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1 [2025 姑苏区段考]下列说法中，不正确的是（
A.直径是最长的弦
B.同圆中，所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
D
）A.直径是最长的弦
B.同圆中，所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需结合各个概念的定义逐一判断每个选项的正误，最终选出描述错误的选项即可。首先回忆弦、半径、圆的对称性、等弧的定义，依次排查每个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，同圆中直径的长度为半径的2倍，其余弦的长度均不超过直径，因此直径是最长的弦，该选项说法正确，不符合题意。
B. 根据圆的定义，圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，因此同圆中所有的半径长度都等于这个定长，全部相等，该选项说法正确，不符合题意。
C. 圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形；圆绕圆心旋转180°后能与自身完全重合，因此圆也是中心对称图形，该选项说法正确，不符合题意。
D. 等弧的定义是能够完全重合的弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，若不在同圆或等圆中，即使弧的长度相等，也无法完全重合，不属于等弧，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本概念；圆的对称性；等弧的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，难度较低，解题的关键是准确掌握各概念的内涵，尤其要注意等弧的判定需要满足“同圆或等圆”的前提，避免因概念记忆不全面出错。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需结合各个概念的定义逐一判断每个选项的正误，最终选出描述错误的选项即可。首先回忆弦、半径、圆的对称性、等弧的定义，依次排查每个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，同圆中直径的长度为半径的2倍，其余弦的长度均不超过直径，因此直径是最长的弦，该选项说法正确，不符合题意。
B. 根据圆的定义，圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，因此同圆中所有的半径长度都等于这个定长，全部相等，该选项说法正确，不符合题意。
C. 圆沿任意一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分都能完全重合，因此圆是轴对称图形；圆绕圆心旋转180°后能与自身完全重合，因此圆也是中心对称图形，该选项说法正确，不符合题意。
D. 等弧的定义是能够完全重合的弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，若不在同圆或等圆中，即使弧的长度相等，也无法完全重合，不属于等弧，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本概念；圆的对称性；等弧的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，难度较低，解题的关键是准确掌握各概念的内涵，尤其要注意等弧的判定需要满足“同圆或等圆”的前提，避免因概念记忆不全面出错。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$\odot O$中,$OA⊥ BC$,$∠ ADB=30°$,$BC=2\sqrt{3}$,则$OC$的长为 （
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
（第2题）
B
）A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
（第2题）答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件OA⊥BC入手，联想到垂径定理，可得到BC的一半长度，同时得到弧AB与弧AC相等；再结合给出的圆周角∠ADB=30°，利用圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），求出∠AOC的度数；最后在OA与BC垂直形成的直角三角形中，利用三角函数或勾股定理即可求出半径OC的长度。
【解析】
设OA与BC的交点为E。
1. 由垂径定理可得：因为OA⊥BC，OA是⊙O的半径，所以$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
2. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ADB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，得$∠ AOC=2∠ ADB=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ OEC$中，$∠ OEC=90°$，$∠ COE=60°$，$CE=\sqrt{3}$，根据正弦的定义：$\sin∠ COE=\frac{CE}{OC}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{OC}$，解得$OC=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形计算结合考查，解题的关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理转化已知条件，得到直角三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.75
解题时首先从已知条件OA⊥BC入手，联想到垂径定理，可得到BC的一半长度，同时得到弧AB与弧AC相等；再结合给出的圆周角∠ADB=30°，利用圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），求出∠AOC的度数；最后在OA与BC垂直形成的直角三角形中，利用三角函数或勾股定理即可求出半径OC的长度。
【解析】
设OA与BC的交点为E。
1. 由垂径定理可得：因为OA⊥BC，OA是⊙O的半径，所以$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
2. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ADB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，得$∠ AOC=2∠ ADB=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ OEC$中，$∠ OEC=90°$，$∠ COE=60°$，$CE=\sqrt{3}$，根据正弦的定义：$\sin∠ COE=\frac{CE}{OC}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{OC}$，解得$OC=2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形计算结合考查，解题的关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理转化已知条件，得到直角三角形中的边角关系。
【难度系数】
0.75
3 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，在$\overset{\frown}{AB}$上取点$D$（不与点$A$，$B$重合），连接$BD$，$AD$，则$∠ BAD+∠ ABD$的度数为 （
A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
C
）A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先求出底角∠ACB的度数，再利用圆周角定理，把所求的∠BAD+∠ABD转化为对应弧的度数和的一半，即可快速算出结果；也可先求出∠ADB的度数，再结合三角形内角和计算两角和。
【解析】
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∠BAD对应弧BD，故$∠ BAD=\frac{1}{2}$弧BD的度数；∠ABD对应弧AD，故$∠ ABD=\frac{1}{2}$弧AD的度数。
