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7 [2025 湖北]如图，△ABC内接于$\odot O$，$∠ BAC=30°$.分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长，交$\odot O$于点E，连接OA，OE，则$∠ AOE$的度数是 （
A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
（第7题）
C
）A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
（第7题）答案
7.C
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果：直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠BAC；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形，$∠ ABD = ∠ BAC = 30°$，即$∠ ABE=30°$。
2. $∠ ABE$是$\odot O$中弧$AE$所对的圆周角，$∠ AOE$是弧$AE$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOE = 2∠ ABE = 2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题侧重考察基础知识点的综合应用，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合几何性质逐步推导角的关系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的结果：直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠BAC；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形，$∠ ABD = ∠ BAC = 30°$，即$∠ ABE=30°$。
2. $∠ ABE$是$\odot O$中弧$AE$所对的圆周角，$∠ AOE$是弧$AE$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOE = 2∠ ABE = 2×30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题侧重考察基础知识点的综合应用，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合几何性质逐步推导角的关系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8 [2025 宜宾]如图，∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=
50
°.答案
8. 50
解析
【分析】
要求∠OBC的度数，首先观察∠OBC在△OBC中，OB和OC是圆的半径，因此△OBC是等腰三角形，只需要先求出顶角∠BOC的度数，再利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求解。∠BOC是弧BC对应的圆心角，已知∠BAC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可先求出∠BOC的度数，再进一步计算∠OBC。
【解析】
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=40°，代入得∠BOC=2×40°=80°
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB
在△OBC中，根据三角形内角和为180°：
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
代入∠OCB=∠OBC、∠BOC=80°得：
2∠OBC + 80° = 180°
解得∠OBC = (180°-80°)÷2 = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆周角定理和等腰三角形性质的综合应用，熟练掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求∠OBC的度数，首先观察∠OBC在△OBC中，OB和OC是圆的半径，因此△OBC是等腰三角形，只需要先求出顶角∠BOC的度数，再利用等腰三角形性质和三角形内角和即可求解。∠BOC是弧BC对应的圆心角，已知∠BAC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可先求出∠BOC的度数，再进一步计算∠OBC。
【解析】
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=40°，代入得∠BOC=2×40°=80°
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB
在△OBC中，根据三角形内角和为180°：
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
代入∠OCB=∠OBC、∠BOC=80°得：
2∠OBC + 80° = 180°
解得∠OBC = (180°-80°)÷2 = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆周角定理和等腰三角形性质的综合应用，熟练掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P.若$∠ P=30°$，$∠ AOC=80°$，则BD的度数是
20°
.答案
9. 20°
解析
【分析】
解题时首先明确弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，因此要求弧BD的度数，可先求弧BD所对的圆周角的度数。第一步，根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出它所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，利用三角形外角的性质，结合已知的∠P的度数，求出圆周角∠C的度数；第三步，∠C恰好是弧BD所对的圆周角，乘以2即可得到弧BD的度数。
【解析】
解：
∵ 弧AC所对的圆心角为∠AOC=80°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ 弧AC所对的圆周角$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
