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6 如图,在平面直角坐标系中,根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$P(m-1,2n)$,则$m$与$n$之间的数量关系为
m+2n=1
.答案
6. $m+2n=1$ 【解析】由作图，可知点P在第四象限的角平分线上，
∴ 点P到x轴和y轴的距离相等，即$|m-1|=|2n|$. 又
∵ 点$P(m-1,2n)$在第四象限，
∴ $m-1=-2n$，即$m+2n=1$.
∴ 点P到x轴和y轴的距离相等，即$|m-1|=|2n|$. 又
∵ 点$P(m-1,2n)$在第四象限，
∴ $m-1=-2n$，即$m+2n=1$.
解析
【分析】
首先观察尺规作图的痕迹，可知该作图为作第四象限的角平分线，因此点P在第四象限的角平分线上。接下来回忆角平分线上的点的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，对应到坐标系中就是点的横、纵坐标的绝对值相等。再结合第四象限内点的坐标符号特征（横坐标为正，纵坐标为负）去掉绝对值，最后整理式子即可得到m和n的数量关系。
【解析】
由尺规作图痕迹可得，点P在第四象限的角平分线上，因此点P到x轴和y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等，可列等式：$|m-1|=|2n|$。
已知点$P(m-1,2n)$位于第四象限，因此横坐标$m-1＞0$，纵坐标$2n＜0$，去掉绝对值得：
$m-1 = -2n$
移项后整理得：$m+2n=1$。
【答案】
$m+2n=1$
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 象限内点的坐标特征
3. 角平分线的性质
【点评】
本题结合尺规作图与平面直角坐标系的知识考查特殊点的坐标规律，解题的核心是正确识别作图类型，明确点P的位置特征，再结合坐标符号规律推导关系式，综合考查了学生的识图能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察尺规作图的痕迹，可知该作图为作第四象限的角平分线，因此点P在第四象限的角平分线上。接下来回忆角平分线上的点的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，对应到坐标系中就是点的横、纵坐标的绝对值相等。再结合第四象限内点的坐标符号特征（横坐标为正，纵坐标为负）去掉绝对值，最后整理式子即可得到m和n的数量关系。
【解析】
由尺规作图痕迹可得，点P在第四象限的角平分线上，因此点P到x轴和y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等，可列等式：$|m-1|=|2n|$。
已知点$P(m-1,2n)$位于第四象限，因此横坐标$m-1＞0$，纵坐标$2n＜0$，去掉绝对值得：
$m-1 = -2n$
移项后整理得：$m+2n=1$。
【答案】
$m+2n=1$
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 象限内点的坐标特征
3. 角平分线的性质
【点评】
本题结合尺规作图与平面直角坐标系的知识考查特殊点的坐标规律，解题的核心是正确识别作图类型，明确点P的位置特征，再结合坐标符号规律推导关系式，综合考查了学生的识图能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7
7 [2024河南]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为
(3,10)
.答案
7. $(3,10)$ 【解析】如图，设CD交y轴于点G，正方形的边长为m.
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$轴，$CD⊥ y$轴. 由折叠，得$FB=CB=m,FE=CE$.
∵ $A(-2,0),F(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，
∴ $OB=m-2$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FOB$中，$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，解得$m=10$，
∴ $AD=OG=CD=10$，
∴ $FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，解得$GE=3$，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$.
解析
【分析】
解题时我们可以结合折叠性质、正方形性质，通过两次勾股定理列方程求解：第一步先设正方形的边长为m，由折叠可知BF=BC=m，在Rt△FOB中用勾股定理列方程求出正方形的边长；第二步再设GE的长度为未知数，在Rt△FGE中再次利用勾股定理列方程求出GE的长，即可得到点E的横坐标，点E的纵坐标等于正方形的边长，进而得到E点坐标。
【解析】
如图，设CD交y轴于点G，正方形的边长为m.
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$轴，$CD⊥ y$轴.
由折叠的性质，得$FB=CB=m,FE=CE$.
