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7 一题多解 如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且∠ADC=120°，E是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，连接BC，BE，CE，则∠BEC的度数为 （
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$
（第7题）
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$
（第7题）答案
7.B 【解析】解法一(连直径):连接AC. $\because AB$ 是半圆O的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°.\because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ABC=60°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°-∠ ABC=30°.\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BEC=∠ BAC=30°$.解法二(连半径):连接OC. $\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°.\because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ABC=60°$.$\because OB=OC,\therefore △ OCB$是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°.\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BEC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$.
解析
【分析】
要求∠BEC的度数，观察可知∠BEC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，可先求$\overset{\frown}{BC}$对应的其他圆周角或圆心角：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ADC=120°求出∠ABC的度数；再结合AB是直径的条件，有两种思路：一是连接AC，利用直径所对圆周角为直角求出同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角∠BAC，根据同弧所对圆周角相等即可得到∠BEC的度数；二是连接OC，先求$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC，再根据圆周角定理求出∠BEC的度数。
【解析】
解法一：连接AC
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
∵∠BEC和∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BEC=∠BAC=30°。
解法二：连接OC
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴△OCB是等边三角形，
∴∠BOC=60°。
∵∠BEC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是结合已知条件选择合适的辅助线，两种解法分别从同弧圆周角等量转化、圆心角与圆周角的换算两个角度切入，能帮助大家更灵活掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
要求∠BEC的度数，观察可知∠BEC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，可先求$\overset{\frown}{BC}$对应的其他圆周角或圆心角：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ADC=120°求出∠ABC的度数；再结合AB是直径的条件，有两种思路：一是连接AC，利用直径所对圆周角为直角求出同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角∠BAC，根据同弧所对圆周角相等即可得到∠BEC的度数；二是连接OC，先求$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC，再根据圆周角定理求出∠BEC的度数。
【解析】
解法一：连接AC
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
∵∠BEC和∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BEC=∠BAC=30°。
解法二：连接OC
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴△OCB是等边三角形，
∴∠BOC=60°。
∵∠BEC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是结合已知条件选择合适的辅助线，两种解法分别从同弧圆周角等量转化、圆心角与圆周角的换算两个角度切入，能帮助大家更灵活掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
8 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，$\odot D$经过A，B，O，C四点，$∠ ACO=120°$，$AB=4$，则圆心D的坐标是
$(-\sqrt{3},1)$
。答案
8. $(-\sqrt{3},1)$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定AB是⊙D的直径，即D为AB的中点；2. 利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ACO=120°，求出∠ABO的度数；3. 在Rt△AOB中，根据AB的长度和∠ABO的度数，计算OA、OB的长度，得到A、B两点的坐标；4. 最后利用中点坐标公式求出圆心D的坐标。
【解析】
∵∠AOB=90°，且点O在⊙D上，
∴AB是⊙D的直径，即点D是AB的中点。
∵四边形ABOC是⊙D的内接四边形，
∴∠ABO + ∠ACO = 180°，
又
∵∠ACO=120°，
∴∠ABO=180°-120°=60°。
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=60°，
∴OB = AB·cos60° = 4×$\frac{1}{2}$=2，
OA = AB·sin60° = 4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
∵点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，
∴A(-2$\sqrt{3}$,0)，B(0,2)。
∵D是AB的中点，根据中点坐标公式：
D的横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}$=-$\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}$=1，
∴圆心D的坐标为(-$\sqrt{3}$,1)。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是先判断AB为圆的直径，再结合圆的性质和直角三角形的边角关系逐步计算，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定AB是⊙D的直径，即D为AB的中点；2. 利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ACO=120°，求出∠ABO的度数；3. 在Rt△AOB中，根据AB的长度和∠ABO的度数，计算OA、OB的长度，得到A、B两点的坐标；4. 最后利用中点坐标公式求出圆心D的坐标。
【解析】
∵∠AOB=90°，且点O在⊙D上，
∴AB是⊙D的直径，即点D是AB的中点。
∵四边形ABOC是⊙D的内接四边形，
∴∠ABO + ∠ACO = 180°，
又
∵∠ACO=120°，
∴∠ABO=180°-120°=60°。
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=60°，
∴OB = AB·cos60° = 4×$\frac{1}{2}$=2，
OA = AB·sin60° = 4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
∵点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，
∴A(-2$\sqrt{3}$,0)，B(0,2)。
∵D是AB的中点，根据中点坐标公式：
D的横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}$=-$\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}$=1，
∴圆心D的坐标为(-$\sqrt{3}$,1)。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是先判断AB为圆的直径，再结合圆的性质和直角三角形的边角关系逐步计算，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9 [2024长春]如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$DE ⊥ AB$于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD。给出下面2个结论：① $∠ ABD=∠ DAC$；② $AF=FG$。上述结论中，正确结论的序号为
①②
。答案
9. ①② 【解析】$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ ABD=∠ DAC$.故①正确. $\because AB$ 是半圆的直径,$\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$∠ DAB+∠ ABD=90°.\because DE⊥ AB,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAB+∠ ADE=90°,\therefore ∠ ABD=∠ ADE,\therefore ∠ ADE=∠ DAC,\therefore AF=DF.\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中,$∠ DAC+∠ AGD=90°$,$∠ ADE+∠ FDG=90°,\therefore ∠ AGD=∠ FDG,\therefore DF=FG,\therefore AF=FG$.综上所述,正确结论的序号为①②.