∵ ∠ABC是△PBC的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ ABC = ∠ P + ∠ C$。
已知∠P=30°，代入得：$∠ C = ∠ ABC - ∠ P = 40° - 30° = 10°$。
又
∵ ∠C是弧BD所对的圆周角，弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，
∴ 弧BD的度数 = $2 × ∠ C = 2 × 10° = 20°$。
【答案】
20°
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；弧的度数定义
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是通过圆周角定理和三角形外角性质实现角度的转化，建立已知角和未知弧所对圆周角的联系，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，因此要求弧BD的度数，可先求弧BD所对的圆周角的度数。第一步，根据圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出它所对的圆周角∠ABC的度数；第二步，利用三角形外角的性质，结合已知的∠P的度数，求出圆周角∠C的度数；第三步，∠C恰好是弧BD所对的圆周角，乘以2即可得到弧BD的度数。
【解析】
解：
∵ 弧AC所对的圆心角为∠AOC=80°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ 弧AC所对的圆周角$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
∵ ∠ABC是△PBC的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ ABC = ∠ P + ∠ C$。
已知∠P=30°，代入得：$∠ C = ∠ ABC - ∠ P = 40° - 30° = 10°$。
又
∵ ∠C是弧BD所对的圆周角，弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，
∴ 弧BD的度数 = $2 × ∠ C = 2 × 10° = 20°$。
【答案】
20°
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质；弧的度数定义
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是通过圆周角定理和三角形外角性质实现角度的转化，建立已知角和未知弧所对圆周角的联系，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
10 转化与化归思想 如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2。若$∠ C=45°$，则DG的长为
$\sqrt{2}$
。答案
10. $\sqrt{2}$ 【解析】连接AO,BO,AB.根据圆周角定理,得$∠ AOB=2∠ C=90°$.在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,根据勾股定理,可得$AB=2\sqrt{2}$.在$△ CAB$中,根据三角形的中位线定理,可得$DG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此DG的长度等于AB长度的一半，故只需先求出弦AB的长度即可。要求AB的长度，结合已知∠C是弧AB所对的圆周角，可利用圆周角定理求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，再结合圆的半径，用勾股定理即可求出AB的长度，最终得到DG的长。
【解析】
连接AO、BO、AB。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$的半径为2，因此$AO=BO=2$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题的核心是通过添加辅助线，将未知线段的求解转化为与已知条件相关的线段计算，巧妙运用转化思想简化了求解过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此DG的长度等于AB长度的一半，故只需先求出弦AB的长度即可。要求AB的长度，结合已知∠C是弧AB所对的圆周角，可利用圆周角定理求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，再结合圆的半径，用勾股定理即可求出AB的长度，最终得到DG的长。
【解析】
连接AO、BO、AB。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$的半径为2，因此$AO=BO=2$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题的核心是通过添加辅助线，将未知线段的求解转化为与已知条件相关的线段计算，巧妙运用转化思想简化了求解过程。
【难度系数】
0.7
11 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD与BC不平行,过点C作CE//AD,交△ABC的外接圆⊙O于点E,连接AE,CO.求证:
(1) 四边形AECD为平行四边形;
(2) CO平分∠BCE.
(1) 四边形AECD为平行四边形;
(2) CO平分∠BCE.
答案
(1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ ABC=∠ AEC.\because ∠ ABC=∠ D,\therefore ∠ AEC=∠ D.\because CE// AD,\therefore ∠ D+∠ ECD=180°,\therefore ∠ AEC+∠ ECD=180°,\therefore AE// CD,\therefore$ 四边形AECD为平行四边形
(2) 如图,连接OE,OB. $\because$ 四边形AECD 为平行四边形,$\therefore AD=EC$.$\because AD=BC,\therefore EC=BC$. 又$\because OC=OC,OE=OB,\therefore △ COE≌△ COB,\therefore ∠ OCE=∠ OCB$,即 CO 平分$∠ BCE$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECD是平行四边形，已知CE//AD，因此只需证明另一组对边AE//CD即可。首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABC=∠AEC，结合已知∠B=∠D，推出∠AEC=∠D；再根据平行线的同旁内角互补，可得∠D+∠ECD=180°，等量代换后得到∠AEC+∠ECD=180°，即可推出AE//CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证。
