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8 如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时，另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行。离开港口3小时后，两船相距 （
A.36海里
B.48海里
C.60海里
D.84海里
C
）A.36海里
B.48海里
C.60海里
D.84海里
答案
8. C
解析
【分析】
首先根据方向角的定义，东北方向与东南方向的夹角为90°，因此两艘轮船的航行路线构成直角三角形的两条直角边，两船的距离就是该直角三角形的斜边。解题步骤为：①先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船3小时行驶的路程，即直角三角形两条直角边的长度；②再利用勾股定理计算斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船3小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$ AB = 16 × 3 = 48 $（海里）
向东南方向航行的轮船行驶路程：$ AC = 12 × 3 = 36 $（海里）
因为东北方向和东南方向的夹角为$ 90° $，所以$ ∠ BAC = 90° $，$ △ ABC $是直角三角形。
根据勾股定理，斜边$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $，代入数值：
$ BC^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 $
所以$ BC = \sqrt{3600} = 60 $（海里）
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际航行场景中的基础应用题，解题的核心是根据方向特征判断出直角，再结合行程公式和勾股定理计算即可，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据方向角的定义，东北方向与东南方向的夹角为90°，因此两艘轮船的航行路线构成直角三角形的两条直角边，两船的距离就是该直角三角形的斜边。解题步骤为：①先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船3小时行驶的路程，即直角三角形两条直角边的长度；②再利用勾股定理计算斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船3小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$ AB = 16 × 3 = 48 $（海里）
向东南方向航行的轮船行驶路程：$ AC = 12 × 3 = 36 $（海里）
因为东北方向和东南方向的夹角为$ 90° $，所以$ ∠ BAC = 90° $，$ △ ABC $是直角三角形。
根据勾股定理，斜边$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $，代入数值：
$ BC^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 $
所以$ BC = \sqrt{3600} = 60 $（海里）
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际航行场景中的基础应用题，解题的核心是根据方向特征判断出直角，再结合行程公式和勾股定理计算即可，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
9 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，网格中有AB，CD，EF，GH四条线段（端点均在格点上）。其中，能构成一个直角三角形的三条线段是
AB,EF,GH
。答案
9. AB,EF,GH
解析
【分析】
要判断哪三条线段可构成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算网格中每条线段长度的平方（计算平方可省略开根号步骤，简化运算）；第二步，对四个平方值进行组合验证，找到满足两个较小平方和等于最大平方的三条线段即可。
【解析】
已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理分别计算四条线段长度的平方：
1. 线段EF：横向占1格，纵向占2格，故$EF^2=1^2+2^2=5$；
2. 线段AB：横向占2格，纵向占2格，故$AB^2=2^2+2^2=8$；
3. 线段GH：横向占3格，纵向占2格，故$GH^2=3^2+2^2=13$；
4. 线段CD：横向占4格，纵向占1格，故$CD^2=4^2+1^2=17$。
验证可得：$EF^2+AB^2=5+8=13=GH^2$，符合勾股定理的逆定理，因此AB、EF、GH可构成直角三角形。
【答案】
AB,EF,GH
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类几何基础题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是准确计算各线段的长度平方，再通过逆定理验证三边关系，此类题型是勾股定理应用板块的常见考法。
【难度系数】
0.7
要判断哪三条线段可构成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算网格中每条线段长度的平方（计算平方可省略开根号步骤，简化运算）；第二步，对四个平方值进行组合验证，找到满足两个较小平方和等于最大平方的三条线段即可。
【解析】
已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理分别计算四条线段长度的平方：
1. 线段EF：横向占1格，纵向占2格，故$EF^2=1^2+2^2=5$；
2. 线段AB：横向占2格，纵向占2格，故$AB^2=2^2+2^2=8$；
3. 线段GH：横向占3格，纵向占2格，故$GH^2=3^2+2^2=13$；
4. 线段CD：横向占4格，纵向占1格，故$CD^2=4^2+1^2=17$。
验证可得：$EF^2+AB^2=5+8=13=GH^2$，符合勾股定理的逆定理，因此AB、EF、GH可构成直角三角形。
【答案】
AB,EF,GH
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类几何基础题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是准确计算各线段的长度平方，再通过逆定理验证三边关系，此类题型是勾股定理应用板块的常见考法。
【难度系数】
0.7
