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8 [2025南通]在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,1)，连接OA。将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OB，则点A的对应点B的坐标为 （
A.(3,-1)
B.(-1,3)
C.(1,-3)
D.(-3,1)
B
）A.(3,-1)
B.(-1,3)
C.(1,-3)
D.(-3,1)
答案
8. B
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中线段绕原点旋转后对应点坐标的求解，解题思路可从两方面入手：一是利用旋转的性质，结合全等三角形推导坐标；二是记住点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律快速求解。首先明确旋转后OA=OB，旋转角∠AOB=90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，证明三角形全等即可得到对应边的长度，再结合点所在象限确定坐标符号。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OAC + ∠AOC = 90°。
由旋转的性质可知，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{array} $
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
已知A(3,1)，
∴OC=3，AC=1，
∴OD=AC=1，BD=OC=3。
又
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为(-1,3)。
方法二：利用坐标变换规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将点A(3,1)的坐标代入，得对应点B的坐标为$(-1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形变化
【点评】
本题是坐标旋转变换的基础题型，既可以通过几何推导的方式锻炼逻辑推理能力，也可以通过记忆变换规律提高解题效率，熟练掌握旋转的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中线段绕原点旋转后对应点坐标的求解，解题思路可从两方面入手：一是利用旋转的性质，结合全等三角形推导坐标；二是记住点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律快速求解。首先明确旋转后OA=OB，旋转角∠AOB=90°，通过向x轴作垂线构造直角三角形，证明三角形全等即可得到对应边的长度，再结合点所在象限确定坐标符号。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OAC + ∠AOC = 90°。
由旋转的性质可知，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{array} $
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
已知A(3,1)，
∴OC=3，AC=1，
∴OD=AC=1，BD=OC=3。
又
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为(-1,3)。
方法二：利用坐标变换规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
将点A(3,1)的坐标代入，得对应点B的坐标为$(-1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形变化
【点评】
本题是坐标旋转变换的基础题型，既可以通过几何推导的方式锻炼逻辑推理能力，也可以通过记忆变换规律提高解题效率，熟练掌握旋转的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
9 [2025 苏州工业园区段考]已知点$P(a+1,2a-3)$关于$x$轴的对称点在第一象限，则$a$的取值范围是（
A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}＜a＜1$
D.$a＞\dfrac{3}{2}$
B
）A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}＜a＜1$
D.$a＞\dfrac{3}{2}$
答案
9. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律，写出点P的对称点坐标；再根据第一象限内点的横、纵坐标均为正数的特征，列出关于a的不等式组；最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
首先，点$P(a+1,2a-3)$关于$x$轴的对称点的坐标为$(a+1, -(2a-3))$，即$(a+1, 3-2a)$。
因为该对称点在第一象限，第一象限内的点横坐标大于0，纵坐标大于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\3-2a＞0\end{cases}$
解不等式①：$a+1＞0$，移项得$a＞-1$；
解不等式②：$3-2a＞0$，移项得$2a＜3$，两边同除以2得$a＜\dfrac{3}{2}$。
因此不等式组的解集为$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；象限内点的符号特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标对称与不等式组结合的基础题型，解题的核心是准确掌握坐标对称规律和各象限点的坐标符号特点，正确列出不等式组求解即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律，写出点P的对称点坐标；再根据第一象限内点的横、纵坐标均为正数的特征，列出关于a的不等式组；最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
首先，点$P(a+1,2a-3)$关于$x$轴的对称点的坐标为$(a+1, -(2a-3))$，即$(a+1, 3-2a)$。
因为该对称点在第一象限，第一象限内的点横坐标大于0，纵坐标大于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\3-2a＞0\end{cases}$
解不等式①：$a+1＞0$，移项得$a＞-1$；
解不等式②：$3-2a＞0$，移项得$2a＜3$，两边同除以2得$a＜\dfrac{3}{2}$。
因此不等式组的解集为$-1＜a＜\dfrac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；象限内点的符号特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标对称与不等式组结合的基础题型，解题的核心是准确掌握坐标对称规律和各象限点的坐标符号特点，正确列出不等式组求解即可。
