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7 如图，一个瓶子的容积是2 L(1 L=1 000 cm³)，瓶内装着一些水. 当瓶子正放时，瓶内水的高度为20 cm，当瓶子倒放时，空余部分的高度为5 cm，则瓶子的底面积是
$80$
cm².答案
7. 80 【解析】设瓶子的底面积为 $x\ \mathrm{cm}^2$. 由题意, 可得 $20x=2\ 000-5x$, 解得 $x=80$. 所以瓶子的底面积为 $80\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先明确瓶子的总容积是固定不变的，正放时水的体积与倒放时空余部分的体积之和等于瓶子的总容积。第一步先统一单位，将容积单位L换算为体积单位$\mathrm{cm}^3$；第二步设瓶子的底面积为未知数，水的体积、倒放时空余部分的体积都可以用“底面积×高”表示；第三步根据“水的体积+空余部分体积=瓶子总容积”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先进行单位换算：$2\ \mathrm{L}=2×1000=2000\ \mathrm{cm}^3$。
设瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
正放时瓶内水的体积为$20x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分的体积为$5x\ \mathrm{cm}^3$，二者相加等于瓶子总容积，可列方程：
$20x+5x=2000$
合并同类项得：$25x=2000$
解得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题属于等积变形类实际应用题，解题核心是抓住瓶子总容积、水的体积这两个不变量，将不规则的空余部分体积转化为规则的圆柱体积计算，很好地考察了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确瓶子的总容积是固定不变的，正放时水的体积与倒放时空余部分的体积之和等于瓶子的总容积。第一步先统一单位，将容积单位L换算为体积单位$\mathrm{cm}^3$；第二步设瓶子的底面积为未知数，水的体积、倒放时空余部分的体积都可以用“底面积×高”表示；第三步根据“水的体积+空余部分体积=瓶子总容积”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先进行单位换算：$2\ \mathrm{L}=2×1000=2000\ \mathrm{cm}^3$。
设瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
正放时瓶内水的体积为$20x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分的体积为$5x\ \mathrm{cm}^3$，二者相加等于瓶子总容积，可列方程：
$20x+5x=2000$
合并同类项得：$25x=2000$
解得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题属于等积变形类实际应用题，解题核心是抓住瓶子总容积、水的体积这两个不变量，将不规则的空余部分体积转化为规则的圆柱体积计算，很好地考察了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
8 分类讨论思想 [2024威海]如图,在数轴上,动点A从表示－3的点出发,以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点B从表示12的点出发,以2个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动.经过
4或6
秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度.答案
8. 4 或 6 【解析】设经过 $x$ 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度. 根据题意,得 $|(-3+x)-(12-2x)|=3$, 解得 $x=4$ 或 $x=6$. 所以经过 4 或 6 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度.
解析
【分析】
解题时先设经过的时间为x秒，先分别表示x秒后两个动点对应的数：动点A沿正方向运动，x秒后对应的数为起始值-3加运动路程x，即-3+x；动点B沿负方向运动，x秒后对应的数为起始值12减运动路程2x，即12-2x。数轴上两点的距离为两点对应数之差的绝对值，结合两点距离为3的条件可列绝对值方程，再分两种情况去绝对值求解即可，注意两点相距3存在相遇前、相遇后两种情况，避免漏解。
【解析】
设经过$x$秒，点A、B之间的距离等于3个单位长度。
$x$秒后，点A对应的数为$-3+x$，点B对应的数为$12-2x$。
根据数轴上两点距离公式，得：
$\left|(-3+x)-(12-2x)\right|=3$
化简得：$\left|3x-15\right|=3$
分两种情况求解：
① 当$3x-15=3$时，
$3x=18$，解得$x=6$
② 当$3x-15=-3$时，
$3x=12$，解得$x=4$
综上，x的值为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
数轴动点问题，绝对值方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点的常考题型，核心是用含时间的代数式表示运动后点的位置，结合数轴距离公式列方程求解，解题时要注意距离的非负性，通过分类讨论去绝对值，避免只计算一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先设经过的时间为x秒，先分别表示x秒后两个动点对应的数：动点A沿正方向运动，x秒后对应的数为起始值-3加运动路程x，即-3+x；动点B沿负方向运动，x秒后对应的数为起始值12减运动路程2x，即12-2x。数轴上两点的距离为两点对应数之差的绝对值，结合两点距离为3的条件可列绝对值方程，再分两种情况去绝对值求解即可，注意两点相距3存在相遇前、相遇后两种情况，避免漏解。
