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1 有下列命题:① 圆内接平行四边形是矩形;② 圆内接矩形是正方形;③ 圆内接菱形是正方形.其中,真命题是 (
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
D
)A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路：要判断三个命题的真假，需结合圆内接四边形的核心性质（对角互补），分别搭配平行四边形、矩形、菱形的性质与判定逐一分析。首先明确相关基础性质：圆内接四边形对角互补；平行四边形对角相等，矩形四个角为直角，菱形对角相等且四边相等，正方形同时具备矩形和菱形的性质。逐个验证三个命题即可得出结论。
【解析】
我们依次判断三个命题的真假：
1. 判断命题①：圆内接平行四边形是矩形
∵ 平行四边形的对角相等，且圆内接四边形的对角互补
∴ 该平行四边形的一组对角既相等又和为180°，可得每个角为90°
根据矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此①是真命题。
2. 判断命题②：圆内接矩形是正方形
∵ 矩形的四个内角都是90°，天然满足圆内接四边形对角互补的要求
∴ 任意矩形都可以内接于圆，只有邻边相等的矩形才是正方形，长、宽不等的普通矩形也能内接于圆，因此②是假命题。
3. 判断命题③：圆内接菱形是正方形
∵ 菱形的对角相等，且圆内接四边形的对角互补
∴ 该菱形的一组对角既相等又和为180°，可得每个角为90°
根据正方形的判定规则：有一个角是直角的菱形是正方形，因此③是真命题。
综上，真命题为①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念综合题，将圆的性质和特殊四边形的性质结合考查，易错点是容易误认为圆内接矩形一定是正方形，只要熟练掌握两类图形的基本性质就能准确判断。
【难度系数】
0.7
解题思路：要判断三个命题的真假，需结合圆内接四边形的核心性质（对角互补），分别搭配平行四边形、矩形、菱形的性质与判定逐一分析。首先明确相关基础性质：圆内接四边形对角互补；平行四边形对角相等，矩形四个角为直角，菱形对角相等且四边相等，正方形同时具备矩形和菱形的性质。逐个验证三个命题即可得出结论。
【解析】
我们依次判断三个命题的真假：
1. 判断命题①：圆内接平行四边形是矩形
∵ 平行四边形的对角相等，且圆内接四边形的对角互补
∴ 该平行四边形的一组对角既相等又和为180°，可得每个角为90°
根据矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此①是真命题。
2. 判断命题②：圆内接矩形是正方形
∵ 矩形的四个内角都是90°，天然满足圆内接四边形对角互补的要求
∴ 任意矩形都可以内接于圆，只有邻边相等的矩形才是正方形，长、宽不等的普通矩形也能内接于圆，因此②是假命题。
3. 判断命题③：圆内接菱形是正方形
∵ 菱形的对角相等，且圆内接四边形的对角互补
∴ 该菱形的一组对角既相等又和为180°，可得每个角为90°
根据正方形的判定规则：有一个角是直角的菱形是正方形，因此③是真命题。
综上，真命题为①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念综合题，将圆的性质和特殊四边形的性质结合考查，易错点是容易误认为圆内接矩形一定是正方形，只要熟练掌握两类图形的基本性质就能准确判断。
【难度系数】
0.7
2 如图,经过原点的$\odot P$与x轴、y轴分别交于A,B两点,C是$\overset{\frown}{OB}$上一点,则$∠ C$的度数为 （
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
（第2题）
B
）A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
（第2题）答案
2.B
解析
【分析】
解题思路：首先根据x轴与y轴互相垂直的特征，可得∠AOB=90°；观察图形可知A、B、C、O四点都在⊙P上，∠AOB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”的结论，即可直接得到∠C的度数；也可先由90°的圆周角推导AB是直径，再根据“直径所对的圆周角为直角”得到结果。
【解析】
解：
∵x轴与y轴互相垂直，
∴∠AOB=90°。
∵点A、B、C、O均在⊙P上，且∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACB=∠AOB=90°，即∠C=90°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平面直角坐标系特征
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题关键是找到同弧所对的两个圆周角，结合坐标系的直角特征即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据x轴与y轴互相垂直的特征，可得∠AOB=90°；观察图形可知A、B、C、O四点都在⊙P上，∠AOB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”的结论，即可直接得到∠C的度数；也可先由90°的圆周角推导AB是直径，再根据“直径所对的圆周角为直角”得到结果。
【解析】
解：
∵x轴与y轴互相垂直，
∴∠AOB=90°。
∵点A、B、C、O均在⊙P上，且∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACB=∠AOB=90°，即∠C=90°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平面直角坐标系特征
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题关键是找到同弧所对的两个圆周角，结合坐标系的直角特征即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
