1 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘－1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是 （）

1. C

【分析】
解题时首先明确坐标变换要求：各点横坐标乘-1，纵坐标保持不变。先回忆坐标变换对应的图形变化规律：点$(x,y)$横坐标变为$-x$、纵坐标不变时，得到的点$(-x,y)$与原点点关于y轴对称，即整个变换后的图形与原图形关于y轴对称。接下来结合图形判断：原小旗在第一象限，对称后的图形应在第二象限、纵坐标和原图形一致为正，先排除纵坐标变化的B、D选项；再根据关于y轴对称的图形沿y轴翻折可完全重合的特征，原小旗三角形朝右，对称后第二象限的小旗三角形应朝左，排除A选项，即可得出正确答案。
【解析】
设原小旗上任意一点的坐标为$(x,y)$，按照题目的变换要求，横坐标乘-1、纵坐标不变后，该点的坐标变为$(-x,y)$，可知变换后的点与原点点关于y轴对称，即变换后的完整图形与原第一象限的小旗关于y轴对称。
对各选项逐一判断：
选项A：左侧小旗与右侧小旗朝向相同，不关于y轴对称，不符合要求；
选项B：变换后的图形在第四象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求；
选项C：左侧第二象限的小旗与右侧第一象限的小旗关于y轴对称，对应点横坐标互为相反数、纵坐标相同，符合变换要求；
选项D：变换后的图形在第三象限，纵坐标为负，不符合“纵坐标保持不变”的要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 坐标与图形变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的坐标变换规律，解题的核心是掌握“横坐标互为相反数、纵坐标相同的两点关于y轴对称”这一规律，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

2 如图，在$3×3$的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是格点。

2. B

【分析】
解题可采用分类讨论的思路：依次将四个格点假设为原点建立平面直角坐标系，设每个小方格边长为1，写出其余三个点的坐标，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数），判断是否存在两个点关于坐标轴对称，符合条件的点即为所求原点。
【解析】
我们逐个验证每个格点作为原点的情况：
1. 若以A为原点，其余三点坐标为B(1,1)、C(2,0)、D(2,-1)，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若以B为原点，其余三点坐标为A(-1,-1)、C(1,-1)、D(1,-2)，其中A(-1,-1)和C(1,-1)纵坐标相同、横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，符合要求；
3. 若以C为原点，其余三点坐标为A(-2,0)、B(-1,1)、D(0,-1)，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若以D为原点，其余三点坐标为A(-2,1)、B(-1,2)、C(0,1)，不存在两点关于坐标轴对称，不符合要求。
因此符合条件的原点是格点B。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系的建立，关于坐标轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查坐标轴对称性质的实际应用，采用分类讨论逐个验证的方法即可求解，解题时要注意确定坐标时正负号不要混淆。
【难度系数】
0.7

3 [2025苏州工业园区期末]已知点$M(3a-2,a+6)$，分别根据下列条件求出点M的坐标.
(1) 点M在y轴上；
(2) 点N的坐标为$(3,6)$，直线$MN// y$轴；
(3) 点M到x轴、y轴的距离相等.

(1)
∵ 点$M(3a-2,a+6)$在y轴上，
∴ $3a-2=0$，解得$a=\frac{2}{3}$，
∴ $a+6=\frac{20}{3}$，
∴ 点M的坐标为$(0,\frac{20}{3})$
(2)
∵ $MN// y$轴，
∴ 点M，N的横坐标相同.
∵ $M(3a-2,a+6),N(3,6)$，
∴ $3a-2=3$，解得$a=\frac{5}{3}$，
∴ $a+6=\frac{23}{3}$，
∴ 点M的坐标为$(3,\frac{23}{3})$
(3)
∵ 点$M(3a-2,a+6)$到x轴、y轴的距离相等，
∴ $|3a-2|=|a+6|$.
∴ $3a-2=a+6$或$3a-2=-a-6$，解得$a=4$或$a=-1$. 当$a=4$时，$3a-2=10,a+6=10$，则点M的坐标为$(10,10)$；当$a=-1$时，$3a-2=-5,a+6=5$，则点M的坐标为$(-5,5)$. 综上所述，点M的坐标为$(10,10)$或$(-5,5)$

