的总组内离差平方和。我们依次计算三种分组对应的数值，再比较总组内离差平方和的大小，最小的对应最优分组。
【解析】
我们分三种情况计算：
1. 第一种分组$\{68\},\{70,75,82\}$：
第一组平均数是68，离差平方和为$(68-68)^2=0$；
第二组平均数为$\frac{70+75+82}{3}\approx75.67$，离差平方和为$(70-75.67)^2+(75-75.67)^2+(82-75.67)^2\approx72.67$；
总组内离差平方和为$0+72.67=72.67$。
2. 第二种分组$\{68,70\},\{75,82\}$：
第一组平均数为$\frac{68+70}{2}=69$，离差平方和为$(68-69)^2+(70-69)^2=2$；
第二组平均数为$\frac{75+82}{2}=78.5$，离差平方和为$(75-78.5)^2+(82-78.5)^2=24.5$；
总组内离差平方和为$2+24.5=26.5$。
3. 第三种分组$\{68,70,75\},\{82\}$：
第一组平均数为$\frac{68+70+75}{3}=71$，离差平方和为$(68-71)^2+(70-71)^2+(75-71)^2=26$；
第二组平均数是82，离差平方和为$(82-82)^2=0$；
总组内离差平方和为$26+0=26$。
对比三个总组内离差平方和，按要求选取对应分组即可。
【答案】
表格第一行依次填：$0$，$72.67$，$72.67$；
表格第二行依次填：$2$，$24.5$，$26.5$；
表格第三行依次填：$26$，$0$，$26$；
第$\boldsymbol{3}$种情况的组内离差平方和最小，因此分组是$\{68,70\}$和$\{75,82\}$。
【知识点】
离差平方和计算，统计分组
【点评】
本题考查离差平方和的计算与分组优化，需要熟练掌握平均数计算、离差平方求和的步骤，通过数值比较确定最优分组，是统计知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
