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11. 如果$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数，那么$2x-y$的立方根是
$\sqrt[3]{-3}$
。答案
11.$\sqrt[3]{-3}$
解析
【分析】
解题时先根据相反数的性质：互为相反数的两数之和为0，列出等式。再结合算术平方根、平方数的非负性（即两者的取值都大于等于0），可得两个非负数相加为0时，每个数都为0，据此分别求出x、y的值，代入计算2x-y的结果，最后求该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数
∴$\sqrt{y-7} + (2x-4)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{y-7} ≥ 0$，$(2x-4)^2 ≥ 0$
∴只有当$\sqrt{y-7}=0$且$(2x-4)^2=0$时，等式成立
即：
$\begin{cases}y-7=0 \\2x-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}y=7 \\2x=4\end{cases}$
将$2x=4$，$y=7$代入$2x-y$得：
$2x-y=4-7=-3$
∴$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$
【答案】
$\sqrt[3]{-3}$
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；立方根的定义
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点为非负数性质的应用，解题的关键是牢记“若干个非负数的和为0，则每一个非负数的值均为0”，再结合相反数、立方根的相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据相反数的性质：互为相反数的两数之和为0，列出等式。再结合算术平方根、平方数的非负性（即两者的取值都大于等于0），可得两个非负数相加为0时，每个数都为0，据此分别求出x、y的值，代入计算2x-y的结果，最后求该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数
∴$\sqrt{y-7} + (2x-4)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{y-7} ≥ 0$，$(2x-4)^2 ≥ 0$
∴只有当$\sqrt{y-7}=0$且$(2x-4)^2=0$时，等式成立
即：
$\begin{cases}y-7=0 \\2x-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}y=7 \\2x=4\end{cases}$
将$2x=4$，$y=7$代入$2x-y$得：
$2x-y=4-7=-3$
∴$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}$
【答案】
$\sqrt[3]{-3}$
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；立方根的定义
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点为非负数性质的应用，解题的关键是牢记“若干个非负数的和为0，则每一个非负数的值均为0”，再结合相反数、立方根的相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.9的平方根是$x$，64的立方根是$y$，则$x+y$的值为
7或1
.答案
12.7或1
解析
【分析】
解题时先回忆平方根、立方根的定义：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此可求出x的两个取值；②任意一个数的立方根只有1个，正数的立方根是正数，据此求出y的唯一取值；最后分两种情况代入计算x+y的和即可。
【解析】
解：
∵9的平方根是x
∴$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
∵64的立方根是y
∴$y=\sqrt[3]{64}=4$
分两种情况计算：
①当$x=3$时，$x+y=3+4=7$
②当$x=-3$时，$x+y=-3+4=1$
综上，$x+y$的值为7或1。
【答案】
7或1
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质，易错点是忽略正数的平方根有两个，遗漏x=-3的情况，导致结果少解，解题时要注意区分平方根和立方根的性质差异，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平方根、立方根的定义：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此可求出x的两个取值；②任意一个数的立方根只有1个，正数的立方根是正数，据此求出y的唯一取值；最后分两种情况代入计算x+y的和即可。
【解析】
解：
∵9的平方根是x
∴$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
∵64的立方根是y
∴$y=\sqrt[3]{64}=4$
分两种情况计算：
①当$x=3$时，$x+y=3+4=7$
②当$x=-3$时，$x+y=-3+4=1$
综上，$x+y$的值为7或1。
【答案】
7或1
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质，易错点是忽略正数的平方根有两个，遗漏x=-3的情况，导致结果少解，解题时要注意区分平方根和立方根的性质差异，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13.一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，则这个正方体的棱长是
6 cm
。答案
13.6 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积计算公式：正方体体积=棱长的立方。第一步先计算出棱长为3cm的正方体的体积，再根据题意求出待求正方体的体积，最后根据体积与棱长的关系，对体积开立方即可得到待求正方体的棱长。
【解析】