(2) 要证明CO平分∠BCE，即证明∠OCE=∠OCB。首先根据平行四边形的性质得到AD=EC，结合已知AD=BC，推出EC=BC；再连接OE、OB，利用同圆的半径相等得OE=OB，加上公共边OC=OC，可通过SSS证明△COE≌△COB，根据全等三角形对应角相等即可得到∠OCE=∠OCB，得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ABC=∠ AEC$。
∵ $∠ ABC=∠ D$，
∴ $∠ AEC=∠ D$。
∵ $CE// AD$，
∴ $∠ D+∠ ECD=180°$，
∴ $∠ AEC+∠ ECD=180°$，
∴ $AE// CD$，
∴ 四边形AECD为平行四边形。
(2) 证明：如图，连接OE，OB。
∵ 四边形AECD为平行四边形，
∴ $AD=EC$。
∵ $AD=BC$，
∴ $EC=BC$。
又
∵ $OC=OC$，$OE=OB$（同圆的半径相等），
∴ $△ COE≌△ COB$（SSS），
∴ $∠ OCE=∠ OCB$，即CO平分$∠ BCE$。
【答案】
(1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ ABC=∠ AEC.\because ∠ ABC=∠ D,\therefore ∠ AEC=∠ D.\because CE// AD,\therefore ∠ D+∠ ECD=180°,\therefore ∠ AEC+∠ ECD=180°,\therefore AE// CD,\therefore$ 四边形AECD为平行四边形
(2) 如图,连接OE,OB. $\because$ 四边形AECD 为平行四边形,$\therefore AD=EC$.$\because AD=BC,\therefore EC=BC$. 又$\because OC=OC,OE=OB,\therefore △ COE≌△ COB,\therefore ∠ OCE=∠ OCB$,即 CO 平分$∠ BCE$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、平行四边形的判定以及全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、同圆半径相等的性质，合理构造全等三角形证明角相等，侧重对基础定理综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AECD是平行四边形，已知CE//AD，因此只需证明另一组对边AE//CD即可。首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABC=∠AEC，结合已知∠B=∠D，推出∠AEC=∠D；再根据平行线的同旁内角互补，可得∠D+∠ECD=180°，等量代换后得到∠AEC+∠ECD=180°，即可推出AE//CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证。
(2) 要证明CO平分∠BCE，即证明∠OCE=∠OCB。首先根据平行四边形的性质得到AD=EC，结合已知AD=BC，推出EC=BC；再连接OE、OB，利用同圆的半径相等得OE=OB，加上公共边OC=OC，可通过SSS证明△COE≌△COB，根据全等三角形对应角相等即可得到∠OCE=∠OCB，得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $∠ ABC=∠ AEC$。
∵ $∠ ABC=∠ D$，
∴ $∠ AEC=∠ D$。
∵ $CE// AD$，
∴ $∠ D+∠ ECD=180°$，
∴ $∠ AEC+∠ ECD=180°$，
∴ $AE// CD$，
∴ 四边形AECD为平行四边形。
(2) 证明：如图，连接OE，OB。
∵ 四边形AECD为平行四边形，
∴ $AD=EC$。
∵ $AD=BC$，
∴ $EC=BC$。
又
∵ $OC=OC$，$OE=OB$（同圆的半径相等），
∴ $△ COE≌△ COB$（SSS），
∴ $∠ OCE=∠ OCB$，即CO平分$∠ BCE$。
【答案】
(1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ ABC=∠ AEC.\because ∠ ABC=∠ D,\therefore ∠ AEC=∠ D.\because CE// AD,\therefore ∠ D+∠ ECD=180°,\therefore ∠ AEC+∠ ECD=180°,\therefore AE// CD,\therefore$ 四边形AECD为平行四边形
(2) 如图,连接OE,OB. $\because$ 四边形AECD 为平行四边形,$\therefore AD=EC$.$\because AD=BC,\therefore EC=BC$. 又$\because OC=OC,OE=OB,\therefore △ COE≌△ COB,\therefore ∠ OCE=∠ OCB$,即 CO 平分$∠ BCE$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、平行四边形的判定以及全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、同圆半径相等的性质，合理构造全等三角形证明角相等，侧重对基础定理综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12 如图,四边形ABCD的四个顶点均在$\odot O$上,$BC// AD$,$AC⊥ BD$,$∠ AOD=120°$,$AD=\sqrt{3}$.
(1) 求$∠ CAO$的度数;
(2) BC 的长为
(1) 求$∠ CAO$的度数;
(2) BC 的长为
1
.答案
(1) 如图,设AC,BD交于点E. $\because AC⊥ BD,\therefore ∠ AED=90°$.$\because BC// AD,\therefore ∠ DBC=∠ ADB.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ DBC=∠ DAC,\therefore ∠ ADB=∠ DAC,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ ADB=∠ DAC=45°$.
$\because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA.\because$ 在$△ OAD$中,$∠ AOD=120°,\therefore ∠ OAD=30°,\therefore ∠ CAO=∠ DAC-∠ OAD=15°$
(2) 1 【解析】如图,连接OB,OC,过点O作$OH⊥ AD$,垂足为H.