【难度系数】
0.7
10 已知在平面直角坐标系内有一个轴对称图形，$A(3,-\dfrac{5}{2})$，$B(3,-\dfrac{11}{2})$两点在此图形上互为对称点。若此图形上有一点$C(-2,-9)$，则点$C$的对称点的坐标是
(-2,1)
。答案
10. $(-2,1)$
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质：互为对称的两点连线被对称轴垂直平分，先确定该图形的对称轴。首先观察A、B两点坐标，横坐标相同，说明两点连线为竖直线，因此对称轴是与竖直线垂直的水平线，再计算两点中点的纵坐标即可得到对称轴；最后根据平行于x轴的直线对称的点的坐标特征，计算点C的对称点坐标即可。
【解析】
1. 确定对称轴：
已知点$A(3,-\dfrac{5}{2})$、$B(3,-\dfrac{11}{2})$互为对称点，两点横坐标相等，因此线段AB为竖直线段。
根据轴对称性质，对称轴垂直平分线段AB，因此对称轴为平行于x轴的直线。
计算A、B两点中点的纵坐标：$\dfrac{-\dfrac{5}{2}+(-\dfrac{11}{2})}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4$，即对称轴为直线$y=-4$。
2. 求点C的对称点：
关于直线$y=-4$对称的两点，横坐标相同，纵坐标到直线$y=-4$的距离相等。
点C坐标为$(-2,-9)$，则其对称点横坐标为$-2$，点C到对称轴的距离为$\vert -9 - (-4)\vert=5$，因此对称点纵坐标为$-4+5=1$。
即点C的对称点坐标为$(-2,1)$。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
轴对称的性质；坐标与图形变化-对称
【点评】
本题重点考查轴对称性质在平面直角坐标系中的应用，解题的关键是先通过已知对称点准确定位对称轴，再结合对称点的坐标变化规律求解，熟练掌握不同对称轴对应的点坐标变化特征可以快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用轴对称的性质：互为对称的两点连线被对称轴垂直平分，先确定该图形的对称轴。首先观察A、B两点坐标，横坐标相同，说明两点连线为竖直线，因此对称轴是与竖直线垂直的水平线，再计算两点中点的纵坐标即可得到对称轴；最后根据平行于x轴的直线对称的点的坐标特征，计算点C的对称点坐标即可。
【解析】
1. 确定对称轴：
已知点$A(3,-\dfrac{5}{2})$、$B(3,-\dfrac{11}{2})$互为对称点，两点横坐标相等，因此线段AB为竖直线段。
根据轴对称性质，对称轴垂直平分线段AB，因此对称轴为平行于x轴的直线。
计算A、B两点中点的纵坐标：$\dfrac{-\dfrac{5}{2}+(-\dfrac{11}{2})}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4$，即对称轴为直线$y=-4$。
2. 求点C的对称点：
关于直线$y=-4$对称的两点，横坐标相同，纵坐标到直线$y=-4$的距离相等。
点C坐标为$(-2,-9)$，则其对称点横坐标为$-2$，点C到对称轴的距离为$\vert -9 - (-4)\vert=5$，因此对称点纵坐标为$-4+5=1$。
即点C的对称点坐标为$(-2,1)$。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
轴对称的性质；坐标与图形变化-对称
【点评】
本题重点考查轴对称性质在平面直角坐标系中的应用，解题的关键是先通过已知对称点准确定位对称轴，再结合对称点的坐标变化规律求解，熟练掌握不同对称轴对应的点坐标变化特征可以快速解题。
【难度系数】
0.7
11 新情境 自然科普 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图所示为一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为$(-3,2)$，$(4,3)$，将银杏叶绕原点按顺时针方向旋转$90°$后，叶柄上点A的对应点的坐标为
(-3,1)
.答案
11. $(-3,1)$
解析
【分析】
首先要根据已知的B、C两点坐标确定平面直角坐标系的位置，找到原点，进而得到点A的初始坐标；再回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后对应点的坐标为$(y,-x)$，将A的初始坐标代入规律即可计算出对应点的坐标。
【解析】
1. 确定点A的初始坐标：已知$B(-3,2)$，说明B点在y轴左侧3个单位、x轴上方2个单位，因此从B点向右平移3个单位、向下平移2个单位即为坐标原点。结合格点可数得点A的坐标为$(-1,-3)$。
2. 计算旋转后对应点坐标：根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，点$(x,y)$旋转后对应点坐标为$(y,-x)$。将$A(-1,-3)$代入，可得旋转后对应点的坐标为$(-3, -(-1))$，即$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定；坐标与旋转变换
【点评】
本题结合银杏叶的生活情境考查坐标与图形旋转的应用，解题的关键是先通过已知点坐标确定坐标系得到待求点初始坐标，再准确运用旋转的坐标变换规律计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先要根据已知的B、C两点坐标确定平面直角坐标系的位置，找到原点，进而得到点A的初始坐标；再回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后对应点的坐标为$(y,-x)$，将A的初始坐标代入规律即可计算出对应点的坐标。
【解析】
1. 确定点A的初始坐标：已知$B(-3,2)$，说明B点在y轴左侧3个单位、x轴上方2个单位，因此从B点向右平移3个单位、向下平移2个单位即为坐标原点。结合格点可数得点A的坐标为$(-1,-3)$。
2. 计算旋转后对应点坐标：根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，点$(x,y)$旋转后对应点坐标为$(y,-x)$。将$A(-1,-3)$代入，可得旋转后对应点的坐标为$(-3, -(-1))$，即$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定；坐标与旋转变换
【点评】
本题结合银杏叶的生活情境考查坐标与图形旋转的应用，解题的关键是先通过已知点坐标确定坐标系得到待求点初始坐标，再准确运用旋转的坐标变换规律计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
12 [2025常熟段考]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-4,4),C(-1,-1).