【分析】
本题围绕平面直角坐标系中点的坐标性质解题，思路如下：
(1) 回忆y轴上点的坐标特征：y轴上的点横坐标为0，因此令点M的横坐标$3a-2=0$，解出$a$后代入纵坐标表达式即可求出点M坐标；
(2) 平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，已知点N横坐标为3，因此令点M的横坐标等于3，解出$a$后代入求纵坐标，即可得到点M坐标；
(3) 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，由距离相等可得$|3a-2|=|a+6|$，分两种情况去绝对值求解$a$，再分别计算对应点M的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ 点$M(3a-2,a+6)$在y轴上，
∴ $3a-2=0$，解得$a=\frac{2}{3}$，
∴ $a+6=\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}$，
∴ 点M的坐标为$(0,\frac{20}{3})$。
(2)
∵ 直线$MN// y$轴，
∴ 点M，N的横坐标相同，
∵ $M(3a-2,a+6),N(3,6)$，
∴ $3a-2=3$，解得$a=\frac{5}{3}$，
∴ $a+6=\frac{5}{3}+6=\frac{23}{3}$，
∴ 点M的坐标为$(3,\frac{23}{3})$。
(3)
∵ 点$M(3a-2,a+6)$到x轴、y轴的距离相等，
∴ $|3a-2|=|a+6|$，
∴ $3a-2=a+6$或$3a-2=-(a+6)$，
解得$a=4$或$a=-1$。
当$a=4$时，$3a-2=10,a+6=10$，则点M的坐标为$(10,10)$；
当$a=-1$时，$3a-2=-5,a+6=5$，则点M的坐标为$(-5,5)$。
综上所述，点M的坐标为$(10,10)$或$(-5,5)$。
【答案】
(1) $(0,\frac{20}{3})$；(2) $(3,\frac{23}{3})$；(3) $(10,10)$或$(-5,5)$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征；2. 平行于y轴的直线点的坐标特征；3. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握特殊位置点的坐标性质，解题时需注意第三问的绝对值方程存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4 [2024安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)。
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）在(1)的条件下，求以B，C₁，B₁，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标。

(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求
(2) 以$B,C_1,B_1,C$为顶点的四边形的面积为$2× \frac{1}{2}× 10× 4=40$
(3) $(3,0)$或$(4,2)$或$(5,4)$或$(6,6)$(写出一个即可)
【解析】根据题意，得$AB=AC=5$，只要满足$EB=EC$，即可说明$△ ABE≌ △ ACE(\mathrm{SSS})$，此时$∠ BAE=∠ CAE$，即射线AE平分$∠ BAC$.