$\because OA=OD,OH⊥ AD,\therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}.\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OHA$中,$∠ OAH=30°,\therefore$ 易得$OH=\frac{1}{2}OA$.在$\mathrm{Rt}△ OHA$中,由勾股定理,得$OH^2+AH^2=OA^2,\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=OA^2$,解得$OA=1$(负值舍去). $\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ COD=2∠ DAC=90°$.同理,得$∠ AOB=90°.\because ∠ AOD=120°,\therefore ∠ BOC=360°-90°-90°-120°=60°$.
$\because OB=OC,\therefore △ OBC$是等边三角形,$\therefore BC=OB.\because OB=OA=1,\therefore BC=1$.
解析
【分析】
(1) 求∠CAO的度数可通过作差求解：先结合AC⊥BD、BC//AD的条件，利用圆周角定理推出△AED为等腰直角三角形，得到∠DAC=45°；再根据等腰△OAD中∠AOD=120°，求出底角∠OAD=30°，二者作差即可得到∠CAO的度数。
(2) 求BC的长先求⊙O半径：通过垂径定理和勾股定理算出半径OA=1；再根据圆周角与圆心角的关系求出∠AOB、∠COD均为90°，进而推出∠BOC=60°，判定△OBC为等边三角形，即可得到BC的长度等于半径。
【解析】
(1) 设AC，BD交于点E。
∵$AC⊥BD$，
∴$∠AED=90°$。
∵$BC// AD$，
∴$∠DBC=∠ADB$。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠DBC=∠DAC$，因此$∠ADB=∠DAC$，
∴在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ADB=∠DAC=45°$。
∵$OA=OD$，
∴$∠OAD=∠ODA$。
∵在$△ OAD$中，$∠AOD=120°$，
∴$∠OAD=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠CAO=∠DAC-∠OAD=45°-30°=15°$。
(2) 连接OB，OC，过点O作$OH⊥AD$，垂足为H。
∵$OA=OD$，$OH⊥AD$，
∴$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵在$\mathrm{Rt}△ OHA$中，$∠OAH=30°$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA$。
由勾股定理得$OH^2+AH^2=OA^2$，
代入得$(\frac{1}{2}OA)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=OA^2$，解得$OA=1$（负值舍去）。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠COD=2∠DAC=90°$，同理可得$∠AOB=90°$。
∵$∠AOD=120°$，
∴$∠BOC=360°-90°-90°-120°=60°$。
∵$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=OA=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形知识结合考查，解题核心是熟练进行圆心角、圆周角的角度转化，结合垂径定理、特殊三角形的性质计算边长，对学生的几何推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠CAO的度数可通过作差求解：先结合AC⊥BD、BC//AD的条件，利用圆周角定理推出△AED为等腰直角三角形，得到∠DAC=45°；再根据等腰△OAD中∠AOD=120°，求出底角∠OAD=30°，二者作差即可得到∠CAO的度数。
(2) 求BC的长先求⊙O半径：通过垂径定理和勾股定理算出半径OA=1；再根据圆周角与圆心角的关系求出∠AOB、∠COD均为90°，进而推出∠BOC=60°，判定△OBC为等边三角形，即可得到BC的长度等于半径。
【解析】
(1) 设AC，BD交于点E。
∵$AC⊥BD$，
∴$∠AED=90°$。
∵$BC// AD$，
∴$∠DBC=∠ADB$。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠DBC=∠DAC$，因此$∠ADB=∠DAC$，
∴在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ADB=∠DAC=45°$。
∵$OA=OD$，
∴$∠OAD=∠ODA$。
∵在$△ OAD$中，$∠AOD=120°$，
∴$∠OAD=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠CAO=∠DAC-∠OAD=45°-30°=15°$。
(2) 连接OB，OC，过点O作$OH⊥AD$，垂足为H。
∵$OA=OD$，$OH⊥AD$，
∴$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵在$\mathrm{Rt}△ OHA$中，$∠OAH=30°$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA$。
由勾股定理得$OH^2+AH^2=OA^2$，
代入得$(\frac{1}{2}OA)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=OA^2$，解得$OA=1$（负值舍去）。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠COD=2∠DAC=90°$，同理可得$∠AOB=90°$。
∵$∠AOD=120°$，
∴$∠BOC=360°-90°-90°-120°=60°$。
∵$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$BC=OB=OA=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形知识结合考查，解题核心是熟练进行圆心角、圆周角的角度转化，结合垂径定理、特殊三角形的性质计算边长，对学生的几何推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