10 新情境 学科融合 [2025 姑苏区期中]在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上。滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降。实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计。实验初始状态如图①所示，物体C到定滑轮A的垂直距离$AC=12\ \mathrm{dm}$，$AB+BC=24\ \mathrm{dm}$。
（1）求绳子的总长度；
（2）如图②，若滑块B向左滑动了7 dm，则此时物体C升高了多少分米？
（1）求绳子的总长度；
（2）如图②，若滑块B向左滑动了7 dm，则此时物体C升高了多少分米？
答案
10. (1) 设$AB=x\ \mathrm{dm}$,则$BC=(24-x)\mathrm{dm}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AC^2+BC^2=AB^2$,即$12^2+(24-x)^2=x^2$,解得$x=15$,$\therefore AB=15\ \mathrm{dm}$,$\therefore AB+AC=15+12=27(\mathrm{dm})$,$\therefore$ 绳子的总长度为 27 dm
(2) 如图,由(1),得$DE=24-15=9(\mathrm{dm})$,由题意可知,$BE=7\ \mathrm{dm}$,$AD=12\ \mathrm{dm}$,$AB+AC=27\ \mathrm{dm}$,$\therefore BD=BE+DE=7+9=16(\mathrm{dm})$. 由勾股定理,得$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20(\mathrm{dm})$,$\therefore AC=AB+AC-AB=27-20=7(\mathrm{dm})$,$\therefore CD=AD-AC=12-7=5(\mathrm{dm})$,$\therefore$ 此时物体 C 升高了 5 dm
解析
【分析】
（1）求绳子总长度需先求AB的长度：初始状态下△ABC为直角三角形，∠C为直角，已知AC=12dm，AB+BC=24dm，可设AB为x dm，将BC用含x的式子表示后，代入勾股定理列方程求解，再结合绳长为AB+AC即可得到结果。
（2）滑块滑动后绳长始终不变：先求出初始BC的长度，结合滑块向左滑动的距离得到滑动后B到A正下方D点的距离，利用勾股定理求出此时AB的长度，再用总绳长减去新的AB长度得到此时A到C的距离，用初始AC的长度减去该距离即为C升高的高度。
【解析】
（1）设$AB=x\ \mathrm{dm}$，由$AB+BC=24\ \mathrm{dm}$可得$BC=(24-x)\mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值：
$12^2+(24-x)^2=x^2$
展开化简得$720-48x=0$，解得$x=15$，即$AB=15\ \mathrm{dm}$。
因此绳子总长度为$AB+AC=15+12=27(\mathrm{dm})$。
（2）由（1）可得初始$BC=24-15=9(\mathrm{dm})$，滑块B向左滑动7dm后，$BD=7+9=16(\mathrm{dm})$，$AD=12\ \mathrm{dm}$保持不变。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得此时$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20(\mathrm{dm})$。
因绳长恒为27dm，故此时A到C的距离为$27-20=7(\mathrm{dm})$，物体C升高的高度为$12-7=5(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为 27 dm；
(2) 此时物体 C 升高了 5 dm
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，不变量分析
【点评】
本题是数物融合的新情境考题，结合定滑轮绳长不变的特性考查勾股定理的实际应用，解题核心是抓住绳长为定值的隐含条件，结合直角三角形性质列式计算，能有效锻炼学生的跨学科知识迁移能力和建模思维。
【难度系数】
0.7
（1）求绳子总长度需先求AB的长度：初始状态下△ABC为直角三角形，∠C为直角，已知AC=12dm，AB+BC=24dm，可设AB为x dm，将BC用含x的式子表示后，代入勾股定理列方程求解，再结合绳长为AB+AC即可得到结果。
（2）滑块滑动后绳长始终不变：先求出初始BC的长度，结合滑块向左滑动的距离得到滑动后B到A正下方D点的距离，利用勾股定理求出此时AB的长度，再用总绳长减去新的AB长度得到此时A到C的距离，用初始AC的长度减去该距离即为C升高的高度。
【解析】
（1）设$AB=x\ \mathrm{dm}$，由$AB+BC=24\ \mathrm{dm}$可得$BC=(24-x)\mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值：
$12^2+(24-x)^2=x^2$
展开化简得$720-48x=0$，解得$x=15$，即$AB=15\ \mathrm{dm}$。
因此绳子总长度为$AB+AC=15+12=27(\mathrm{dm})$。
（2）由（1）可得初始$BC=24-15=9(\mathrm{dm})$，滑块B向左滑动7dm后，$BD=7+9=16(\mathrm{dm})$，$AD=12\ \mathrm{dm}$保持不变。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得此时$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20(\mathrm{dm})$。
因绳长恒为27dm，故此时A到C的距离为$27-20=7(\mathrm{dm})$，物体C升高的高度为$12-7=5(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为 27 dm；
(2) 此时物体 C 升高了 5 dm
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，不变量分析
【点评】
本题是数物融合的新情境考题，结合定滑轮绳长不变的特性考查勾股定理的实际应用，解题核心是抓住绳长为定值的隐含条件，结合直角三角形性质列式计算，能有效锻炼学生的跨学科知识迁移能力和建模思维。
【难度系数】
0.7
11 如图,圆柱形玻璃杯的高为 16 cm,底面周长为 24 cm.一只蚂蚁在杯外壁、离杯上沿 5.5 cm 的点 A 处.蚂蚁发现,在与它相对的杯壁点 B 处有一滴蜂蜜,已知点 B 距离杯底 5.5 cm.
