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12.在某医院的一项药物疗效研究中，针对一种常见疾病，有一种新型药物正在进行临床试验.研究人员对使用这种药物的患者进行了跟踪观察，经过一段时间的治疗后，记录下患者的治愈情况，并绘制成如图所示的统计图.
(1)“下半截箱子”比较长，说明
(2)请估计本次临床试验中，该药物治愈情况的中位数
(1)“下半截箱子”比较长，说明
69～74.25部分的数据比较集中
61.25～69部分的数据比较分散
；(2)请估计本次临床试验中，该药物治愈情况的中位数
＞
平均数(填“＞”或“＜”).答案
12.(1)69～74.25部分的数据比较集中,61.25～69部分的数据比较分散 (2)＞
解析
【分析】
解题先明确箱线图各部分的含义：箱线图中，箱子中间的横线是数据的中位数，箱子下边缘是下四分位数（代表有25%的数据小于等于这个值），箱子上边缘是上四分位数（代表有75%的数据小于等于这个值），箱子上下延伸的竖线端点分别是数据的最小值和最大值。
(1) 箱子被中位数分成上下两部分，每部分对应25%的数据，区间长度越长，说明这部分25%的数据分布越分散，区间越短说明越集中。
(2) 比较中位数和平均数的大小，可根据数据分布判断：如果偏小的数据更分散，会拉低整体平均数，导致平均数小于中位数；如果偏大的数据更分散，会拉高平均数，导致平均数大于中位数。
【解析】
(1) 观察箱线图可得：中位数是69，上四分位数是74.25，下四分位数是61.25，下半截箱子对应61.25~69的区间，上半截箱子对应69~74.25的区间，两个区间都包含25%的治愈数据。下半截更长，说明61.25~69部分的数据比较分散，对应的69~74.25部分的数据比较集中。
(2) 观察整体数据分布：小于中位数69的区间范围是50~69，跨度19，大于中位数69的区间范围是69~80，跨度11，偏低的治愈数据分布更分散，极小值50会拉低整体的平均数，因此平均数小于中位数。
【答案】
(1) 69～74.25部分的数据比较集中，61.25～69部分的数据比较分散
(2) ＞
【知识点】
箱线图的认识、中位数、平均数
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的读取与应用，需要掌握箱线图各标识对应的统计意义，能结合数据分布特点比较中位数和平均数的大小，是统计部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题先明确箱线图各部分的含义：箱线图中，箱子中间的横线是数据的中位数，箱子下边缘是下四分位数（代表有25%的数据小于等于这个值），箱子上边缘是上四分位数（代表有75%的数据小于等于这个值），箱子上下延伸的竖线端点分别是数据的最小值和最大值。
(1) 箱子被中位数分成上下两部分，每部分对应25%的数据，区间长度越长，说明这部分25%的数据分布越分散，区间越短说明越集中。
(2) 比较中位数和平均数的大小，可根据数据分布判断：如果偏小的数据更分散，会拉低整体平均数，导致平均数小于中位数；如果偏大的数据更分散，会拉高平均数，导致平均数大于中位数。
【解析】
(1) 观察箱线图可得：中位数是69，上四分位数是74.25，下四分位数是61.25，下半截箱子对应61.25~69的区间，上半截箱子对应69~74.25的区间，两个区间都包含25%的治愈数据。下半截更长，说明61.25~69部分的数据比较分散，对应的69~74.25部分的数据比较集中。
(2) 观察整体数据分布：小于中位数69的区间范围是50~69，跨度19，大于中位数69的区间范围是69~80，跨度11，偏低的治愈数据分布更分散，极小值50会拉低整体的平均数，因此平均数小于中位数。
【答案】
(1) 69～74.25部分的数据比较集中，61.25～69部分的数据比较分散
(2) ＞
【知识点】
箱线图的认识、中位数、平均数
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的读取与应用，需要掌握箱线图各标识对应的统计意义，能结合数据分布特点比较中位数和平均数的大小，是统计部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
13.某市5家公司去年的产值如下表所示.
根据年产值的组内离差平方和最小的原则,把这5家公司分成两组.
根据年产值的组内离差平方和最小的原则,把这5家公司分成两组.
答案
13.将数据按从小到大排列,可得2 4 8 10 12,将它们分成两组共有4种情况,分别计算组内离差平方和,如表所示.