∴ $∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}(\mathrm{弧BD度数}+\mathrm{弧AD度数})=\frac{1}{2}$弧AB的度数。
又
∵ ∠ACB对应劣弧AB，
∴ 劣弧AB的度数$=2∠ ACB=2×72°=144°$，
∴ $∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质和圆周角定理结合考查，解题的关键是灵活转化角与对应弧的关系，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先求出底角∠ACB的度数，再利用圆周角定理，把所求的∠BAD+∠ABD转化为对应弧的度数和的一半，即可快速算出结果；也可先求出∠ADB的度数，再结合三角形内角和计算两角和。
【解析】
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∠BAD对应弧BD，故$∠ BAD=\frac{1}{2}$弧BD的度数；∠ABD对应弧AD，故$∠ ABD=\frac{1}{2}$弧AD的度数。
∴ $∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}(\mathrm{弧BD度数}+\mathrm{弧AD度数})=\frac{1}{2}$弧AB的度数。
又
∵ ∠ACB对应劣弧AB，
∴ 劣弧AB的度数$=2∠ ACB=2×72°=144°$，
∴ $∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质和圆周角定理结合考查，解题的关键是灵活转化角与对应弧的关系，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
4 [2025 武汉]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$.若$AB=6$,$CD=\sqrt{13}$,则$\odot O$的半径是（
A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{13}{4}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
4. A 【解析】如图,过点O作OE⊥AB,垂足为F,交$\odot O$于点E,连接OA,AE,则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$AF=BF=\frac{1}{2}AB=3$.$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore AE=CD=\sqrt{13}$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF$中,$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=2$.设$\odot O$的半径为R,则$OA=R$,$OF=R-2$.在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,由勾股定理,得$OA^2=OF^2+AF^2$,即$R^2=(R-2)^2+3^2$,解得$R=\frac{13}{4}$.$\therefore \odot O$的半径是$\frac{13}{4}$.
（第4题）解析
【分析】
解题时先结合已知的弧的倍数关系，利用垂径定理构造等弧，将两条已知弦的长度关联起来。第一步：过圆心作AB的垂线，根据垂径定理，这条垂线既平分弦AB，也平分AB所对的弧，得到的半弧长与弧CD长度相等，根据同圆中等弧对等弦，可得对应弦AE与CD长度相等。第二步：先后在两个直角三角形中运用勾股定理，先在Rt△AEF中求出EF的长度，再设圆的半径为R，用含R的式子表示OF的长度，在Rt△AOF中列勾股方程求解即可得到半径。
【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为F，交$\odot O$于点E，连接OA、AE。
由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦，得$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=R-EF=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，即$R^2=(R-2)^2+3^2$。
展开整理得：$R^2=R^2-4R+4+9$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
（第4题）
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题关键是通过作垂直于弦的直径构造等弧，将分散的已知条件整合到直角三角形中，结合方程思想求解半径，能较好考查对圆的基础性质的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的弧的倍数关系，利用垂径定理构造等弧，将两条已知弦的长度关联起来。第一步：过圆心作AB的垂线，根据垂径定理，这条垂线既平分弦AB，也平分AB所对的弧，得到的半弧长与弧CD长度相等，根据同圆中等弧对等弦，可得对应弦AE与CD长度相等。第二步：先后在两个直角三角形中运用勾股定理，先在Rt△AEF中求出EF的长度，再设圆的半径为R，用含R的式子表示OF的长度，在Rt△AOF中列勾股方程求解即可得到半径。
【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为F，交$\odot O$于点E，连接OA、AE。
由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦，得$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=R-EF=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，即$R^2=(R-2)^2+3^2$。
展开整理得：$R^2=R^2-4R+4+9$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
（第4题）【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题关键是通过作垂直于弦的直径构造等弧，将分散的已知条件整合到直角三角形中，结合方程思想求解半径，能较好考查对圆的基础性质的掌握和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
5 [2025甘孜]如图,点A,B,C在$\odot O$上.若$∠ O=64°$,则$∠ A$的度数为
32°
.答案
5. 32°
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的位置特征：∠O是圆心O处的角，即弧BC所对的圆心角，∠A是圆周上的角，即弧BC所对的圆周角。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
由图可知，∠BOC（即题中∠O）是弧BC所对的圆心角，∠BAC（即题中∠A）是弧BC所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ O$
代入$∠ O=64°$，计算得：
$∠ A=\frac{1}{2}×64°=32°$
【答案】
$32°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，直接运用圆周角定理即可求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的位置特征：∠O是圆心O处的角，即弧BC所对的圆心角，∠A是圆周上的角，即弧BC所对的圆周角。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
由图可知，∠BOC（即题中∠O）是弧BC所对的圆心角，∠BAC（即题中∠A）是弧BC所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ O$
代入$∠ O=64°$，计算得：
$∠ A=\frac{1}{2}×64°=32°$
【答案】
$32°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，直接运用圆周角定理即可求解。
【难度系数】
0.9
6 [2025 姑苏区段考]如图，$\odot O$ 的半径 $OD ⊥$ 弦 $AB$ 于点 $C$，连接 $AO$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $E$，连接 $EC$.若 $AB=8,OC=3$，则 $EC$ 的长为________.
