6 如图,在平面直角坐标系中,根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$P(m-1,2n)$,则$m$与$n$之间的数量关系为.

6. $m+2n=1$ 【解析】由作图，可知点P在第四象限的角平分线上，
∴ 点P到x轴和y轴的距离相等，即$|m-1|=|2n|$. 又
∵ 点$P(m-1,2n)$在第四象限，
∴ $m-1=-2n$，即$m+2n=1$.

7 [2024河南]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

7. $(3,10)$ 【解析】如图，设CD交y轴于点G，正方形的边长为m.
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$轴，$CD⊥ y$轴. 由折叠，得$FB=CB=m,FE=CE$.
∵ $A(-2,0),F(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，
∴ $OB=m-2$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FOB$中，$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，解得$m=10$，
∴ $AD=OG=CD=10$，
∴ $FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，解得$GE=3$，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$.

8 新考向 新定义题 [2025 高新区段考]在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 到 x 轴、y 轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”,当点 Q 到 x 轴、y 轴的距离相等时,称 Q 为“完美点”.
(1) 点 A(-3,5)的“长距”为;
(2) 若点 C(-2,3b-2)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,点 D 的坐标为(9-2b,-5),求证:D 是“完美点”;
(3) 若 B(4-2a,-2)是“完美点”,求 a 的值.

8. (1) 5
(2) 由条件，可知点C到x轴的距离为$|3b-2|$，到y轴的距离为$|-2|=2$，
∵ 点$C(-2,3b-2)$的“长距”为4，
∴ $|3b-2|=4$.
∵ 点C在第二象限内，
∴ $3b-2＞0$，
∴ $3b-2=4$，
∴ $b=2$，
∴ $9-2b=9-2× 2=5$，
∴ 点D的坐标为$(5,-5)$，
∴ 点D到x轴的距离为$|-5|=5$，到y轴的距离为$|5|=5$，
∴ 点D到x轴、y轴的距离相等，
∴ D是“完美点”
(3) 由条件，可知点B到x轴的距离为$|-2|=2$，到y轴的距离为$|4-2a|$，
∵ $B(4-2a,-2)$是“完美点”，
∴ $|4-2a|=2$，
∴ $4-2a=2$或$4-2a=-2$，
∴ $a=1$或$a=3$.

9 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点.若以O,A,P为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有个,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

9. 8 满足条件的点P的坐标为$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,\frac{25}{6}),(\frac{25}{8},0)$