【解析】
设经过$x$秒，点A、B之间的距离等于3个单位长度。
$x$秒后，点A对应的数为$-3+x$，点B对应的数为$12-2x$。
根据数轴上两点距离公式，得：
$\left|(-3+x)-(12-2x)\right|=3$
化简得：$\left|3x-15\right|=3$
分两种情况求解：
① 当$3x-15=3$时，
$3x=18$，解得$x=6$
② 当$3x-15=-3$时，
$3x=12$，解得$x=4$
综上，x的值为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
数轴动点问题，绝对值方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点的常考题型，核心是用含时间的代数式表示运动后点的位置，结合数轴距离公式列方程求解，解题时要注意距离的非负性，通过分类讨论去绝对值，避免只计算一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9 如图，爷爷家的花圃为长方形，长比宽多2 m，如果花圃的长和宽都分别增加3 m，那么这个花圃的面积将增加39 m²。求花圃原来的长和宽。
（第9题）
（第9题）答案
9. 设花圃原来的宽为 $x\ \mathrm{m}$, 则长为 $(x+2)\ \mathrm{m}$. 依据题意, 可得 $3(x+2+3)+3x=39$, 解得 $x=4$. 所以 $x+2=6$. 答:花圃原来的长和宽分别是 $6\ \mathrm{m},4\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决长方形面积变化的应用题。解题时首先要找准等量关系：花圃长和宽都增加3m后，增加的面积为39m²。我们可以设较小的量（原来的宽）为未知数，根据“长比宽多2m”表示出原来的长，再结合增加的面积的构成列出方程，求解即可得到原来的宽，进而求出原来的长。
【解析】
解：设花圃原来的宽为 $x\ \mathrm{m}$，则原来的长为 $(x+2)\ \mathrm{m}$。
观察图形可知，增加的39m²面积可拆分为两个长方形的面积和：一个长方形长为$(x+2+3)\ \mathrm{m}$、宽为3m，另一个长方形长为$x\ \mathrm{m}$、宽为3m，据此列方程：
$3(x+2+3) + 3x = 39$
化简求解：
$3(x+5)+3x=39$
$3x+15+3x=39$
$6x=24$
$x=4$
则原来的长为 $x+2=4+2=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
花圃原来的长是$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$，宽是$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元一次方程应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积变化类应用题，解题核心是准确梳理出面积增加量对应的等量关系，也可通过“新面积-原面积=增加面积”的思路列方程，通过拆分图形能更直观地理解等量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次方程解决长方形面积变化的应用题。解题时首先要找准等量关系：花圃长和宽都增加3m后，增加的面积为39m²。我们可以设较小的量（原来的宽）为未知数，根据“长比宽多2m”表示出原来的长，再结合增加的面积的构成列出方程，求解即可得到原来的宽，进而求出原来的长。
【解析】
解：设花圃原来的宽为 $x\ \mathrm{m}$，则原来的长为 $(x+2)\ \mathrm{m}$。
观察图形可知，增加的39m²面积可拆分为两个长方形的面积和：一个长方形长为$(x+2+3)\ \mathrm{m}$、宽为3m，另一个长方形长为$x\ \mathrm{m}$、宽为3m，据此列方程：
$3(x+2+3) + 3x = 39$
化简求解：
$3(x+5)+3x=39$
$3x+15+3x=39$
$6x=24$
$x=4$
则原来的长为 $x+2=4+2=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
花圃原来的长是$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$，宽是$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元一次方程应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积变化类应用题，解题核心是准确梳理出面积增加量对应的等量关系，也可通过“新面积-原面积=增加面积”的思路列方程，通过拆分图形能更直观地理解等量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 如图①，小慧为买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖.套口到分界处的距离为1 cm.未开始使用时，铅笔的长度比铅笔套长度的3倍多1 cm，且铅笔的长度比铅笔套的长度多12 cm.
（1）请分别求出铅笔和铅笔套的长度.
（2）如图②，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是1 cm.当总长度（笔尖到套尾的距离）小于8 cm时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？
（1）请分别求出铅笔和铅笔套的长度.