∵ 点A的坐标为$(-2,0)$，点F的坐标为$(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，
∴ $OB=AB-OA=m-2$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FOB$中，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开得$m^2-4m+4+36=m^2$，
化简解得$m=10$，
∴ 正方形的边长为10，即$AD=OG=CD=10$，
∴ $FG=OG-OF=10-6=4$，$FE=CE=CD-GD-GE=10-2-GE=8-GE$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开得$GE^2+16=64-16GE+GE^2$，
化简解得$GE=3$，
∵ 点E在第一象限，横坐标等于GE的长度，纵坐标等于正方形的边长10，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$.
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠的结合题型，核心是利用折叠的全等性质转化相等线段，再通过勾股定理构造方程求解，很好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以结合折叠性质、正方形性质，通过两次勾股定理列方程求解：第一步先设正方形的边长为m，由折叠可知BF=BC=m，在Rt△FOB中用勾股定理列方程求出正方形的边长；第二步再设GE的长度为未知数，在Rt△FGE中再次利用勾股定理列方程求出GE的长，即可得到点E的横坐标，点E的纵坐标等于正方形的边长，进而得到E点坐标。
【解析】
如图，设CD交y轴于点G，正方形的边长为m.
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$轴，$CD⊥ y$轴.
由折叠的性质，得$FB=CB=m,FE=CE$.
∵ 点A的坐标为$(-2,0)$，点F的坐标为$(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，
∴ $OB=AB-OA=m-2$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FOB$中，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开得$m^2-4m+4+36=m^2$，
化简解得$m=10$，
∴ 正方形的边长为10，即$AD=OG=CD=10$，
∴ $FG=OG-OF=10-6=4$，$FE=CE=CD-GD-GE=10-2-GE=8-GE$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开得$GE^2+16=64-16GE+GE^2$，
化简解得$GE=3$，
∵ 点E在第一象限，横坐标等于GE的长度，纵坐标等于正方形的边长10，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$.
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠的结合题型，核心是利用折叠的全等性质转化相等线段，再通过勾股定理构造方程求解，很好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
8 新考向 新定义题 [2025 高新区段考]在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 到 x 轴、y 轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”,当点 Q 到 x 轴、y 轴的距离相等时,称 Q 为“完美点”.
(1) 点 A(-3,5)的“长距”为
(2) 若点 C(-2,3b-2)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,点 D 的坐标为(9-2b,-5),求证:D 是“完美点”;
(3) 若 B(4-2a,-2)是“完美点”,求 a 的值.
(1) 点 A(-3,5)的“长距”为
5
;(2) 若点 C(-2,3b-2)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,点 D 的坐标为(9-2b,-5),求证:D 是“完美点”;
(3) 若 B(4-2a,-2)是“完美点”,求 a 的值.
答案
8. (1) 5
(2) 由条件，可知点C到x轴的距离为$|3b-2|$，到y轴的距离为$|-2|=2$，
∵ 点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，
∴ $|3b-2|=4$.
∵ 点C在第二象限内，
∴ $3b-2＞0$，
∴ $3b-2=4$，
∴ $b=2$，
∴ $9-2b=9-2× 2=5$，
∴ 点D的坐标为$(5,-5)$，
∴ 点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，
∴ 点D到x轴、y轴的距离相等，
∴ D是“完美点”
(3) 由条件，可知点B到x轴的距离为$|-2|=2$，到y轴的距离为$|4-2a|$，
∵ $B(4-2a,-2)$是“完美点”，
∴ $|4-2a|=2$，
∴ $4-2a=2$或$4-2a=-2$，
∴ $a=1$或$a=3$.
(2) 由条件，可知点C到x轴的距离为$|3b-2|$，到y轴的距离为$|-2|=2$，
∵ 点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，
∴ $|3b-2|=4$.
∵ 点C在第二象限内，
∴ $3b-2＞0$，
∴ $3b-2=4$，
∴ $b=2$，
∴ $9-2b=9-2× 2=5$，
∴ 点D的坐标为$(5,-5)$，
∴ 点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，
∴ 点D到x轴、y轴的距离相等，
∴ D是“完美点”
(3) 由条件，可知点B到x轴的距离为$|-2|=2$，到y轴的距离为$|4-2a|$，
∵ $B(4-2a,-2)$是“完美点”，
∴ $|4-2a|=2$，
∴ $4-2a=2$或$4-2a=-2$，
∴ $a=1$或$a=3$.