【分析】
（1）旋转180°的本质是中心对称，旋转中心D为对应点连线的中点，利用中点坐标公式即可求出A、B、C三点的对应点A₁、B₁、C₁的坐标，描点连线即可得到旋转后的三角形；
（2）由中心对称的性质可得DB=DB₁、DC=DC₁，即可判断四边形BC₁B₁C为平行四边形，可将其拆分为两个同底等高的三角形计算面积；
（3）先通过坐标计算得AB=AC，要使AE平分∠BAC，只需构造△ABE≌△ACE（SSS），即满足EB=EC，在网格中找到符合条件的格点E即可。
【解析】
（1）已知旋转中心为D(5,4)，旋转180°后对应点连线的中点为D：
设A₁(x₁,y₁)，则$\frac{7+x₁}{2}=5$，$\frac{8+y₁}{2}=4$，解得$x₁=3,y₁=0$，即A₁(3,0)；
设B₁(x₂,y₂)，则$\frac{2+x₂}{2}=5$，$\frac{8+y₂}{2}=4$，解得$x₂=8,y₂=0$，即B₁(8,0)；
设C₁(x₃,y₃)，则$\frac{10+x₃}{2}=5$，$\frac{4+y₃}{2}=4$，解得$x₃=0,y₃=4$，即C₁(0,4)；
在网格中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
（2）由旋转性质得$DB=DB_1$，$DC=DC_1$，因此四边形$BC_1B_1C$是平行四边形。
观察坐标可知$CC_1=10-0=10$，点B到直线$CC_1$（直线$y=4$）的距离为$8-4=4$，点$B_1$到直线$CC_1$的距离为$4-0=4$，
因此四边形面积$S=S_{△ BCC_1}+S_{△ B_1CC_1}=\frac{1}{2}×10×4+\frac{1}{2}×10×4=40$。
（3）由坐标计算得$AB=7-2=5$，$AC=\sqrt{(10-7)^2+(4-8)^2}=\sqrt{9+16}=5$，即$AB=AC$。
若$EB=EC$，结合$AE=AE$，可证$△ ABE≌△ ACE(SSS)$，此时$∠ BAE=∠ CAE$，即射线AE平分$∠ BAC$，可找到符合条件的格点E。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求
(2) $\boldsymbol{40}$
(3) $\boldsymbol{(3,0)}$（答案不唯一，$(4,2)$、$(5,4)$、$(6,6)$均可）
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形面积计算；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合网格坐标系综合考查了图形的旋转、四边形面积求解以及角平分线的判定，解题时需充分利用网格的特点，结合几何性质逐步推导，同时注意格点坐标的准确性。
【难度系数】
0.65

5 [2024 河北]在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”. 如图，长方形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最小的是 （）

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

5. B 【解析】不妨采用赋值法求解. 设$A(1.5,1),AB=3.5$，$AD=2$，则$B(5,1),C(5,3),D(1.5,3)$，此时点A，B，C，D的“特征值”分别是$\frac{2}{3},\frac{1}{5},\frac{3}{5},2$，
∴ “特征值”最小的是点B.

【分析】首先要明确题目给出的“特征值”定义：点的特征值等于该点纵坐标与横坐标的比值。已知长方形四条边与坐标轴平行，因此同一条水平边上的点纵坐标相等，同一条竖直边上的点横坐标相等。解题时可采用两种思路：一是用字母表示各点坐标，推导各点特征值后比较分式大小；二是用赋值法，给四个顶点赋予符合条件的具体坐标，计算特征值后直接比较，赋值法更直观简便。
【解析】
方法一：设第一象限内点A坐标为(a,b)（a、b均为正数），AB=m，AD=n（m、n均为正数，根据矩形边与坐标轴平行的性质，可得各点坐标：B(a+m,b)，C(a+m,b+n)，D(a,b+n)。根据特征值定义：点A特征值：$\frac{b}{a}$，点B特征值：$\frac{b}{a+m}$，点C特征值：$\frac{b+n}{a+m}$，点D特征值：$\frac{b+n}{a}$。比较大小：①A、B特征值分子相同，分母a+m＞a，故$\frac{b}{a+m}＜\frac{b}{a}$，即B特征值小于A；②B、C特征值分母相同，分子b＜b+n，故$\frac{b}{a+m}＜\frac{b+n}{a+m}$，即B特征值小于C；③B、D相比，$\frac{b}{a+m}$分子更小、分母更大，故$\frac{b}{a+m}＜\frac{b+n}{a}$，即B特征值小于D。因此特征值最小的是点B。方法二（赋值法）：设A(1.5,1)，AB=3.5，AD=2，则B(5,1)，C(5,3)，D(1.5,3)。计算各点特征值：A：$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$，B：$\frac{1}{5}=0.2$，C：$\frac{3}{5}=0.6$，D：$\frac{3}{1.5}=2$。
对比可得B的特征值最小。
【答案】B
【知识点】新定义运算，点的坐标特征，分式大小比较
【点评】本题结合新定义考查平面直角坐标系中矩形顶点的坐标规律，解题关键是正确理解“特征值”的含义，结合矩形的坐标特点分析，赋值法可简化比较过程，降低解题难度。
【难度系数】0.8