3 新情境 生活实际 一块圆形玻璃镜面损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，则圆形玻璃镜面的半径为
$\frac{13}{2}$
$\mathrm{cm}$。答案
3. $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
首先观察图形可知，直角尺的∠ABC=90°，且点A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可判断AC是该圆的直径。接下来在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到圆形镜面的半径。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，且点A、B、C都在圆形玻璃的圆周上，
∴根据“90°的圆周角所对的弦是圆的直径”，可得AC是该圆的直径。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
∴圆形玻璃镜面的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，圆的直径与半径关系
【点评】
本题结合生活中修复圆形镜面的实际场景，考查了几何知识的实际应用，解题的核心是通过圆周角定理的推论确定直径，再结合勾股定理计算，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，直角尺的∠ABC=90°，且点A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可判断AC是该圆的直径。接下来在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到圆形镜面的半径。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，且点A、B、C都在圆形玻璃的圆周上，
∴根据“90°的圆周角所对的弦是圆的直径”，可得AC是该圆的直径。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
∴圆形玻璃镜面的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，圆的直径与半径关系
【点评】
本题结合生活中修复圆形镜面的实际场景，考查了几何知识的实际应用，解题的核心是通过圆周角定理的推论确定直径，再结合勾股定理计算，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
4 [2025 甘肃]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，连接BD.若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC$的度数为
$55°$
.答案
4. $55°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$入手，根据同圆中等弧对等弦的性质，可得$AB=BC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；结合已知$∠ ABC=70°$，可算出底角$∠ BAC$的度数；最后观察$∠ BDC$和$∠ BAC$，二者都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore AB=BC$（同圆中，等弧对等弦），即$△ ABC$为等腰三角形
$\because ∠ ABC=70°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
又$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=55°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$55°$
【知识点】
等弧对等弦，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题核心是利用等弧的性质完成边的转化，再通过同弧所对圆周角相等实现角度的推导，是圆周角相关的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$入手，根据同圆中等弧对等弦的性质，可得$AB=BC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；结合已知$∠ ABC=70°$，可算出底角$∠ BAC$的度数；最后观察$∠ BDC$和$∠ BAC$，二者都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore AB=BC$（同圆中，等弧对等弦），即$△ ABC$为等腰三角形
$\because ∠ ABC=70°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
又$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=55°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$55°$
【知识点】
等弧对等弦，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题核心是利用等弧的性质完成边的转化，再通过同弧所对圆周角相等实现角度的推导，是圆周角相关的常见考法。
【难度系数】
0.8
5 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O, ∠ B=50°, ∠ ACD=25°, ∠ BAD=65°$, 求证:
(1) $AD=CD$;
(2) $AB$ 是 $\odot O$ 的直径.
(1) $AD=CD$;
(2) $AB$ 是 $\odot O$ 的直径.