首先计算棱长为3cm的正方体体积：
$ V_1 = 3^3 = 27\ \mathrm{cm}^3 $
由题意可得，所求正方体的体积：
$ V_2 = 8 × V_1 = 8 × 27 = 216\ \mathrm{cm}^3 $
设所求正方体的棱长为$ a $，根据正方体体积公式可得$ a^3 = V_2 = 216 $，对216开立方得：
$ a = \sqrt[3]{216} = 6\ \mathrm{cm} $
【答案】
6 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查正方体体积公式的应用和立方根的计算，掌握体积公式、熟练进行开立方运算即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方体体积计算公式：正方体体积=棱长的立方。第一步先计算出棱长为3cm的正方体的体积，再根据题意求出待求正方体的体积，最后根据体积与棱长的关系，对体积开立方即可得到待求正方体的棱长。
【解析】
首先计算棱长为3cm的正方体体积：
$ V_1 = 3^3 = 27\ \mathrm{cm}^3 $
由题意可得，所求正方体的体积：
$ V_2 = 8 × V_1 = 8 × 27 = 216\ \mathrm{cm}^3 $
设所求正方体的棱长为$ a $，根据正方体体积公式可得$ a^3 = V_2 = 216 $，对216开立方得：
$ a = \sqrt[3]{216} = 6\ \mathrm{cm} $
【答案】
6 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查正方体体积公式的应用和立方根的计算，掌握体积公式、熟练进行开立方运算即可快速解答。
【难度系数】
0.8
14. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{(-8)^3}$；
(2) $\sqrt[3]{(-8)^2}$；
(3) $\sqrt[3]{0.7^3}$；
(4) $\sqrt[3]{\frac{37}{64} - 1}$。
(1) $\sqrt[3]{(-8)^3}$；
(2) $\sqrt[3]{(-8)^2}$；
(3) $\sqrt[3]{0.7^3}$；
(4) $\sqrt[3]{\frac{37}{64} - 1}$。
答案
14.(1)$-8$ (2)$4$ (3)$0.7$ (4)$-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握立方根的核心性质：对于任意实数a，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时逐个处理每小题：(1)直接套用$\sqrt[3]{a^3}=a$的性质计算；(2)先计算被开方数$(-8)^2$的值，再求其立方根；(3)直接套用$\sqrt[3]{a^3}=a$的性质计算；(4)先计算被开方数中减法的结果，再求该结果的立方根，注意负数的立方根符号为负。
【解析】
(1) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$
(2) 先计算被开方数：$(-8)^2=64$，再求64的立方根：
$\sqrt[3]{64}=4$，即$\sqrt[3]{(-8)^2}=4$
(3) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{0.7^3}=0.7$
(4) 先计算被开方数：$\frac{37}{64}-1=\frac{37}{64}-\frac{64}{64}=-\frac{27}{64}$，再求$-\frac{27}{64}$的立方根：
$\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$，即$\sqrt[3]{\frac{37}{64}-1}=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$-8$；(2)$4$；(3)$0.7$；(4)$-\frac{3}{4}$
【知识点】
立方根的性质；立方根的运算
【点评】
本题属于立方根的基础运算题，解题时需先理清运算顺序，优先化简被开方数，再结合立方根的性质求解，尤其要注意负数立方根的符号处理，避免和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是熟练掌握立方根的核心性质：对于任意实数a，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时逐个处理每小题：(1)直接套用$\sqrt[3]{a^3}=a$的性质计算；(2)先计算被开方数$(-8)^2$的值，再求其立方根；(3)直接套用$\sqrt[3]{a^3}=a$的性质计算；(4)先计算被开方数中减法的结果，再求该结果的立方根，注意负数的立方根符号为负。
【解析】
(1) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$
(2) 先计算被开方数：$(-8)^2=64$，再求64的立方根：
$\sqrt[3]{64}=4$，即$\sqrt[3]{(-8)^2}=4$
(3) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{0.7^3}=0.7$
(4) 先计算被开方数：$\frac{37}{64}-1=\frac{37}{64}-\frac{64}{64}=-\frac{27}{64}$，再求$-\frac{27}{64}$的立方根：
$\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$，即$\sqrt[3]{\frac{37}{64}-1}=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1)$-8$；(2)$4$；(3)$0.7$；(4)$-\frac{3}{4}$
【知识点】
立方根的性质；立方根的运算
【点评】
本题属于立方根的基础运算题，解题时需先理清运算顺序，优先化简被开方数，再结合立方根的性质求解，尤其要注意负数立方根的符号处理，避免和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.85
15. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $-3x^3 = 81$;
(2) $(x - 1)^3 = -8$;
(3) $2(x + 1)^3 = 54$.