解析
【分析】
(1) 首先明确“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，先计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即可得到结果；
(2) 先计算点C到y轴的距离为2，结合其“长距”为4，可得点C纵坐标的绝对值为4；再根据点C在第二象限，纵坐标为正，可求出b的值，代入得到点D的坐标，验证点D到x轴、y轴的距离是否相等，即可证明结论；
(3) 根据“完美点”的定义，点到x轴、y轴的距离相等，先得到点B到x轴的距离为2，因此其横坐标的绝对值也为2，解绝对值方程即可求出a的值，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，二者的较大值为5，故点A的“长距”为5。
(2) 由题意得，点C到x轴的距离为$|3b-2|$，到y轴的距离为$|-2|=2$，
∵ 点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，
∴ $|3b-2|=4$，
∵ 点C在第二象限内，第二象限的点纵坐标大于0，
∴ $3b-2＞0$，即$3b-2=4$，解得$b=2$，
∴ 点D的横坐标为$9-2b=9-2×2=5$，即D的坐标为$(5,-5)$，
∴ 点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，二者距离相等，
∴ D是“完美点”。
(3) 由题意得，点B到x轴的距离为$|-2|=2$，到y轴的距离为$|4-2a|$，
∵ $B(4-2a,-2)$是“完美点”，即点B到x轴、y轴的距离相等，
∴ $|4-2a|=2$，
∴ $4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) D是“完美点”，证明见解析；(3) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$
【知识点】
新定义问题，点的坐标特征，绝对值方程求解
【点评】
本题是典型的新定义类考题，解题核心是准确理解自定义概念的含义，结合平面直角坐标系中点的坐标性质、绝对值的运算规则求解，注意解绝对值方程时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，先计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即可得到结果；
(2) 先计算点C到y轴的距离为2，结合其“长距”为4，可得点C纵坐标的绝对值为4；再根据点C在第二象限，纵坐标为正，可求出b的值，代入得到点D的坐标，验证点D到x轴、y轴的距离是否相等，即可证明结论；
(3) 根据“完美点”的定义，点到x轴、y轴的距离相等，先得到点B到x轴的距离为2，因此其横坐标的绝对值也为2，解绝对值方程即可求出a的值，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 点A(-3,5)到x轴的距离为$|5|=5$，到y轴的距离为$|-3|=3$，二者的较大值为5，故点A的“长距”为5。
(2) 由题意得，点C到x轴的距离为$|3b-2|$，到y轴的距离为$|-2|=2$，
∵ 点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，
∴ $|3b-2|=4$，
∵ 点C在第二象限内，第二象限的点纵坐标大于0，
∴ $3b-2＞0$，即$3b-2=4$，解得$b=2$，
∴ 点D的横坐标为$9-2b=9-2×2=5$，即D的坐标为$(5,-5)$，
∴ 点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，二者距离相等，
∴ D是“完美点”。
(3) 由题意得，点B到x轴的距离为$|-2|=2$，到y轴的距离为$|4-2a|$，
∵ $B(4-2a,-2)$是“完美点”，即点B到x轴、y轴的距离相等，
∴ $|4-2a|=2$，
∴ $4-2a=2$或$4-2a=-2$，
解得$a=1$或$a=3$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) D是“完美点”，证明见解析；(3) $\boxed{a=1}$或$\boxed{a=3}$
【知识点】
新定义问题，点的坐标特征，绝对值方程求解
【点评】
本题是典型的新定义类考题，解题核心是准确理解自定义概念的含义，结合平面直角坐标系中点的坐标性质、绝对值的运算规则求解，注意解绝对值方程时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点.若以O,A,P为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有
8
个,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.答案