答案
6. $2\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“半径OD⊥弦AB”入手，首先应用垂径定理求出弦AB被平分后的AC、BC长度；再在Rt△AOC中利用勾股定理计算出圆的半径，得到直径AE的长度；接着结合O是AE中点、C是AB中点，判断OC为△ABE的中位线，由此得到BE的长度以及BE与AB的垂直关系；最后在Rt△BCE中用勾股定理即可求出EC的长度。
【解析】
1. 由垂径定理，半径$OD⊥$弦$AB$，可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
2. 在$Rt△ AOC$中，$OC=3$，$AC=4$，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
即$\odot O$的半径为5，因此直径$AE=2OA=10$。
3. 因为O是AE的中点，C是AB的中点，所以OC是$△ ABE$的中位线，可得：
$BE=2OC=2×3=6$，且$OC// BE$
4. 已知$OC⊥ AB$，结合$OC// BE$，可得$BE⊥ AB$，即$∠ EBC=90°$。
5. 在$Rt△ BCE$中，$BE=6$，$BC=4$，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形知识的综合应用题，解题核心是通过垂径定理得到等长线段，再借助中位线的性质构造直角三角形，需要同学们熟练掌握各定理的应用场景，学会串联不同模块的知识解题。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件“半径OD⊥弦AB”入手，首先应用垂径定理求出弦AB被平分后的AC、BC长度；再在Rt△AOC中利用勾股定理计算出圆的半径，得到直径AE的长度；接着结合O是AE中点、C是AB中点，判断OC为△ABE的中位线，由此得到BE的长度以及BE与AB的垂直关系；最后在Rt△BCE中用勾股定理即可求出EC的长度。
【解析】
1. 由垂径定理，半径$OD⊥$弦$AB$，可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
2. 在$Rt△ AOC$中，$OC=3$，$AC=4$，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
即$\odot O$的半径为5，因此直径$AE=2OA=10$。
3. 因为O是AE的中点，C是AB的中点，所以OC是$△ ABE$的中位线，可得：
$BE=2OC=2×3=6$，且$OC// BE$
4. 已知$OC⊥ AB$，结合$OC// BE$，可得$BE⊥ AB$，即$∠ EBC=90°$。
5. 在$Rt△ BCE$中，$BE=6$，$BC=4$，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形知识的综合应用题，解题核心是通过垂径定理得到等长线段，再借助中位线的性质构造直角三角形，需要同学们熟练掌握各定理的应用场景，学会串联不同模块的知识解题。
【难度系数】
0.6
7 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点$P$处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$.为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
4
台.答案
7. 4
解析
【分析】
解题时先明确监视器的55°监控角属于圆周角，根据圆周角定理可求出该角所对弧的度数，即单台监视器能监控的弧的度数；再结合整圆的总度数为360°，计算覆盖整圆需要的监视器数量，注意结果需取满足覆盖条件的最小正整数。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
已知监控角为55°（圆周角），则单台监视器可监控的弧的度数为：$2×55°=110°$
整圆的圆周总度数为$360°$，计算需要的台数：$360°÷110°\approx3.27$
由于3台监视器最多可监控$3×110°=330°＜360°$，无法覆盖整个展区，因此最少需要4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际场景考查圆周角相关知识的应用，解题核心是将监控角度转化为对应弧的度数，计算时要注意不能直接对结果取整舍去小数部分，需验证整数结果是否满足完全覆盖的要求。
【难度系数】
0.7
解题时先明确监视器的55°监控角属于圆周角，根据圆周角定理可求出该角所对弧的度数，即单台监视器能监控的弧的度数；再结合整圆的总度数为360°，计算覆盖整圆需要的监视器数量，注意结果需取满足覆盖条件的最小正整数。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
已知监控角为55°（圆周角），则单台监视器可监控的弧的度数为：$2×55°=110°$
整圆的圆周总度数为$360°$，计算需要的台数：$360°÷110°\approx3.27$
由于3台监视器最多可监控$3×110°=330°＜360°$，无法覆盖整个展区，因此最少需要4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际场景考查圆周角相关知识的应用，解题核心是将监控角度转化为对应弧的度数，计算时要注意不能直接对结果取整舍去小数部分，需验证整数结果是否满足完全覆盖的要求。
【难度系数】
0.7
8 [2025 常州]如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB=45°$，AD=1，则AB的长为________.