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为A₁,B₁,C₁);
(2) 直线l过点(2,0)且平行于y轴,求点C关于直线l的对称点C₂的坐标;
(3) 在(2)中的直线l上找一点P,使得|PB−PC|的值最大,求最大值.
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为A₁,B₁,C₁);
(2) 直线l过点(2,0)且平行于y轴,求点C关于直线l的对称点C₂的坐标;
(3) 在(2)中的直线l上找一点P,使得|PB−PC|的值最大,求最大值.
答案
12. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求 (2) $\because$ 直线$l$过点$(2,0)$且平行于$y$轴,$\therefore$ 直线$l$如图所示. $\because C(-1,-1),\therefore$ 点$C$关于直线$l$的对称点$C_2$的横坐标为$2+2-(-1)=5$,纵坐标为$-1$,$\therefore$ 点$C$关于直线$l$的对称点$C_2$的坐标为$(5,-1)$
(3) $\because |PB-PC|≤ BC$,$\therefore$ 当$P,C,B$三点共线时,$|PB-PC|$有最大值,最大值为$BC$的长. $\because B(-4,4),C(-1,-1)$,
$\therefore BC=\sqrt{[-1-(-4)]^2+(-1-4)^2}=\sqrt{34}$,$\therefore |PB-PC|$的最大值为$\sqrt{34}$
解析
【分析】
(1) 作△ABC关于x轴的对称图形，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先求出A、B、C对应对称点的坐标，再在坐标系中标出三点并依次连线即可。
(2) 过点(2,0)且平行于y轴的直线l解析式为x=2，关于直线x=a对称的两点纵坐标不变，横坐标的平均数等于a，根据这一规律即可计算C点对称点C₂的坐标。
(3) 根据三角形三边关系，三角形任意两边之差小于第三边，因此当P、B、C三点共线时，|PB-PC|可取最大值，最大值为线段BC的长度，再用勾股定理（两点间距离公式）计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 先求对称点坐标：A(-5,1)关于x轴对称点A₁(-5,-1)，B(-4,4)关于x轴对称点B₁(-4,-4)，C(-1,-1)关于x轴对称点C₁(-1,1)，在坐标系中标出三点后依次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 由题意得直线l为x=2，设C₂坐标为(m,-1)，点C和C₂到直线l的距离相等，即$2-(-1)=m-2$，解得$m=5$，因此C₂坐标为(5,-1)。
(3) 根据三角形三边关系可得$|PB-PC|≤ BC$，当且仅当P、B、C三点共线时等号成立，此时|PB-PC|的最大值为BC的长度。
已知B(-4,4)，C(-1,-1)，代入两点间距离公式：
$BC=\sqrt{[-1-(-4)]^2+(-1-4)^2}=\sqrt{3^2+(-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
即|PB-PC|的最大值为$\sqrt{34}$。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求
(2) 点$C$关于直线$l$的对称点$C_2$的坐标为$(5,-1)$
(3) $|PB−PC|$的最大值为$\sqrt{34}$
【知识点】
轴对称与坐标变化，轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了轴对称的作图、对称点坐标计算以及线段差的最值求解，是轴对称章节的典型高频考题，既注重基础知识点的落实，也对最值问题的分析思路有一定要求，解题的核心是熟练掌握对称点的坐标规律和线段最值的处理逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 作△ABC关于x轴的对称图形，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先求出A、B、C对应对称点的坐标，再在坐标系中标出三点并依次连线即可。
(2) 过点(2,0)且平行于y轴的直线l解析式为x=2，关于直线x=a对称的两点纵坐标不变，横坐标的平均数等于a，根据这一规律即可计算C点对称点C₂的坐标。
(3) 根据三角形三边关系，三角形任意两边之差小于第三边，因此当P、B、C三点共线时，|PB-PC|可取最大值，最大值为线段BC的长度，再用勾股定理（两点间距离公式）计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 先求对称点坐标：A(-5,1)关于x轴对称点A₁(-5,-1)，B(-4,4)关于x轴对称点B₁(-4,-4)，C(-1,-1)关于x轴对称点C₁(-1,1)，在坐标系中标出三点后依次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 由题意得直线l为x=2，设C₂坐标为(m,-1)，点C和C₂到直线l的距离相等，即$2-(-1)=m-2$，解得$m=5$，因此C₂坐标为(5,-1)。