（2）如图②，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是1 cm.当总长度（笔尖到套尾的距离）小于8 cm时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？
答案
10. （1）设铅笔套的长度为 $x\ \mathrm{cm}$, 则铅笔的长度为 $(3x+1)\mathrm{cm}$. 依题意, 得 $(3x+1)-x=12$, 解得 $x=\dfrac{11}{2}$. 所以 $3x+1=\dfrac{35}{2}$. 答:铅笔的长度为 $\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$,铅笔套的长度为 $\dfrac{11}{2}\ \mathrm{cm}$ （2）设该铅笔最多可以正常使用 $y\ \mathrm{cm}$. 依题意, 得 $\dfrac{35}{2}+(\dfrac{11}{2}-1)-y=8$, 解得 $y=14$. 答:该铅笔最多可以正常使用 $14\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）本题是和差倍分类的一元一次方程应用题，首先设铅笔套的长度为未知数，根据“铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm”表示出铅笔的长度，再利用“铅笔长度比铅笔套长度多12cm”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问首先要明确铅笔套作延长器时的总长度计算规则：总长度=剩余铅笔长度+铅笔套长度-重叠部分长度（套口到顶部的1cm），当总长度恰好为8cm时，铅笔可使用的长度达到最大值，据此设未知数列方程求解即可。
【解析】
（1）设铅笔套的长度为 $ x\ \mathrm{cm} $，则铅笔的长度为 $ (3x+1)\ \mathrm{cm} $。
依题意得：
$ (3x+1)-x=12 $
合并同类项得 $ 2x+1=12 $，
移项计算得 $ 2x=11 $，解得 $ x=\frac{11}{2} $，
则铅笔长度为 $ 3x+1=3×\frac{11}{2}+1=\frac{35}{2}\ \mathrm{cm} $。
（2）设该铅笔最多可以正常使用 $ y\ \mathrm{cm} $，此时剩余铅笔长度为 $ (\frac{35}{2}-y)\ \mathrm{cm} $。
铅笔套与铅笔的重叠长度为1cm，总长度为8cm时是可正常书写的临界情况，依题意得：
$ \frac{35}{2}-y+(\frac{11}{2}-1)=8 $
计算常数项得 $ 22-y=8 $，
解得 $ y=14 $。
【答案】
（1）铅笔的长度为 $ \frac{35}{2}\ \mathrm{cm} $，铅笔套的长度为 $ \frac{11}{2}\ \mathrm{cm} $；
（2）该铅笔最多可以正常使用 $ 14\ \mathrm{cm} $。
【知识点】
一元一次方程的应用，和差倍分问题，重叠长度计算
【点评】
本题结合生活实际命题，趣味性较强，解题核心是准确提取题目中的等量关系，第二问需要注意拼接时的重叠部分，避免忽略重叠导致总长度计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题是和差倍分类的一元一次方程应用题，首先设铅笔套的长度为未知数，根据“铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm”表示出铅笔的长度，再利用“铅笔长度比铅笔套长度多12cm”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问首先要明确铅笔套作延长器时的总长度计算规则：总长度=剩余铅笔长度+铅笔套长度-重叠部分长度（套口到顶部的1cm），当总长度恰好为8cm时，铅笔可使用的长度达到最大值，据此设未知数列方程求解即可。
【解析】
（1）设铅笔套的长度为 $ x\ \mathrm{cm} $，则铅笔的长度为 $ (3x+1)\ \mathrm{cm} $。
依题意得：
$ (3x+1)-x=12 $
合并同类项得 $ 2x+1=12 $，
移项计算得 $ 2x=11 $，解得 $ x=\frac{11}{2} $，
则铅笔长度为 $ 3x+1=3×\frac{11}{2}+1=\frac{35}{2}\ \mathrm{cm} $。
（2）设该铅笔最多可以正常使用 $ y\ \mathrm{cm} $，此时剩余铅笔长度为 $ (\frac{35}{2}-y)\ \mathrm{cm} $。
铅笔套与铅笔的重叠长度为1cm，总长度为8cm时是可正常书写的临界情况，依题意得：
$ \frac{35}{2}-y+(\frac{11}{2}-1)=8 $
计算常数项得 $ 22-y=8 $，
解得 $ y=14 $。
【答案】
（1）铅笔的长度为 $ \frac{35}{2}\ \mathrm{cm} $，铅笔套的长度为 $ \frac{11}{2}\ \mathrm{cm} $；
（2）该铅笔最多可以正常使用 $ 14\ \mathrm{cm} $。
【知识点】
一元一次方程的应用，和差倍分问题，重叠长度计算
【点评】
本题结合生活实际命题，趣味性较强，解题核心是准确提取题目中的等量关系，第二问需要注意拼接时的重叠部分，避免忽略重叠导致总长度计算错误。
【难度系数】
0.7