答案
(1) 如图,连接BD,$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=50°-25°=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
解析
【分析】
(1) 要证明AD=CD，同圆中相等的弧所对的弦相等，因此只需证弧AD和弧CD相等，进一步只需证两段弧对应的圆周角相等。我们通过连接辅助线BD，利用同弧所对圆周角相等的性质，结合已知角度计算出∠1和∠2的度数，即可得到弧的等量关系，最终推导出弦相等。
(2) 要证明AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明AB所对的圆周角∠ADB为90°即可，利用三角形内角和在△ABD中计算角度即可验证结论。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ 同弧AD所对的圆周角相等，
∴ $∠ 1=∠ ACD=25°$，
又
∵ $∠ ABC=50°$，
∴ $∠ 2=∠ ABC-∠ 1=50°-25°=25°$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$（相等的圆周角所对的弧相等），
∴ $AD=CD$（同圆中等弧对等弦）。
(2) 在$△ ABD$中，$∠ BAD=65°$，$∠ 1=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ 1=180°-65°-25°=90°$，
∵ 90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ AB为$\odot O$的直径。
【答案】
(1) 如图,连接BD,$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=50°-25°=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，直径的判定
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，通过构造辅助线转化角的关系，将弦相等、直径判定的问题转化为角度计算问题，解题的核心是熟练掌握圆周角的相关性质及推论。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD=CD，同圆中相等的弧所对的弦相等，因此只需证弧AD和弧CD相等，进一步只需证两段弧对应的圆周角相等。我们通过连接辅助线BD，利用同弧所对圆周角相等的性质，结合已知角度计算出∠1和∠2的度数，即可得到弧的等量关系，最终推导出弦相等。
(2) 要证明AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明AB所对的圆周角∠ADB为90°即可，利用三角形内角和在△ABD中计算角度即可验证结论。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ 同弧AD所对的圆周角相等，
∴ $∠ 1=∠ ACD=25°$，
又
∵ $∠ ABC=50°$，
∴ $∠ 2=∠ ABC-∠ 1=50°-25°=25°$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$（相等的圆周角所对的弧相等），
∴ $AD=CD$（同圆中等弧对等弦）。
(2) 在$△ ABD$中，$∠ BAD=65°$，$∠ 1=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ 1=180°-65°-25°=90°$，
∵ 90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ AB为$\odot O$的直径。
【答案】
(1) 如图,连接BD,$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=50°-25°=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，直径的判定
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，通过构造辅助线转化角的关系，将弦相等、直径判定的问题转化为角度计算问题，解题的核心是熟练掌握圆周角的相关性质及推论。
【难度系数】
0.7
6 [2025昆山市段考]如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$CE ⊥ AB$于点E.若$∠ D=48°$，则$∠ 1$的度数为（
A.$42°$
B.$45°$
C.$48°$
D.$52°$
C
）A.$42°$
B.$45°$
C.$48°$
D.$52°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角相关性质：1.同弧所对的圆周角相等；2.直径所对的圆周角为直角。首先找到与∠D同弧的圆周角∠CAB，得到二者相等；再结合直径的性质可知△ACB为直角三角形，两锐角互余；最后结合CE⊥AB得到的Rt△CEB中两锐角互余，利用同角的余角相等即可推出∠1与∠CAB相等，进而得到∠1的度数。
【解析】
∵∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠CAB=∠D=48°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC=90°，
又
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴在Rt△CEB中，∠1 + ∠ABC=90°，
∴∠1=∠CAB=48°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是基础的圆周角应用类题目，解题的关键是熟练掌握圆周角相关性质和直角三角形的性质，通过角的等量代换推导得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角相关性质：1.同弧所对的圆周角相等；2.直径所对的圆周角为直角。首先找到与∠D同弧的圆周角∠CAB，得到二者相等；再结合直径的性质可知△ACB为直角三角形，两锐角互余；最后结合CE⊥AB得到的Rt△CEB中两锐角互余，利用同角的余角相等即可推出∠1与∠CAB相等，进而得到∠1的度数。
【解析】
∵∠D和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠CAB=∠D=48°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC=90°，
又
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴在Rt△CEB中，∠1 + ∠ABC=90°，
∴∠1=∠CAB=48°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是基础的圆周角应用类题目，解题的关键是熟练掌握圆周角相关性质和直角三角形的性质，通过角的等量代换推导得出结果。
【难度系数】
0.8
