1 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，根据尺规作图的痕迹作射线$AG$，交$BC$于点$D$，则$BD$的长为 （）

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
（第1题）

1. D

2 分类讨论思想 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3.若P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为.

2. $\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$
【解析】$\because △ABC$ 为等腰直角三角形，$∠ C=90°,AC=3,\therefore BC=AC=3.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACP$ 中,$AP^2 = AC^2+PC^2.\because P$ 为边 $BC$ 的三等分点,$\therefore$ ① 当 $PC=\dfrac{1}{3}BC=1$ 时,$AP=\sqrt{10};$② 当 $PC=\dfrac{2}{3}BC=2$ 时,$AP=\sqrt{13}.$ 综上所述，$AP$ 的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}.$

3 整体思想 设a,b是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值为.

3. 3
【解析】根据题意,得 $a+b+2.5=6,$ 即 $a+b=3.5$，$a^2+b^2=2.5^2$①. 将 $a+b=3.5$ 两边平方,得 $a^2+2ab+b^2=12.25$②. 由②$-$①,得 $2ab=6,$即 $ab=3.$

4 [2025高新区段考]如图,在$Rt△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$.若$S_3+S_2-S_1=18$,则涂色部分的面积为.

4. $\dfrac{9}{2}$
【解析】在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC^2+AB^2=BC^2$,即 $S_1+S_2=S_3.\because S_3+S_2-S_1=18,\therefore S_2=9.$ 由图形可知,涂色部分的面积$=\dfrac{1}{2}S_2,\therefore$ 涂色部分的面积$=\dfrac{9}{2}.$

5 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示$-\sqrt{10}$的点.

5. 作法不唯一,如图,点 A 即为所求

6 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上一点.求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD²＋DB²＝2CD².

6. (1) $\because △ ACB$ 和 $△ ECD$ 都是等腰直角三角形，$\therefore AC=BC, CD = CE. \because ∠ ACB = ∠ ECD = 90°, \therefore ∠ BCD+∠ ACD=∠ ACE+∠ ACD,\therefore ∠ BCD=∠ ACE.$ 在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACE=∠ BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$$\therefore △ ACE≌△ BCD$
(2) $\because △ ACB$ 是等腰直角三角形，$\therefore ∠ B = ∠ BAC = 45°.$
$\because △ ACE ≌ △ BCD, \therefore EA = DB, ∠ CAE = ∠ B = 45°,$
$\therefore ∠ DAE = ∠ CAE + ∠ BAC = 45° + 45° = 90°, \therefore AD^2+EA^2=DE^2,\therefore AD^2+DB^2=DE^2.$ 又 $\because △ ECD$ 是等腰直角三角形,$\therefore CD^2+CE^2=2CD^2=DE^2,\therefore AD^2+DB^2=2CD^2$