解析
【分析】
先分析结论①：由D是$\overset{\frown}{AC}$的中点可得等弧，再根据圆周角定理中“等弧所对的圆周角相等”，即可判断两个角的关系。再分析结论②：先利用“直径所对的圆周角是直角”和$DE⊥AB$的垂直关系，得到多组互余的角，通过“同角的余角相等”推导角相等，再结合“等角对等边”依次证明$AF=DF$、$DF=FG$，即可推出$AF=FG$。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ABD=∠DAC$，故①正确。
∵ AB是半圆的直径，$\therefore ∠ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB+∠ABD=90°$。
$\because DE⊥AB$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△AED$中，$∠DAB+∠ADE=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ABD=∠ADE$。
结合①的结论$∠ABD=∠DAC$，可得$∠ADE=∠DAC$，根据等角对等边，$\therefore AF=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠DAC+∠AGD=90°$，又$∠ADE+∠FDG=∠ADB=90°$，且$∠ADE=∠DAC$，根据等角的余角相等，可得$∠AGD=∠FDG$，根据等角对等边，$\therefore DF=FG$。
结合$AF=DF$，可得$AF=FG$，故②正确。
【答案】
①②
【知识点】
圆周角定理，等角对等边，直径的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是通过弧、角的等量转换推导边的关系，需要熟练掌握圆的基本性质和互余角的转换技巧，是圆中证明边角关系的典型题型。
【难度系数】
0.7
先分析结论①：由D是$\overset{\frown}{AC}$的中点可得等弧，再根据圆周角定理中“等弧所对的圆周角相等”，即可判断两个角的关系。再分析结论②：先利用“直径所对的圆周角是直角”和$DE⊥AB$的垂直关系，得到多组互余的角，通过“同角的余角相等”推导角相等，再结合“等角对等边”依次证明$AF=DF$、$DF=FG$，即可推出$AF=FG$。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ABD=∠DAC$，故①正确。
∵ AB是半圆的直径，$\therefore ∠ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB+∠ABD=90°$。
$\because DE⊥AB$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△AED$中，$∠DAB+∠ADE=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ABD=∠ADE$。
结合①的结论$∠ABD=∠DAC$，可得$∠ADE=∠DAC$，根据等角对等边，$\therefore AF=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠DAC+∠AGD=90°$，又$∠ADE+∠FDG=∠ADB=90°$，且$∠ADE=∠DAC$，根据等角的余角相等，可得$∠AGD=∠FDG$，根据等角对等边，$\therefore DF=FG$。
结合$AF=DF$，可得$AF=FG$，故②正确。
【答案】
①②
【知识点】
圆周角定理，等角对等边，直径的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是通过弧、角的等量转换推导边的关系，需要熟练掌握圆的基本性质和互余角的转换技巧，是圆中证明边角关系的典型题型。
【难度系数】
0.7
10 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=60°$，对角线DB平分$∠ ADC$.
（1）求证：$△ ABC$是等边三角形；
（2）若$AD=2$，$DC=3$，求$△ ABC$的周长.
（1）求证：$△ ABC$是等边三角形；
（2）若$AD=2$，$DC=3$，求$△ ABC$的周长.
答案
(1) $\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$.$\because ∠ ABC=60°,\therefore ∠ ADC=120°.\because DB$ 平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°.\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$,$∠ BAC=∠ CDB=60°,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC,\therefore △ ABC$是等边三角形
(2) 如图,过点A作$AM⊥ CD$,交CD的延长线于点M.
