20. (2025春·临潼区期中)如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8.
（1）求这个魔方的棱长EF；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的边长a；
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得点A与－1重合，点D在数轴上点A的左侧，求点D在数轴上所表示的数.

20. (1) $EF=\sqrt[3]{8}=2$,$\therefore$ 这个魔方的棱长$EF$为2；
(2) $\because a^2=EF^2×\frac{1}{2}=2^2×\frac{1}{2}=2$,$\therefore a=\sqrt{2}$($a=-\sqrt{2}$舍去),$\therefore$ 正方形$ABCD$ 的边长$a$ 为$\sqrt{2}$；
(3) $\because$ 点$D$在数轴上点$A$ 的左侧,$\therefore OD=1+\sqrt{2}$,$\therefore$ 点$D$在数轴上所表示的数为$-(1+\sqrt{2})=-1-\sqrt{2}$。

21. (2023秋·大丰区期中)如图,在△BAC中,AD⊥BC,BE是AC边上的中线,DF⊥BE于F,BD=AE.
(1)求证:BF=EF;
(2)若BE⊥AC,求∠CAD的度数.

21. (1) 证明:如图,连接$DE$,$\because AD$是边$BC$上的高,$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.$\because$ 点$E$ 是$AC$ 的中点,$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=BD$.$\because BD=AE$,$\therefore BD=DE$.$\because DF⊥ BE$.$\therefore BF=EF$；
(2) 解:$\because BE⊥ AC$,$BE$为$AC$边上的中线,$\therefore$ 线段$BE$ 在$AC$ 的垂直平分线上,$\therefore AB=CB$,同理可证,$AB=AC$,得$AD$ 平分$∠ BAC$,$\therefore AB=AC=CB$,$\therefore △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。

22. 如图，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$.
（1）求$∠ ADC$ 的度数；
（2）求证：$DC=2DB$.

22. (1) $\because AB = AC$,$∠ BAC = 120°$,$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$.$\because AB$ 的垂直平分线交$BC$ 于点$D$,$\therefore AD=BD$,$\therefore ∠ BAD=∠ B=30°$.$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°+30°=60°$；
(2) $\because ∠ ADC=60°$,$∠ C=30°$,$\therefore ∠ DAC=90°$,$\therefore AD=\frac{1}{2}CD$,$∠ BAD=30°$,$\therefore ∠ B=∠ BAD$,$\therefore BD=AD$,$\therefore DC=2DB$。

23. (2024秋·太仓市期中)【问题回顾】我们知道:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
其证明方法:如图1,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,作顶角$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$边于点$D$,利用“AAS”可以证明$△ ABD≌△ ACD$,可得$AB=AC$.其本质是利用了图形的轴对称性.
【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上,提出猜想:在三角形中,大的内角所对的边也大,即“大角对大边”.转化成数学符号语言为:
(1)已知:在$△ ABC$中,$∠ ACB＞∠ B$.求证:$AB＞AC$.
数学兴趣小组学生发现,该命题也可利用轴对称证明.作$BC$的垂直平分线,交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,连接$DC$(如图2),请你帮助数学兴趣小组完成证明.
【知识应用】
请利用在三角形中,大的内角所对的边也大,即“大角对大边”这一结论完成下列问题:
(2)已知,$△ ABC$中,$AC=3$,$BC=5$,且$∠ C＞∠ A＞∠ B$,则$AB$边的取值范围为;
(3)已知,如图3,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,点$E$为$AC$边上任意一点(不与点$A$,点$C$重合),连接$BE$交$AD$于点$F$.求证:$BF＞FE$.

23. (1) 证明:$\because DE$ 是$BC$ 的垂直平分线,$\therefore BD=CD$,在$△ ACD$ 中,$AD+CD＞AC$,$\therefore AD+BD＞AC$,$\therefore AB＞AC$；
(2) $\because AC=3$,$BC=5$,$\therefore 2＜AB＜8$.$\because ∠ C＞∠ A＞∠ B$,$\therefore AB＞BC＞AC$,$\therefore AB＞5＞3$,$\therefore 5＜AB＜8$；
(3) 证明:如图,在$AB$ 上截取$AM=AE$,连接$MF$,$\because AD$ 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ MAF=∠ EAF$,又$\because AF=AF$,$\therefore △ MAF≌△ EAF (\mathrm{SAS})$,$\therefore MF=EF$,$∠ AMF=∠ AEF$,$\therefore ∠ BMF=∠ BEC$.$\because ∠ BEC＞∠ ABE$,$\therefore ∠ BMF＞∠ ABE$,$\therefore BF＞MF$,$\therefore BF＞EF$。