9. 8 满足条件的点P的坐标为$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\frac{25}{6}),(\frac{25}{8},0)$
解析
【分析】
解决本题需先求出OA的长度，再按等腰三角形的腰和底的不同情况分类讨论，同时考虑点P在x轴、y轴两种位置：①当OA为腰，O为顶角顶点时，OA=OP，以O为圆心OA长为半径画弧，找与坐标轴的交点；②当OA为腰，A为顶角顶点时，OA=AP，以A为圆心OA长为半径画弧，找与坐标轴的交点；③当OA为底时，OP=AP，作OA的垂直平分线，找与坐标轴的交点，最后汇总所有不重复的点即可。
【解析】
首先计算OA的长度：
∵点A坐标为(4,3)，由勾股定理得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三类讨论：
1. 若$OA=OP$（O为顶角顶点）：
当P在x轴上时，$OP=5$，得$P_1(5,0)$，$P_2(-5,0)$；
当P在y轴上时，$OP=5$，得$P_3(0,5)$，$P_4(0,-5)$；共4个点。
2. 若$OA=AP$（A为顶角顶点）：
当P在x轴上时，过A作x轴垂线，垂足为(4,0)，由等腰三角形三线合一，该垂足为OP中点，故P的横坐标为$4×2=8$，得$P_5(8,0)$；
当P在y轴上时，过A作y轴垂线，垂足为(0,3)，同理该垂足为OP中点，故P的纵坐标为$3×2=6$，得$P_6(0,6)$；共2个点，与上述点不重复。
3. 若$OP=AP$（OA为底边）：
设P在x轴上，坐标为$(x,0)$，由$OP=AP$得$x^2=(x-4)^2+3^2$，展开计算得$x=\frac{25}{8}$，即$P_7(\frac{25}{8},0)$；
设P在y轴上，坐标为$(0,y)$，由$OP=AP$得$y^2=4^2+(y-3)^2$，展开计算得$y=\frac{25}{6}$，即$P_8(0,\frac{25}{6})$；共2个点，与上述点不重复。
综上，满足条件的点P共有8个。
【答案】
8；$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\frac{25}{6}),(\frac{25}{8},0)$
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查分类讨论思想在等腰三角形存在性问题中的应用，解题时要明确分类标准，按腰和底边的不同情况逐一分析，同时注意点在坐标轴不同半轴的情况，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
解决本题需先求出OA的长度，再按等腰三角形的腰和底的不同情况分类讨论，同时考虑点P在x轴、y轴两种位置：①当OA为腰，O为顶角顶点时，OA=OP，以O为圆心OA长为半径画弧，找与坐标轴的交点；②当OA为腰，A为顶角顶点时，OA=AP，以A为圆心OA长为半径画弧，找与坐标轴的交点；③当OA为底时，OP=AP，作OA的垂直平分线，找与坐标轴的交点，最后汇总所有不重复的点即可。
【解析】
首先计算OA的长度：
∵点A坐标为(4,3)，由勾股定理得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三类讨论：
1. 若$OA=OP$（O为顶角顶点）：
当P在x轴上时，$OP=5$，得$P_1(5,0)$，$P_2(-5,0)$；
当P在y轴上时，$OP=5$，得$P_3(0,5)$，$P_4(0,-5)$；共4个点。
2. 若$OA=AP$（A为顶角顶点）：
当P在x轴上时，过A作x轴垂线，垂足为(4,0)，由等腰三角形三线合一，该垂足为OP中点，故P的横坐标为$4×2=8$，得$P_5(8,0)$；
当P在y轴上时，过A作y轴垂线，垂足为(0,3)，同理该垂足为OP中点，故P的纵坐标为$3×2=6$，得$P_6(0,6)$；共2个点，与上述点不重复。
3. 若$OP=AP$（OA为底边）：
设P在x轴上，坐标为$(x,0)$，由$OP=AP$得$x^2=(x-4)^2+3^2$，展开计算得$x=\frac{25}{8}$，即$P_7(\frac{25}{8},0)$；
设P在y轴上，坐标为$(0,y)$，由$OP=AP$得$y^2=4^2+(y-3)^2$，展开计算得$y=\frac{25}{6}$，即$P_8(0,\frac{25}{6})$；共2个点，与上述点不重复。
综上，满足条件的点P共有8个。
【答案】
8；$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\frac{25}{6}),(\frac{25}{8},0)$
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查分类讨论思想在等腰三角形存在性问题中的应用，解题时要明确分类标准，按腰和底边的不同情况逐一分析，同时注意点在坐标轴不同半轴的情况，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
