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1 一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成，现由甲先做2天，乙再加入一起做。
设完成这项工程共需x天，则根据题意，可列方程为 （
A.$\frac{x}{20}+\frac{x}{12}=1$
B.$\frac{x+2}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
C.$\frac{x}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
D.$\frac{2}{12}+\frac{x-2}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
设完成这项工程共需x天，则根据题意，可列方程为 （
C
）A.$\frac{x}{20}+\frac{x}{12}=1$
B.$\frac{x+2}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
C.$\frac{x}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
D.$\frac{2}{12}+\frac{x-2}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
答案
1. C
解析
【分析】
解决这道工程类列方程题，首先要明确工程问题的基本等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。接下来分别确定甲、乙的工作时间：题目说完成工程共需x天，甲从开始到结束全程参与，因此甲的工作时间是x天；甲先做2天乙才加入，说明乙少做2天，乙的工作时间是(x-2)天。最后根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”就能列出方程，对应正确选项。
【解析】
第一步：设总工作量为单位“1”，计算甲、乙的工作效率：
甲单独做20天完成，效率为$\frac{1}{20}$；乙单独做12天完成，效率为$\frac{1}{12}$。
第二步：确定两人的工作时长：
完成工程总时长为x天，甲全程参与，工作时长为x天；乙比甲晚2天加入，工作时长为$(x-2)$天。
第三步：根据总工作量为1列方程：
甲的工作量为$\frac{x}{20}$，乙的工作量为$\frac{x-2}{12}$，因此可列方程：
$\frac{x}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题 2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是准确梳理每个工作主体的工作效率、工作时间，牢记“工作量=工作效率×工作时间”“总工作量为1”的基本规则，即可快速梳理等量关系列出方程。
【难度系数】
0.8
解决这道工程类列方程题，首先要明确工程问题的基本等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。接下来分别确定甲、乙的工作时间：题目说完成工程共需x天，甲从开始到结束全程参与，因此甲的工作时间是x天；甲先做2天乙才加入，说明乙少做2天，乙的工作时间是(x-2)天。最后根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”就能列出方程，对应正确选项。
【解析】
第一步：设总工作量为单位“1”，计算甲、乙的工作效率：
甲单独做20天完成，效率为$\frac{1}{20}$；乙单独做12天完成，效率为$\frac{1}{12}$。
第二步：确定两人的工作时长：
完成工程总时长为x天，甲全程参与，工作时长为x天；乙比甲晚2天加入，工作时长为$(x-2)$天。
第三步：根据总工作量为1列方程：
甲的工作量为$\frac{x}{20}$，乙的工作量为$\frac{x-2}{12}$，因此可列方程：
$\frac{x}{20}+\frac{x-2}{12}=1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题 2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是准确梳理每个工作主体的工作效率、工作时间，牢记“工作量=工作效率×工作时间”“总工作量为1”的基本规则，即可快速梳理等量关系列出方程。
【难度系数】
0.8
2 有一个水池，只打开进水管，2 h可把空水池注满；只打开出水管，3 h可把满池水放空。若两管同时打开，则把空水池灌注到水池的$\frac{5}{6}$所需要的时间是 （
A.6 h
B.5 h
C.4 h
D.3 h
B
）A.6 h
B.5 h
C.4 h
D.3 h
答案
2. B
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以先将满水池的总水量看作单位“1”，分别计算进、出水管的工作效率：进水管2小时注满，每小时注水量为总水量的$\frac{1}{2}$；出水管3小时放空，每小时放水量为总水量的$\frac{1}{3}$。两管同时打开时，每小时的净注水量为进水管效率减去出水管效率，最后结合“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程，就能求出灌注到$\frac{5}{6}$所需的时间。
【解析】
解：设把空水池灌注到$\frac{5}{6}$所需要的时间为$x$小时。
将满池水量看作单位“1”，则进水管的工作效率为$\frac{1}{2}$/小时，出水管的工作效率为$\frac{1}{3}$/小时。
根据题意可列方程：
$( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )x = \frac{5}{6}$
先计算括号内的净效率：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，代入方程得：
$\frac{1}{6}x = \frac{5}{6}$
两边同时乘以6，解得：$x=5$
即所需时间为5小时。
【答案】
B
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，单位“1”设定