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 22.5 | 22.5 |
| 第2个间隔 | 2 | 8 | 10 |
| 第3个间隔 | $\frac{56}{3}$ | 2 | $\frac{62}{3}$ |
| 第4个间隔 | 40 | 0 | 40 |
观察最后一列组内离差平方和可以发现,当按第2个间隔分组时,组内离差平方和最小.因此,按组内离差平方和最小的分法为{2,4}和{8,10,12}
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 22.5 | 22.5 |
| 第2个间隔 | 2 | 8 | 10 |
| 第3个间隔 | $\frac{56}{3}$ | 2 | $\frac{62}{3}$ |
| 第4个间隔 | 40 | 0 | 40 |
观察最后一列组内离差平方和可以发现,当按第2个间隔分组时,组内离差平方和最小.因此,按组内离差平方和最小的分法为{2,4}和{8,10,12}
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先对产值数据从小到大排序，要让组内离差平方和最小，分组需在有序数据的相邻间隔处切分，避免组内数据差距过大；2. 5个有序数据分成两组共有4种切分方式，需全部枚举；3. 对每种分组，分别计算两组的离差平方和（组内每个数与组平均数的差的平方之和，反映组内数据离散程度），再求和得到总组内离差平方和；4. 比较4种情况的总离差平方和，最小的对应分组即为所求。
【解析】
第一步：将5家公司的产值从小到大排序，得：2，4，8，10，12。
5个数据分为非空两组共4种切分方式，按离差平方和公式$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$（$\overline{x}$为组平均数）分别计算总组内离差平方和：
1. 在2和4之间切分：第一组{2}，第二组{4,8,10,12}
第一组离差平方和为0，第二组离差平方和为22.5，总离差平方和为$0+22.5=22.5$
2. 在4和8之间切分：第一组{2,4}，第二组{8,10,12}
第一组平均数为3，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；第二组平均数为10，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，总离差平方和为$2+8=10$
3. 在8和10之间切分：第一组{2,4,8}，第二组{10,12}
第一组离差平方和为$\frac{56}{3}$，第二组离差平方和为2，总离差平方和为$\frac{56}{3}+2=\frac{62}{3}$
4. 在10和12之间切分：第一组{2,4,8,10}，第二组{12}
第一组离差平方和为40，第二组离差平方和为0，总离差平方和为$40+0=40$
对比得总离差平方和最小的是第二种切分方式。
【答案】
产值为2亿元、4亿元的公司为一组，产值为8亿元、10亿元、12亿元的公司为一组（或$\{A,D\}$和$\{B,C,E\}$，或$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$）
【知识点】
数据排序，离差平方和计算，最优分组
【点评】
本题考察离差平方和的实际运用，通过有序枚举分组、计算比较的方式得到最优解，解题时先排序可减少无效计算，同时要注意平均数、平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先对产值数据从小到大排序，要让组内离差平方和最小，分组需在有序数据的相邻间隔处切分，避免组内数据差距过大；2. 5个有序数据分成两组共有4种切分方式，需全部枚举；3. 对每种分组，分别计算两组的离差平方和（组内每个数与组平均数的差的平方之和，反映组内数据离散程度），再求和得到总组内离差平方和；4. 比较4种情况的总离差平方和，最小的对应分组即为所求。
【解析】
第一步：将5家公司的产值从小到大排序，得：2，4，8，10，12。
5个数据分为非空两组共4种切分方式，按离差平方和公式$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$（$\overline{x}$为组平均数）分别计算总组内离差平方和：
1. 在2和4之间切分：第一组{2}，第二组{4,8,10,12}
第一组离差平方和为0，第二组离差平方和为22.5，总离差平方和为$0+22.5=22.5$
2. 在4和8之间切分：第一组{2,4}，第二组{8,10,12}
第一组平均数为3，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；第二组平均数为10，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，总离差平方和为$2+8=10$
3. 在8和10之间切分：第一组{2,4,8}，第二组{10,12}
第一组离差平方和为$\frac{56}{3}$，第二组离差平方和为2，总离差平方和为$\frac{56}{3}+2=\frac{62}{3}$
4. 在10和12之间切分：第一组{2,4,8,10}，第二组{12}
第一组离差平方和为40，第二组离差平方和为0，总离差平方和为$40+0=40$
对比得总离差平方和最小的是第二种切分方式。
【答案】
产值为2亿元、4亿元的公司为一组，产值为8亿元、10亿元、12亿元的公司为一组（或$\{A,D\}$和$\{B,C,E\}$，或$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$）
【知识点】
数据排序，离差平方和计算，最优分组
【点评】
本题考察离差平方和的实际运用，通过有序枚举分组、计算比较的方式得到最优解，解题时先排序可减少无效计算，同时要注意平均数、平方运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