(1) $-3x^3 = 81$;
(2) $(x - 1)^3 = -8$;
(3) $2(x + 1)^3 = 54$.
答案
解:(1)由$-3x^3=81$,得$x^3=-27$,解得$x=-3$.
(2)由$(x-1)^3=-8$,得$x-1=-2$,解得$x=-1$.
(3)由$2(x+1)^3=54$,得$(x+1)^3=27$,即$x+1=3$,解得$x=2$.
(2)由$(x-1)^3=-8$,得$x-1=-2$,解得$x=-1$.
(3)由$2(x+1)^3=54$,得$(x+1)^3=27$,即$x+1=3$,解得$x=2$.
解析
【分析】
这三道题都是利用立方根的性质求解未知数的基础题型，解题思路清晰可遵循：首先利用等式的基本性质，将含有未知数的三次幂项整理为“整体三次方=常数”的形式，再根据立方根的唯一性（正数的立方根是正数、负数的立方根是负数、0的立方根是0），对等式两边同时开立方，将三次方程转化为我们熟悉的一元一次方程，最后求解一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 对等式$-3x^3=81$两边同时除以$-3$，系数化为1得$x^3=-27$，因为$(-3)^3=-27$，解得$x=-3$。
(2) 把$(x-1)$看作整体，对等式$(x-1)^3=-8$两边同时开立方，得$x-1=-2$，移项计算解得$x=-1$。
(3) 对等式$2(x+1)^3=54$两边同时除以2，系数化为1得$(x+1)^3=27$，开立方得$x+1=3$，移项计算解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=-1$；(3)$x=2$
【知识点】
立方根的性质；开立方运算；简易三次方程求解
【点评】
本题是立方根相关知识的基础巩固类习题，核心考查整体思想和立方根性质的运用，解题的关键是先将含未知数的三次幂整理为整体形式，开立方后转化为一次方程即可快速求解，解题门槛低，易于掌握。
【难度系数】
0.8
这三道题都是利用立方根的性质求解未知数的基础题型，解题思路清晰可遵循：首先利用等式的基本性质，将含有未知数的三次幂项整理为“整体三次方=常数”的形式，再根据立方根的唯一性（正数的立方根是正数、负数的立方根是负数、0的立方根是0），对等式两边同时开立方，将三次方程转化为我们熟悉的一元一次方程，最后求解一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 对等式$-3x^3=81$两边同时除以$-3$，系数化为1得$x^3=-27$，因为$(-3)^3=-27$，解得$x=-3$。
(2) 把$(x-1)$看作整体，对等式$(x-1)^3=-8$两边同时开立方，得$x-1=-2$，移项计算解得$x=-1$。
(3) 对等式$2(x+1)^3=54$两边同时除以2，系数化为1得$(x+1)^3=27$，开立方得$x+1=3$，移项计算解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=-1$；(3)$x=2$
【知识点】
立方根的性质；开立方运算；简易三次方程求解
【点评】
本题是立方根相关知识的基础巩固类习题，核心考查整体思想和立方根性质的运用，解题的关键是先将含未知数的三次幂整理为整体形式，开立方后转化为一次方程即可快速求解，解题门槛低，易于掌握。
【难度系数】
0.8
16.(1)某房间的面积为$17.6\ \mathrm{m}^2$，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是多少米？
(2)已知甲正方体水箱的棱长是60 cm，乙正方体水箱的体积比甲水箱的体积的3倍还多$81000\ \mathrm{cm}^3$，则乙正方体水箱的表面积是多少平方米？
(2)已知甲正方体水箱的棱长是60 cm，乙正方体水箱的体积比甲水箱的体积的3倍还多$81000\ \mathrm{cm}^3$，则乙正方体水箱的表面积是多少平方米？
答案
解:(1)$\because$每块正方形地砖的面积为$17.6÷110=0.16(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$每块正方形地砖的边长为$\sqrt{0.16}=0.4(\mathrm{m})$.