【点评】
本题属于常规的工程应用题型，解题核心是正确设定单位“1”得到各管道的工作效率，注意出水管为放水，计算净效率时需用减法，再结合工作量、效率、时间三者的关系列式求解即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以先将满水池的总水量看作单位“1”，分别计算进、出水管的工作效率：进水管2小时注满，每小时注水量为总水量的$\frac{1}{2}$；出水管3小时放空，每小时放水量为总水量的$\frac{1}{3}$。两管同时打开时，每小时的净注水量为进水管效率减去出水管效率，最后结合“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程，就能求出灌注到$\frac{5}{6}$所需的时间。
【解析】
解：设把空水池灌注到$\frac{5}{6}$所需要的时间为$x$小时。
将满池水量看作单位“1”，则进水管的工作效率为$\frac{1}{2}$/小时，出水管的工作效率为$\frac{1}{3}$/小时。
根据题意可列方程：
$( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )x = \frac{5}{6}$
先计算括号内的净效率：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，代入方程得：
$\frac{1}{6}x = \frac{5}{6}$
两边同时乘以6，解得：$x=5$
即所需时间为5小时。
【答案】
B
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，单位“1”设定
【点评】
本题属于常规的工程应用题型，解题核心是正确设定单位“1”得到各管道的工作效率，注意出水管为放水，计算净效率时需用减法，再结合工作量、效率、时间三者的关系列式求解即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
3 棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.甲盒中都是黑子,共10枚;乙盒中都是白子,共8枚.嘉嘉从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒,使乙盒中棋子的总数是甲盒中所剩棋子数的2倍,则a的值为
4 某工程队共有55人,每人每天平均可挖土$2.5\ \mathrm{m}^3$或运土$3\ \mathrm{m}^3$,为了合理分配劳动力,使挖出的土及时运走,应分配挖土和运土的人数分别为
5 某校七年级(1)班举行了一次安全知识竞赛,竞赛题一共20道,记分规则如下:每答对1道题得5分,每答错或不答1道题扣1分.若小红一共得70分,则小红答对
4
.4 某工程队共有55人,每人每天平均可挖土$2.5\ \mathrm{m}^3$或运土$3\ \mathrm{m}^3$,为了合理分配劳动力,使挖出的土及时运走,应分配挖土和运土的人数分别为
30
,25
.5 某校七年级(1)班举行了一次安全知识竞赛,竞赛题一共20道,记分规则如下:每答对1道题得5分,每答错或不答1道题扣1分.若小红一共得70分,则小红答对
15
道题.答案
3. 4 4. 30 25 5. 15
解析
【分析】
第3题：首先明确等量关系：放入a枚黑子后的乙盒总棋子数=甲盒剩余棋子数×2。甲盒拿出a枚后剩余(10-a)枚，乙盒放入a枚后总共有(8+a)枚，据此列一元一次方程求解即可。
第4题：等量关系为每天挖土总量=每天运土总量，才能保证挖出的土及时运走。设挖土人数为x，则运土人数为总人数减去x，分别表示出土方量后列方程求解。
第5题：等量关系为答对题目总得分-答错或不答总扣分=最终得分。设答对x道题，则答错或不答的数量为总题数减去x，结合记分规则列方程求解即可。
【解析】
3. 解：根据题意，甲盒拿出a枚黑子后剩余棋子数为(10 - a)枚，乙盒放入a枚黑子后总棋子数为(8 + a)枚。
由乙盒总数是甲盒剩余数的2倍，列方程：
$\begin{aligned}8 + a &= 2(10 - a)\\8 + a &= 20 - 2a\\a + 2a &= 20 - 8\\3a &= 12\\a &= 4\end{aligned}$
4. 解：设分配x人挖土，则分配(55 - x)人运土。
要使挖出的土及时运走，需挖土总量等于运土总量，列方程：
$\begin{aligned}2.5x &= 3(55 - x)\\2.5x &= 165 - 3x\\2.5x + 3x &= 165\\5.5x &= 165\\x &= 30\end{aligned}$
运土人数为$55 - 30 = 25$（人）
5. 解：设小红答对x道题，则答错或不答的题目有(20 - x)道。
根据总得分70分列方程：
$\begin{aligned}5x - 1×(20 - x) &= 70\\5x - 20 + x &= 70\\6x &= 90\\x &= 15\end{aligned}$
【答案】
3. 4；4. 30，25；5. 15
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系梳理、解方程
【点评】
这三道题都是一元一次方程实际应用的基础题型，解题的关键是准确捕捉题干中的等量关系，合理设未知数后列方程求解，熟练掌握此类题型能为后续复杂应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
第3题：首先明确等量关系：放入a枚黑子后的乙盒总棋子数=甲盒剩余棋子数×2。甲盒拿出a枚后剩余(10-a)枚，乙盒放入a枚后总共有(8+a)枚，据此列一元一次方程求解即可。
第4题：等量关系为每天挖土总量=每天运土总量，才能保证挖出的土及时运走。设挖土人数为x，则运土人数为总人数减去x，分别表示出土方量后列方程求解。
第5题：等量关系为答对题目总得分-答错或不答总扣分=最终得分。设答对x道题，则答错或不答的数量为总题数减去x，结合记分规则列方程求解即可。
【解析】
3. 解：根据题意，甲盒拿出a枚黑子后剩余棋子数为(10 - a)枚，乙盒放入a枚黑子后总棋子数为(8 + a)枚。
由乙盒总数是甲盒剩余数的2倍，列方程：
