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1 [2025 姑苏区期中]如图，AB是$\odot O$的弦，点C，D都在$\odot O$上.若$∠ ACB=40°$，则$∠ ADB$的度数为（
A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
（第1题）
B
）A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
首先观察待求角∠ADB和已知角∠ACB的位置：两个角的顶点都在⊙O上，两边均与圆相交，都属于圆周角；再判断两个角所对的弧，二者均对应弧AB。结合圆周角的性质：同弧所对的圆周角相等，即可直接推出两个角的大小相等，从而得到∠ADB的度数。
【解析】
∵∠ACB与∠ADB都是⊙O中弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB=40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别两个角所对的公共弧，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
首先观察待求角∠ADB和已知角∠ACB的位置：两个角的顶点都在⊙O上，两边均与圆相交，都属于圆周角；再判断两个角所对的弧，二者均对应弧AB。结合圆周角的性质：同弧所对的圆周角相等，即可直接推出两个角的大小相等，从而得到∠ADB的度数。
【解析】
∵∠ACB与∠ADB都是⊙O中弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB=40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别两个角所对的公共弧，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2 如图，点O为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，$∠ AOC=108°$，点D在AB的延长线上，$BD=BC$，则$∠ D$的度数为（
A.$27°$
B.$30°$
C.$33°$
D.$54°$
A
）A.$27°$
B.$30°$
C.$33°$
D.$54°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件BD=BC入手，可得到等腰△BCD中∠D=∠BCD，再结合三角形外角性质可得∠ABC=2∠D，接下来只需计算出∠ABC的度数即可得到∠D的大小；已知圆心角∠AOC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可直接求出∠ABC的度数，最后代入数量关系计算即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC=108°
∴ $∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×108°=54°$
2.
∵ BD=BC，
∴ △BCD为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ D=∠ BCD$
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠ABC是△BCD的外角
∴ $∠ ABC = ∠ D + ∠ BCD = 2∠ D$
4. 代入$∠ ABC=54°$，得$∠ D = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×54°=27°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是梳理清楚角之间的数量关系，熟练运用相关性质定理推导，是圆周角相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BD=BC入手，可得到等腰△BCD中∠D=∠BCD，再结合三角形外角性质可得∠ABC=2∠D，接下来只需计算出∠ABC的度数即可得到∠D的大小；已知圆心角∠AOC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可直接求出∠ABC的度数，最后代入数量关系计算即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC=108°
∴ $∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×108°=54°$
2.
∵ BD=BC，
∴ △BCD为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ D=∠ BCD$
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠ABC是△BCD的外角
∴ $∠ ABC = ∠ D + ∠ BCD = 2∠ D$
4. 代入$∠ ABC=54°$，得$∠ D = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×54°=27°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是梳理清楚角之间的数量关系，熟练运用相关性质定理推导，是圆周角相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
3 [2025 苏州工业园区期中]如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。若$∠ D=25°$，则$∠ 1=$
50°
。答案
3. 50°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先确定已知圆周角∠D所对的弧是$\overset{\frown}{AB}$，结合圆周角定理，可求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数；2. 再根据题目给出的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，利用同圆中等弧所对的圆心角相等的性质，即可得出∠1的度数。
【解析】
∵ ∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角 = $2∠D = 2×25° = 50°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，∠1是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ $∠1 = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准角与弧的对应关系，熟练掌握圆周角定理和等弧的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先确定已知圆周角∠D所对的弧是$\overset{\frown}{AB}$，结合圆周角定理，可求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数；2. 再根据题目给出的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，利用同圆中等弧所对的圆心角相等的性质，即可得出∠1的度数。
【解析】
∵ ∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角 = $2∠D = 2×25° = 50°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，∠1是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ $∠1 = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准角与弧的对应关系，熟练掌握圆周角定理和等弧的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4 [2025 滨州改编]如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，$OC ⊥ AB$，$∠ AOC = 60°$，则$∠ BDC$的度数为________
答案
4. 30°
解析
【分析】
解题时先从已知条件$OC⊥AB$入手，结合垂径定理可推出$OC$平分弦$AB$所对的弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由此得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角和$∠ AOC$相等；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
解：$\because OC⊥ AB$，且$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=60°$，
又$\because ∠ BDC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
$\therefore$由圆周角定理得：$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，核心是通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角与圆心角的数量关系求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$OC⊥AB$入手，结合垂径定理可推出$OC$平分弦$AB$所对的弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由此得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角和$∠ AOC$相等；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
解：$\because OC⊥ AB$，且$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=60°$，
又$\because ∠ BDC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
$\therefore$由圆周角定理得：$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，核心是通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角与圆心角的数量关系求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5 [2025广西]如图，AB是$\odot O$的直径，点$C$，$D$在$\odot O$上，$∠ ABC=65°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
（1）求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
（2）求$∠ ABD$的度数。
（1）求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