答:每块地砖的边长是0.4 m.
(2)$\because$甲正方体水箱的体积为$60^3=216000(\mathrm{cm}^3)$,
$\therefore$乙正方体水箱的体积为$3×216000+81000=729000(\mathrm{cm}^3)$,
$\therefore$乙正方体水箱的棱长为$\sqrt[3]{729000}=90(\mathrm{cm})$,
$\therefore$乙正方体水箱的表面积为$90×90×6=48600(\mathrm{cm}^2)$,
$48600\ \mathrm{cm}^2=4.86\ \mathrm{m}^2$.
答:乙正方体水箱的表面积是$4.86\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore$每块正方形地砖的边长为$\sqrt{0.16}=0.4(\mathrm{m})$.
答:每块地砖的边长是0.4 m.
(2)$\because$甲正方体水箱的体积为$60^3=216000(\mathrm{cm}^3)$,
$\therefore$乙正方体水箱的体积为$3×216000+81000=729000(\mathrm{cm}^3)$,
$\therefore$乙正方体水箱的棱长为$\sqrt[3]{729000}=90(\mathrm{cm})$,
$\therefore$乙正方体水箱的表面积为$90×90×6=48600(\mathrm{cm}^2)$,
$48600\ \mathrm{cm}^2=4.86\ \mathrm{m}^2$.
答:乙正方体水箱的表面积是$4.86\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 要求地砖边长，首先需用房间总面积除以地砖总块数求出单块地砖的面积，再结合正方形面积公式“面积=边长²”，对单块地砖面积开算术平方根即可得到边长（边长为正数，仅取正根）。
(2) 先根据正方体体积公式“体积=棱长³”计算甲水箱的体积，再按照乙与甲的体积关系求出乙水箱的体积，对乙的体积开立方得到乙的棱长，最后用正方体表面积公式“表面积=6×棱长²”计算表面积，注意最终结果要换算为平方米单位。
【解析】
(1) 计算每块正方形地砖的面积：
$17.6÷110=0.16(\mathrm{m}^2)$
正方形边长为面积的算术平方根，因此地砖边长为：
$\sqrt{0.16}=0.4(\mathrm{m})$
(2) 计算甲正方体水箱的体积：
$60^3=216000(\mathrm{cm}^3)$
根据题意计算乙正方体水箱的体积：
$3×216000+81000=729000(\mathrm{cm}^3)$
正方体棱长为体积的立方根，因此乙水箱的棱长为：
$\sqrt[3]{729000}=90(\mathrm{cm})$
计算乙水箱的表面积：
$6×90×90=48600(\mathrm{cm}^2)$
单位换算得：$48600\ \mathrm{cm}^2=4.86\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 每块地砖的边长是0.4 m；
(2) 乙正方体水箱的表面积是$4.86\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平方根的应用，立方根的应用，正方体表面积与体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查平方根、立方根的基础应用，解题关键是理清各数量之间的关系，注意开方运算的结果选取，同时要重视单位的统一换算，避免因单位问题失分。
【难度系数】
0.8
(1) 要求地砖边长，首先需用房间总面积除以地砖总块数求出单块地砖的面积，再结合正方形面积公式“面积=边长²”，对单块地砖面积开算术平方根即可得到边长（边长为正数，仅取正根）。
(2) 先根据正方体体积公式“体积=棱长³”计算甲水箱的体积，再按照乙与甲的体积关系求出乙水箱的体积，对乙的体积开立方得到乙的棱长，最后用正方体表面积公式“表面积=6×棱长²”计算表面积，注意最终结果要换算为平方米单位。
【解析】
(1) 计算每块正方形地砖的面积：
$17.6÷110=0.16(\mathrm{m}^2)$
正方形边长为面积的算术平方根，因此地砖边长为：
$\sqrt{0.16}=0.4(\mathrm{m})$
(2) 计算甲正方体水箱的体积：
$60^3=216000(\mathrm{cm}^3)$
根据题意计算乙正方体水箱的体积：
$3×216000+81000=729000(\mathrm{cm}^3)$
正方体棱长为体积的立方根，因此乙水箱的棱长为：
$\sqrt[3]{729000}=90(\mathrm{cm})$
计算乙水箱的表面积：
$6×90×90=48600(\mathrm{cm}^2)$
单位换算得：$48600\ \mathrm{cm}^2=4.86\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 每块地砖的边长是0.4 m；
(2) 乙正方体水箱的表面积是$4.86\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