答案
8. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AB是圆的直径，根据直径的性质可推出其所对的圆周角∠ADB为直角；再观察已知角∠DCB，它和∠DAB同对弧BD，根据圆周角定理可得两角相等，进而判断出△ADB是等腰直角三角形，最后结合已知AD的长度，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠DAB和∠DCB都是弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=1，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合特殊直角三角形的特点计算边长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AB是圆的直径，根据直径的性质可推出其所对的圆周角∠ADB为直角；再观察已知角∠DCB，它和∠DAB同对弧BD，根据圆周角定理可得两角相等，进而判断出△ADB是等腰直角三角形，最后结合已知AD的长度，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠DAB和∠DCB都是弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=1，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合特殊直角三角形的特点计算边长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
9 如图，$\odot O$ 的半径是 2，直线 $l$ 与$\odot O$ 相交于 $A$，$B$ 两点，$M$，$N$ 是$\odot O$ 上的两个动点，且在直线 $l$ 的异侧.若$∠ AMB=45°$，则四边形 $MANB$ 面积的最大值是________.
答案
9. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
四边形MANB的面积可拆分为$△ MAB$和$△ NAB$的面积之和，两个三角形共底AB，因此面积和等于$\frac{1}{2} × AB × (\mathrm{点M到AB的距离}+\mathrm{点N到AB的距离})$。首先根据圆周角定理求AB的长度：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由$∠ AMB=45°$可得圆心角$∠ AOB=90°$，结合圆半径为2即可算出AB的长度；要使四边形面积最大，需让两点到AB的距离之和最大，当MN为垂直于AB的直径时，距离和取最大值（等于直径长度），代入面积公式即可求出最大值。
【解析】
1. 连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ AMB=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$半径为2，即$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 设点M到直线l的距离为$h_1$，点N到直线l的距离为$h_2$，则四边形MANB的面积：
$S=S_{△ MAB}+S_{△ NAB}=\frac{1}{2}× AB × h_1+\frac{1}{2}× AB × h_2=\frac{1}{2}AB(h_1+h_2)$。
4. 当MN为垂直于AB的直径时，$h_1+h_2$取最大值，等于$\odot O$的直径长度$2×2=4$。
5. 代入得最大面积：$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，三角形面积计算，圆中最值问题
【点评】
本题核心是将四边形面积拆分为两个同底三角形的面积和，把面积最值问题转化为两点到底边的距离和的最值问题，结合圆的性质即可求解，综合考查了圆周角定理的应用和最值分析能力。
【难度系数】
0.6
四边形MANB的面积可拆分为$△ MAB$和$△ NAB$的面积之和，两个三角形共底AB，因此面积和等于$\frac{1}{2} × AB × (\mathrm{点M到AB的距离}+\mathrm{点N到AB的距离})$。首先根据圆周角定理求AB的长度：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由$∠ AMB=45°$可得圆心角$∠ AOB=90°$，结合圆半径为2即可算出AB的长度；要使四边形面积最大，需让两点到AB的距离之和最大，当MN为垂直于AB的直径时，距离和取最大值（等于直径长度），代入面积公式即可求出最大值。
【解析】
1. 连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ AMB=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$半径为2，即$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 设点M到直线l的距离为$h_1$，点N到直线l的距离为$h_2$，则四边形MANB的面积：
$S=S_{△ MAB}+S_{△ NAB}=\frac{1}{2}× AB × h_1+\frac{1}{2}× AB × h_2=\frac{1}{2}AB(h_1+h_2)$。
4. 当MN为垂直于AB的直径时，$h_1+h_2$取最大值，等于$\odot O$的直径长度$2×2=4$。
5. 代入得最大面积：$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，三角形面积计算，圆中最值问题
【点评】
本题核心是将四边形面积拆分为两个同底三角形的面积和，把面积最值问题转化为两点到底边的距离和的最值问题，结合圆的性质即可求解，综合考查了圆周角定理的应用和最值分析能力。
【难度系数】
0.6