$\begin{aligned}8 + a &= 2(10 - a)\\8 + a &= 20 - 2a\\a + 2a &= 20 - 8\\3a &= 12\\a &= 4\end{aligned}$
4. 解：设分配x人挖土，则分配(55 - x)人运土。
要使挖出的土及时运走，需挖土总量等于运土总量，列方程：
$\begin{aligned}2.5x &= 3(55 - x)\\2.5x &= 165 - 3x\\2.5x + 3x &= 165\\5.5x &= 165\\x &= 30\end{aligned}$
运土人数为$55 - 30 = 25$（人）
5. 解：设小红答对x道题，则答错或不答的题目有(20 - x)道。
根据总得分70分列方程：
$\begin{aligned}5x - 1×(20 - x) &= 70\\5x - 20 + x &= 70\\6x &= 90\\x &= 15\end{aligned}$
【答案】
3. 4；4. 30，25；5. 15
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系梳理、解方程
【点评】
这三道题都是一元一次方程实际应用的基础题型，解题的关键是准确捕捉题干中的等量关系，合理设未知数后列方程求解，熟练掌握此类题型能为后续复杂应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
6 新情境 生活实际 [2024 陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，则需4 h；若爸爸单独完成，则需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间，然后去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
答案
6. 设这次小峰打扫了 $x$ h,则爸爸打扫了$(3-x)$h. 根据题意,得
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得 $x=2$. 答:这次小峰打扫了 2 h
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得 $x=2$. 答:这次小峰打扫了 2 h
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：①工程问题通常将总任务量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总任务的时间”，可先算出小峰和爸爸各自的工作效率；②找等量关系：小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量1，同时已知两人总共打扫时长为3h，因此设小峰的打扫时间为未知数，即可用总时长表示出爸爸的打扫时间；③最后根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫的时间为$(3-x)$ h。
将总打扫任务量看作单位“1”，可得小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$。
根据“小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量”列方程：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母，得：$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得：$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得：$-x = -2$
系数化为1，得：$x = 2$
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了2 h
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、工作总量公式
【点评】
本题以家庭大扫除的生活场景为背景，考查用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作量的等量关系，贴合生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：①工程问题通常将总任务量看作单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成总任务的时间”，可先算出小峰和爸爸各自的工作效率；②找等量关系：小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量1，同时已知两人总共打扫时长为3h，因此设小峰的打扫时间为未知数，即可用总时长表示出爸爸的打扫时间；③最后根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x$ h，则爸爸打扫的时间为$(3-x)$ h。
将总打扫任务量看作单位“1”，可得小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$。
根据“小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量”列方程：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母，得：$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得：$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得：$-x = -2$
系数化为1，得：$x = 2$
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了2 h
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、工作总量公式
【点评】
本题以家庭大扫除的生活场景为背景，考查用数学知识解决实际问题的能力，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作量的等量关系，贴合生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.7