平方根的应用，立方根的应用，正方体表面积与体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查平方根、立方根的基础应用，解题关键是理清各数量之间的关系，注意开方运算的结果选取，同时要重视单位的统一换算，避免因单位问题失分。
【难度系数】
0.8
17.我们知道$a+b=0$时，$a^3+b^3=0$也成立，若将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
答案
解:(1)$\because2+(-2)=0$,且$2^3=8$,$(-2)^3=-8$,有$8-8=0$,
$\therefore$结论成立,即“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由(1)的验证结果,知$1-2x+3x-5=0$,$\therefore x=4$.
$\therefore1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
$\therefore$结论成立,即“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由(1)的验证结果,知$1-2x+3x-5=0$,$\therefore x=4$.
$\therefore1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
解析
【分析】
（1）要验证猜测是否成立，只需举出符合条件的实例：先找两个互为相反数的数作为立方根，分别计算它们的立方，验证两个立方结果是否也互为相反数即可完成判断。
（2）利用第（1）问验证得到的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，可知两个立方根的被开方数之和为0，据此列出关于x的一元一次方程，解出x的取值后，代入$1-\sqrt{x}$计算即可得到结果。
【解析】
（1）举例：因为$2+(-2)=0$，且$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，有$8+(-8)=0$，即8和-8也互为相反数，因此“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”的结论成立。
（2）由（1）的验证结果可得，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数时，二者的被开方数也互为相反数，即：
$1-2x + 3x - 5 = 0$
解得：$x=4$
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$得：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$
【答案】
（1）结论成立，举例如$2$和$-2$的立方根互为相反数，它们的立方$8$和$-8$也互为相反数（举例不唯一）；（2）$-1$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，代数式求值
【点评】
本题设置了猜想验证到规律应用的完整逻辑链，既考查了学生对立方根、相反数核心概念的理解，也锻炼了学生从特殊到一般的探究思维和规律迁移应用能力，是巩固立方根相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要验证猜测是否成立，只需举出符合条件的实例：先找两个互为相反数的数作为立方根，分别计算它们的立方，验证两个立方结果是否也互为相反数即可完成判断。
（2）利用第（1）问验证得到的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，可知两个立方根的被开方数之和为0，据此列出关于x的一元一次方程，解出x的取值后，代入$1-\sqrt{x}$计算即可得到结果。
【解析】
（1）举例：因为$2+(-2)=0$，且$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，有$8+(-8)=0$，即8和-8也互为相反数，因此“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”的结论成立。
（2）由（1）的验证结果可得，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数时，二者的被开方数也互为相反数，即：
$1-2x + 3x - 5 = 0$
解得：$x=4$
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$得：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$
【答案】
（1）结论成立，举例如$2$和$-2$的立方根互为相反数，它们的立方$8$和$-8$也互为相反数（举例不唯一）；（2）$-1$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，代数式求值
【点评】
本题设置了猜想验证到规律应用的完整逻辑链，既考查了学生对立方根、相反数核心概念的理解，也锻炼了学生从特殊到一般的探究思维和规律迁移应用能力，是巩固立方根相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