$\therefore ∠ AMD=90°.\because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中,$∠ DAM=30°,\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1,\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}.\because CD=3,\therefore CM=CD+DM=4,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中,$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}.\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19},\therefore △ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC$是等边三角形，已知$∠ ABC=60°$，只需证明另外两个内角也为$60°$即可。首先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ ADC$的度数，结合角平分线的性质得到$∠ ADB$、$∠ CDB$的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，推出$∠ ACB$和$∠ BAC$的度数，即可完成证明。
（2）要求等边$△ ABC$的周长，只需先求出边长$AC$。通过过点$A$作$CD$延长线的垂线构造直角三角形，先利用邻补角求出$∠ ADM$的度数，再根据含$30°$角的直角三角形的性质求出$DM$、$AM$的长度，结合$CD$的长度得到$CM$的长，最后用勾股定理求出$AC$的长度，即可计算周长。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$。
$\because ∠ ABC=60°$，$\therefore ∠ ADC=120°$。
$\because DB$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$，$∠ BAC=∠ CDB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC$，$\therefore △ ABC$是等边三角形。
(2) 解：如图，过点$A$作$AM⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$M$，
$\therefore ∠ AMD=90°$。
$\because ∠ ADC=120°$，$\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中，$∠ DAM=30°$，
$\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1$，$\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}$。
$\because CD=3$，$\therefore CM=CD+DM=4$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC$是等边三角形；(2) $△ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合了圆的性质与三角形的推理、计算，第一问侧重基础定理的直接应用，第二问需要合理构造辅助线将一般三角形问题转化为直角三角形求解，对几何推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$△ ABC$是等边三角形，已知$∠ ABC=60°$，只需证明另外两个内角也为$60°$即可。首先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ ADC$的度数，结合角平分线的性质得到$∠ ADB$、$∠ CDB$的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，推出$∠ ACB$和$∠ BAC$的度数，即可完成证明。
（2）要求等边$△ ABC$的周长，只需先求出边长$AC$。通过过点$A$作$CD$延长线的垂线构造直角三角形，先利用邻补角求出$∠ ADM$的度数，再根据含$30°$角的直角三角形的性质求出$DM$、$AM$的长度，结合$CD$的长度得到$CM$的长，最后用勾股定理求出$AC$的长度，即可计算周长。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$。
$\because ∠ ABC=60°$，$\therefore ∠ ADC=120°$。
$\because DB$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$，$∠ BAC=∠ CDB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC$，$\therefore △ ABC$是等边三角形。
(2) 解：如图，过点$A$作$AM⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$M$，
$\therefore ∠ AMD=90°$。
$\because ∠ ADC=120°$，$\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中，$∠ DAM=30°$，
$\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1$，$\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}$。
$\because CD=3$，$\therefore CM=CD+DM=4$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC$是等边三角形；(2) $△ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合了圆的性质与三角形的推理、计算，第一问侧重基础定理的直接应用，第二问需要合理构造辅助线将一般三角形问题转化为直角三角形求解，对几何推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
11 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数.
(2) 过点C作CF//AD,交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数.
(2) 过点C作CF//AD,交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.
答案
(1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ CDB.\because ∠ BAC=∠ ADB,\therefore ∠ CDB=∠ ADB$,即 DB 平分$∠ ADC.\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD.\because △ ABD$与$△ CBD$的内角和均为$180°,\therefore ∠ BAD=∠ BCD.\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°,\therefore ∠ BAD=∠ BCD=90°$
(2) $\because ∠ BAD=90°,\therefore BD$是圆的直径.$\because ∠ ABD=∠ CBD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$.$\because AC=AD,\therefore AC=AD=CD,\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°,\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=2BC.\because CF// AD,\therefore ∠ F+∠ BAD=180°,\therefore ∠ F=90°.\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABC=120°,\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°,\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\frac{1}{2} BC.\because BF=2,\therefore BC=4,\therefore BD=8$.$\because BD$是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4$