7 某项工作，甲单独做要$a$天完成，乙单独做要$b$天完成。现在甲单独做2天后，剩下的工作由乙单独做，则乙单独完成剩下的工作所需的天数是 （
A.$a - 2$
B.$b - \dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a - 2}{b}$
D.$b(1 - \dfrac{2}{a})$
D
）A.$a - 2$
B.$b - \dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a - 2}{b}$
D.$b(1 - \dfrac{2}{a})$
答案
7. D
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时我们通常把总工作量看作单位“1”，解题思路分四步：第一步先根据甲、乙单独完成工作的时间，分别求出两者的工作效率；第二步计算甲单独做2天完成的工作量；第三步用总工作量减去甲已经完成的工作量，得到剩余的工作量；第四步用剩余工作量除以乙的工作效率，就能得到乙单独完成剩余工作所需的天数，最后化简代数式和选项对照即可。
【解析】
解：将这项工作的总工作量看作单位“1”。
甲单独做要$a$天完成，因此甲的工作效率为$\dfrac{1}{a}$；
乙单独做要$b$天完成，因此乙的工作效率为$\dfrac{1}{b}$。
甲单独做2天完成的工作量为：$2×\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{a}$
剩余工作量为：$1-\dfrac{2}{a}$
乙单独完成剩余工作所需天数 = 剩余工作量÷乙的工作效率，即：
$(1-\dfrac{2}{a})÷\dfrac{1}{b}=(1-\dfrac{2}{a})× b = b(1-\dfrac{2}{a})$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；列代数式；代数式化简
【点评】
本题属于工程类基础题型，核心是掌握工程问题中把总工作量设为单位“1”的常用技巧，熟练运用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时我们通常把总工作量看作单位“1”，解题思路分四步：第一步先根据甲、乙单独完成工作的时间，分别求出两者的工作效率；第二步计算甲单独做2天完成的工作量；第三步用总工作量减去甲已经完成的工作量，得到剩余的工作量；第四步用剩余工作量除以乙的工作效率，就能得到乙单独完成剩余工作所需的天数，最后化简代数式和选项对照即可。
【解析】
解：将这项工作的总工作量看作单位“1”。
甲单独做要$a$天完成，因此甲的工作效率为$\dfrac{1}{a}$；
乙单独做要$b$天完成，因此乙的工作效率为$\dfrac{1}{b}$。
甲单独做2天完成的工作量为：$2×\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{a}$
剩余工作量为：$1-\dfrac{2}{a}$
乙单独完成剩余工作所需天数 = 剩余工作量÷乙的工作效率，即：
$(1-\dfrac{2}{a})÷\dfrac{1}{b}=(1-\dfrac{2}{a})× b = b(1-\dfrac{2}{a})$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；列代数式；代数式化简
【点评】
本题属于工程类基础题型，核心是掌握工程问题中把总工作量设为单位“1”的常用技巧，熟练运用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
8 新情境 数学文化 [2025 吉林]《孙子算经》中记载了这样一道题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问车几何?其大意为有若干人乘车,若每3人同乘一车,则剩余2辆空车;若每2人同乘一车,则剩下9人因无车可乘而步行.问:共有多少辆车?设共有x辆车,则可列方程为
$3(x-2)=2x+9$
.答案
8. $3(x-2)=2x+9$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中乘车的总人数是固定不变的，我们可以分别用含x的式子表示出两种乘车方案下的总人数，再令两个式子相等即可列出方程。首先分析第一种乘车方案：每3人共乘一辆，剩余2辆空车，说明实际使用的车辆数是总车辆数减2，总人数就是3乘实际使用车辆数；再分析第二种乘车方案：每2人共乘一辆，9人步行，总人数就是坐车的总人数加步行的9人，两者相等就能列出方程。
【解析】
解：已知共有x辆车，乘车总人数保持不变。
① 若每3人同乘一车，剩余2辆空车，实际使用的车辆数为$(x-2)$辆，此时总人数可表示为：$3(x-2)$；
② 若每2人同乘一车，剩余9人步行，坐车的总人数为$2x$，此时总人数可表示为：$2x+9$；
因为两种方案的总人数相等，因此可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 等量关系的确定
【点评】
本题结合传统数学文化命题，考查列方程解应用题的基础能力，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中乘车的总人数是固定不变的，我们可以分别用含x的式子表示出两种乘车方案下的总人数，再令两个式子相等即可列出方程。首先分析第一种乘车方案：每3人共乘一辆，剩余2辆空车，说明实际使用的车辆数是总车辆数减2，总人数就是3乘实际使用车辆数；再分析第二种乘车方案：每2人共乘一辆，9人步行，总人数就是坐车的总人数加步行的9人，两者相等就能列出方程。
【解析】
解：已知共有x辆车，乘车总人数保持不变。
① 若每3人同乘一车，剩余2辆空车，实际使用的车辆数为$(x-2)$辆，此时总人数可表示为：$3(x-2)$；
② 若每2人同乘一车，剩余9人步行，坐车的总人数为$2x$，此时总人数可表示为：$2x+9$；
因为两种方案的总人数相等，因此可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 等量关系的确定
【点评】
本题结合传统数学文化命题，考查列方程解应用题的基础能力，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