(3) 根据三角形三边关系可得$|PB-PC|≤ BC$，当且仅当P、B、C三点共线时等号成立，此时|PB-PC|的最大值为BC的长度。
已知B(-4,4)，C(-1,-1)，代入两点间距离公式：
$BC=\sqrt{[-1-(-4)]^2+(-1-4)^2}=\sqrt{3^2+(-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
即|PB-PC|的最大值为$\sqrt{34}$。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求
(2) 点$C$关于直线$l$的对称点$C_2$的坐标为$(5,-1)$
(3) $|PB−PC|$的最大值为$\sqrt{34}$
【知识点】
轴对称与坐标变化，轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了轴对称的作图、对称点坐标计算以及线段差的最值求解，是轴对称章节的典型高频考题，既注重基础知识点的落实，也对最值问题的分析思路有一定要求，解题的核心是熟练掌握对称点的坐标规律和线段最值的处理逻辑。
【难度系数】
0.7
13 新考向新定义题 对平面上任意一点$(a,b)$，定义$f,g$两种变换：$f(a,b)=(a,-b)$，$g(a,b)=(b,a)$，例如：$f(1,2)=(1,-2)$，$g(1,2)=(2,1)$。据此，得$g[f(5,-9)]=$
(9,5)
，$f[g(-9,-5)]=$(-5,9)
。答案
13. $(9,5)\ \ (-5,9)$
【解析】根据$f,g$的变换规则,得
$g[f(5,-9)]=g(5,9)=(9,5),f[g(-9,-5)]=f(-5,-9)=(-5,9).$
【解析】根据$f,g$的变换规则,得
$g[f(5,-9)]=g(5,9)=(9,5),f[g(-9,-5)]=f(-5,-9)=(-5,9).$
解析
【分析】
解答此类新定义嵌套变换的题目，要遵循“先内后外”的运算顺序：第一步先明确f、g两种变换的规则，f变换是保持横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数；g变换是交换横坐标和纵坐标的位置。第二步先计算括号内层的变换结果，再将结果代入外层变换计算即可，注意不要混淆两种变换的规则，也不要颠倒运算顺序。
【解析】
计算$g[f(5,-9)]$时，先算内层的$f(5,-9)$：
根据$f(a,b)=(a,-b)$，代入$a=5,b=-9$，得$f(5,-9)=(5,-(-9))=(5,9)$；
再算外层的$g(5,9)$：根据$g(a,b)=(b,a)$，得$g(5,9)=(9,5)$。
计算$f[g(-9,-5)]$时，先算内层的$g(-9,-5)$：
根据$g(a,b)=(b,a)$，代入$a=-9,b=-5$，得$g(-9,-5)=(-5,-9)$；
再算外层的$f(-5,-9)$：根据$f(a,b)=(a,-b)$，得$f(-5,-9)=(-5,-(-9))=(-5,9)$。
【答案】
$(9,5)$；$(-5,9)$
【知识点】
新定义运算；坐标变换；运算顺序
【点评】
本题是新定义类的基础题型，核心考查对新规则的理解应用能力和运算顺序的掌握程度，只要准确记忆两种变换的规则，按照从内到外的顺序逐步计算，就能顺利得出结果，是新定义题型中比较典型的入门考法。
【难度系数】
0.8
解答此类新定义嵌套变换的题目，要遵循“先内后外”的运算顺序：第一步先明确f、g两种变换的规则，f变换是保持横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数；g变换是交换横坐标和纵坐标的位置。第二步先计算括号内层的变换结果，再将结果代入外层变换计算即可，注意不要混淆两种变换的规则，也不要颠倒运算顺序。
【解析】
计算$g[f(5,-9)]$时，先算内层的$f(5,-9)$：
根据$f(a,b)=(a,-b)$，代入$a=5,b=-9$，得$f(5,-9)=(5,-(-9))=(5,9)$；
再算外层的$g(5,9)$：根据$g(a,b)=(b,a)$，得$g(5,9)=(9,5)$。
计算$f[g(-9,-5)]$时，先算内层的$g(-9,-5)$：
根据$g(a,b)=(b,a)$，代入$a=-9,b=-5$，得$g(-9,-5)=(-5,-9)$；
再算外层的$f(-5,-9)$：根据$f(a,b)=(a,-b)$，得$f(-5,-9)=(-5,-(-9))=(-5,9)$。
【答案】
$(9,5)$；$(-5,9)$
【知识点】
新定义运算；坐标变换；运算顺序
【点评】
本题是新定义类的基础题型，核心考查对新规则的理解应用能力和运算顺序的掌握程度，只要准确记忆两种变换的规则，按照从内到外的顺序逐步计算，就能顺利得出结果，是新定义题型中比较典型的入门考法。
【难度系数】
0.8