（2）求$∠ ABD$的度数。
答案
(1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ BOC=∠ DOC.\because OB=OD,OC=OC,\therefore △ BOC≌△ DOC$
(2) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},∠ ABC=65°,\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=130°,\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-130°=50°.$
$\because ∠ BOC = ∠ DOC,\therefore ∠ DOC = 50°,\therefore ∠ AOD= ∠ AOC -∠ DOC=80°.\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD},\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$
(2) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},∠ ABC=65°,\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=130°,\therefore ∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-130°=50°.$
$\because ∠ BOC = ∠ DOC,\therefore ∠ DOC = 50°,\therefore ∠ AOD= ∠ AOC -∠ DOC=80°.\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD},\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$
解析
【分析】
（1）要证明△BOC≌△DOC，首先根据已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得∠BOC=∠DOC；再观察两个三角形的边：OB、OD都是$\odot O$的半径，故OB=OD，OC是两个三角形的公共边，满足SAS全等判定条件，即可证全等。
（2）要求∠ABD的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此只需要求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD的度数即可。首先由∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，先求出对应的圆心角∠AOC的度数，再结合平角180°求出∠BOC的度数，再由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得∠DOC=∠BOC，最后用平角180°减去∠BOC和∠DOC的度数得到∠AOD，即可求出∠ABD。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠BOC=∠DOC$（同圆中相等的弧所对的圆心角相等），
又$\because OB=OD$（都是$\odot O$的半径），$OC=OC$（公共边），
$\therefore △BOC≌△DOC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because ∠ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
$\therefore ∠AOC=2∠ABC$（圆周角定理），
$\because ∠ABC=65°$，
$\therefore ∠AOC=2×65°=130°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠AOB=180°$，
$\therefore ∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-130°=50°$，
由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得$∠DOC=∠BOC=50°$，
$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠BOC-∠DOC=180°-50°-50°=80°$，
又$\because ∠ABD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
（1）△BOC≌△DOC得证；（2）$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 全等三角形的判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆中弧与圆心角、圆周角的对应关系，结合全等三角形的判定定理即可逐步推导得出结论，解题时注意找准角对应的弧，避免混淆角的关系。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△BOC≌△DOC，首先根据已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，结合同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得∠BOC=∠DOC；再观察两个三角形的边：OB、OD都是$\odot O$的半径，故OB=OD，OC是两个三角形的公共边，满足SAS全等判定条件，即可证全等。
（2）要求∠ABD的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此只需要求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD的度数即可。首先由∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，先求出对应的圆心角∠AOC的度数，再结合平角180°求出∠BOC的度数，再由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得∠DOC=∠BOC，最后用平角180°减去∠BOC和∠DOC的度数得到∠AOD，即可求出∠ABD。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠BOC=∠DOC$（同圆中相等的弧所对的圆心角相等），
又$\because OB=OD$（都是$\odot O$的半径），$OC=OC$（公共边），
$\therefore △BOC≌△DOC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because ∠ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
$\therefore ∠AOC=2∠ABC$（圆周角定理），
$\because ∠ABC=65°$，
$\therefore ∠AOC=2×65°=130°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠AOB=180°$，
$\therefore ∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-130°=50°$，
由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$得$∠DOC=∠BOC=50°$，
$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠BOC-∠DOC=180°-50°-50°=80°$，
又$\because ∠ABD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
（1）△BOC≌△DOC得证；（2）$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 全等三角形的判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆中弧与圆心角、圆周角的对应关系，结合全等三角形的判定定理即可逐步推导得出结论，解题时注意找准角对应的弧，避免混淆角的关系。
【难度系数】
0.7
6 [2025 苏州工业园区段考]如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，$OF⊥ OC$，交$\odot O$于点F，则$∠ BAF$的度数为（
A.$12.5°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$22.5°$
B
）A.$12.5°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$22.5°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形ABCO的形状，推导得到相关圆心角的度数；再根据OF⊥OC的条件，求出弧BF对应的圆心角度数；最后利用圆周角定理，即可计算出∠BAF的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径，即OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，可得OA=AB=OB=OC，
∴△OAB、△OBC都是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COF-∠BOC=90°-60°=30°，
∵圆周角∠BAF和圆心角∠BOF同对弧BF，根据圆周角定理，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BOF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆与特殊四边形的综合题，解题核心是通过半径相等推出菱形，进一步得到等边三角形确定圆心角的度数，再结合圆周角定理求解，能很好地考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形ABCO的形状，推导得到相关圆心角的度数；再根据OF⊥OC的条件，求出弧BF对应的圆心角度数；最后利用圆周角定理，即可计算出∠BAF的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径，即OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，可得OA=AB=OB=OC，
∴△OAB、△OBC都是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COF-∠BOC=90°-60°=30°，
∵圆周角∠BAF和圆心角∠BOF同对弧BF，根据圆周角定理，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BOF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆与特殊四边形的综合题，解题核心是通过半径相等推出菱形，进一步得到等边三角形确定圆心角的度数，再结合圆周角定理求解，能很好地考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