(2) $\because ∠ BAD=90°,\therefore BD$是圆的直径.$\because ∠ ABD=∠ CBD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$.$\because AC=AD,\therefore AC=AD=CD,\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°,\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=2BC.\because CF// AD,\therefore ∠ F+∠ BAD=180°,\therefore ∠ F=90°.\because$ 四边形ABCD是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABC=120°,\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°,\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\frac{1}{2} BC.\because BF=2,\therefore BC=4,\therefore BD=8$.$\because BD$是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4$
解析
【分析】
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证明∠ADB=∠CDB。结合已知∠BAC=∠ADB，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得∠BAC=∠CDB，即可推出两角相等；求∠BAD时，先由角平分线定义得∠ABD=∠CBD，结合三角形内角和可得∠BAD=∠BCD，再根据圆内接四边形对角互补，即可求出∠BAD的度数。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径，结合角平分线对应的弧相等推出AD=CD，再由AC=AD可判定△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出Rt△BCD中BD=2BC；再根据平行线的性质和圆内接四边形的性质求出∠F=90°、∠FBC=60°，在Rt△BFC中利用30°角的直角三角形性质求出BC的长，即可得到直径BD的长度，进而求出半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，
∴ $∠BAC=∠CDB$，
又
∵ $∠BAC=∠ADB$，
∴ $∠CDB=∠ADB$，即DB平分$∠ADC$。
∵ BD平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠CBD$，
∵ $△ ABD$和$△ CBD$的内角和均为$180°$，
∴ $∠BAD=∠BCD$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠BAD+∠BCD=180°$，
∴ $2∠BAD=180°$，解得$∠BAD=90°$。
(2) 解：
∵ $∠BAD=90°$，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ BD是圆的直径。
∵ $∠ABD=∠CBD$，相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AD=CD$，
又
∵ $AC=AD$，
∴ $AC=AD=CD$，即$△ ADC$是等边三角形，
∴ $∠ADC=60°$，
∴ $∠CDB=\frac{1}{2}∠ADC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠BCD=90°$，$∠CDB=30°$，
∴ $BD=2BC$。
∵ $CF// AD$，
∴ $∠F+∠BAD=180°$，
∴ $∠F=180°-90°=90°$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$，
∴ $∠ABC=180°-60°=120°$，
∴ $∠FBC=180°-∠ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠FCB=90°-60°=30°$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BC$，
∵ $BF=2$，
∴ $BC=2BF=4$，
∴ $BD=2BC=8$，
∵ BD是圆的直径，
∴ 圆的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
(1) DB平分$∠ADC$得证，$∠BAD=90°$；
(2) 此圆的半径为$\boxed{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合题，将圆周角相关性质、圆内接四边形的性质、特殊三角形的判定与性质和平行线的性质结合考查，解题的关键是找准角之间的等量关系，利用特殊角的直角三角形边长关系逐步推导所求线段长度。
【难度系数】
0.65
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证明∠ADB=∠CDB。结合已知∠BAC=∠ADB，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得∠BAC=∠CDB，即可推出两角相等；求∠BAD时，先由角平分线定义得∠ABD=∠CBD，结合三角形内角和可得∠BAD=∠BCD，再根据圆内接四边形对角互补，即可求出∠BAD的度数。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径，结合角平分线对应的弧相等推出AD=CD，再由AC=AD可判定△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出Rt△BCD中BD=2BC；再根据平行线的性质和圆内接四边形的性质求出∠F=90°、∠FBC=60°，在Rt△BFC中利用30°角的直角三角形性质求出BC的长，即可得到直径BD的长度，进而求出半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，
∴ $∠BAC=∠CDB$，
又
∵ $∠BAC=∠ADB$，
∴ $∠CDB=∠ADB$，即DB平分$∠ADC$。
∵ BD平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠CBD$，
∵ $△ ABD$和$△ CBD$的内角和均为$180°$，
∴ $∠BAD=∠BCD$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠BAD+∠BCD=180°$，
∴ $2∠BAD=180°$，解得$∠BAD=90°$。
(2) 解：
∵ $∠BAD=90°$，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ BD是圆的直径。
∵ $∠ABD=∠CBD$，相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AD=CD$，
又
∵ $AC=AD$，
∴ $AC=AD=CD$，即$△ ADC$是等边三角形，
∴ $∠ADC=60°$，
∴ $∠CDB=\frac{1}{2}∠ADC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠BCD=90°$，$∠CDB=30°$，
∴ $BD=2BC$。
∵ $CF// AD$，
∴ $∠F+∠BAD=180°$，
∴ $∠F=180°-90°=90°$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$，
∴ $∠ABC=180°-60°=120°$，
∴ $∠FBC=180°-∠ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠FCB=90°-60°=30°$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BC$，
∵ $BF=2$，
∴ $BC=2BF=4$，
∴ $BD=2BC=8$，
∵ BD是圆的直径，
∴ 圆的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
(1) DB平分$∠ADC$得证，$∠BAD=90°$；
(2) 此圆的半径为$\boxed{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合题，将圆周角相关性质、圆内接四边形的性质、特殊三角形的判定与性质和平行线的性质结合考查，解题的关键是找准角之间的等量关系，利用特殊角的直角三角形边长关系逐步推导所求线段长度。
【难度系数】
0.65