(1) 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行多远就能吃到蜂蜜?
(2) [2025 遂宁改编]若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行多远(杯壁厚度不计)?
(第 11 题)
(1) 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行多远就能吃到蜂蜜?
(2) [2025 遂宁改编]若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行多远(杯壁厚度不计)?
(第 11 题)
答案
11. (1) 如图①,过点 A 作$AH⊥ MN$于点 H,连接 AB. 由题意,得$AH=12\ \mathrm{cm}$,$BH=16-2×5.5=5(\mathrm{cm})$.$\because AB^2=BH^2+AH^2$,$\therefore AB=13\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行 13 cm 就能吃到蜂蜜
(2) 如图②,作点 A 关于 PM 的对称点$A'$,过点$A'$作直线 MN 的垂线,垂足为 D,连接$A'B$,易得$MD=PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm}$,$BD=16-5.5+5.5=16(\mathrm{cm})$,$A'D=12\ \mathrm{cm}$.$\because A'B^2=A'D^2+BD^2$,$\therefore A'B=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行 20 cm
解析
【分析】
解决圆柱表面蚂蚁爬行最短路径问题的核心思路是：将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。
(1) 蜂蜜和蚂蚁都在杯外壁时，直接展开圆柱侧面，连接A、B两点，线段AB即为最短路径，只需构造直角三角形，求出两条直角边的长度，用勾股定理计算AB即可。
(2) 蜂蜜在杯内壁、蚂蚁在杯外壁时，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，此时作点A关于杯口所在直线的对称点$A'$，可将A到杯口的距离转化为$A'$到杯口的距离，连接$A'B$，线段$A'B$的长度就是最短路径，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 将圆柱侧面沿过点A的母线展开得到长方形，如图①，过点A作$AH ⊥ MN$于点H，连接AB。
由题意得：$AH$等于底面周长的一半，即$AH=\frac{24}{2}=12\ \mathrm{cm}$，
A、B的竖直高度差$BH=16-5.5-5.5=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，根据勾股定理$AB^2=AH^2+BH^2$，
代入得$AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 将圆柱侧面沿过点A的母线展开，如图②，作点A关于杯口所在直线PM的对称点$A'$，过点$A'$作直线MN的垂线，垂足为D，连接$A'B$。
由对称性质得$PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm}$，
水平距离$A'D=\frac{24}{2}=12\ \mathrm{cm}$，
竖直距离$BD=16-5.5+5.5=16\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，根据勾股定理$A'B^2=A'D^2+BD^2$，
代入得$A'B=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 蚂蚁最少应爬行$\boxed{13\ \mathrm{cm}}$就能吃到蜂蜜；
(2) 蚂蚁最少应爬行$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$就能吃到蜂蜜。
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱侧面展开图；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是将立体图形的侧面转化为平面图形，针对同侧、异侧的路径问题选择直接连线或对称法转化，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
解决圆柱表面蚂蚁爬行最短路径问题的核心思路是：将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。
(1) 蜂蜜和蚂蚁都在杯外壁时，直接展开圆柱侧面，连接A、B两点，线段AB即为最短路径，只需构造直角三角形，求出两条直角边的长度，用勾股定理计算AB即可。
(2) 蜂蜜在杯内壁、蚂蚁在杯外壁时，蚂蚁需要先爬到杯口再进入内壁，此时作点A关于杯口所在直线的对称点$A'$，可将A到杯口的距离转化为$A'$到杯口的距离，连接$A'B$，线段$A'B$的长度就是最短路径，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 将圆柱侧面沿过点A的母线展开得到长方形，如图①，过点A作$AH ⊥ MN$于点H，连接AB。
由题意得：$AH$等于底面周长的一半，即$AH=\frac{24}{2}=12\ \mathrm{cm}$，
A、B的竖直高度差$BH=16-5.5-5.5=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，根据勾股定理$AB^2=AH^2+BH^2$，
代入得$AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 将圆柱侧面沿过点A的母线展开，如图②，作点A关于杯口所在直线PM的对称点$A'$，过点$A'$作直线MN的垂线，垂足为D，连接$A'B$。
由对称性质得$PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm}$，
水平距离$A'D=\frac{24}{2}=12\ \mathrm{cm}$，
竖直距离$BD=16-5.5+5.5=16\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，根据勾股定理$A'B^2=A'D^2+BD^2$，
代入得$A'B=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 蚂蚁最少应爬行$\boxed{13\ \mathrm{cm}}$就能吃到蜂蜜；
(2) 蚂蚁最少应爬行$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$就能吃到蜂蜜。
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱侧面展开图；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是将立体图形的侧面转化为平面图形，针对同侧、异侧的路径问题选择直接连线或对称法转化，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
