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8 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，连接AC。若$∠ CAB=22.5°$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为
（第8题）
$4\sqrt{2}$
cm。（第8题）答案
8. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB是直径且垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理求出CE的长度；再连接半径OC构造直角三角形，利用圆周角与圆心角的关系求出∠COE的度数，判断△COE的形状，最后结合勾股定理计算出半径的长度即可。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8cm，
根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=4\mathrm{cm}$，
∵∠CAB是弧CB对应的圆周角，∠COB是弧CB对应的圆心角，
根据圆周角定理：$∠ COB=2∠ CAB=2×22.5°=45°$，
又
∵CD⊥AB，即$∠ CEO=90°$，
∴△COE为等腰直角三角形，$OE=CE=4\mathrm{cm}$，
在Rt△COE中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
即⊙O的半径为$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心解题思路是连接半径将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AB是直径且垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理求出CE的长度；再连接半径OC构造直角三角形，利用圆周角与圆心角的关系求出∠COE的度数，判断△COE的形状，最后结合勾股定理计算出半径的长度即可。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8cm，
根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=4\mathrm{cm}$，
∵∠CAB是弧CB对应的圆周角，∠COB是弧CB对应的圆心角，
根据圆周角定理：$∠ COB=2∠ CAB=2×22.5°=45°$，
又
∵CD⊥AB，即$∠ CEO=90°$，
∴△COE为等腰直角三角形，$OE=CE=4\mathrm{cm}$，
在Rt△COE中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
即⊙O的半径为$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心解题思路是连接半径将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
9 [2025重庆改编]如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC.以AC为边作菱形ACDE，CD交$\odot O$于点F，$AB⊥ CD$，垂足为G.连接AD.若$AG=12$，$GF=5$，则AD的长为
$4\sqrt{13}$
.答案
9. $4\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先AB是圆的直径且垂直于弦CF，根据垂径定理可直接得到G是CF的中点，算出CG的长度；接着在直角三角形AGC中用勾股定理求出AC的长度；再结合菱形四边相等的性质，得到CD与AC相等，进而求出GD的长度；最后在直角三角形AGD中再次运用勾股定理即可算出AD的长度。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，CF是$\odot O$的弦，根据垂径定理可得$CG=GF=5$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$AG=12$，$CG=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 因为四边形ACDE是菱形，所以菱形的四条边相等，即$CD=AC=13$。
4. 因此$GD=CD-CG=13-5=8$。
5. 又因为$AB⊥ CD$，所以$∠ AGD=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AGD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AG^2+GD^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础综合题，解题的核心是熟练掌握垂径定理、菱形的性质以及勾股定理的应用，通过线段的等量关系逐步推导求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件出发：首先AB是圆的直径且垂直于弦CF，根据垂径定理可直接得到G是CF的中点，算出CG的长度；接着在直角三角形AGC中用勾股定理求出AC的长度；再结合菱形四边相等的性质，得到CD与AC相等，进而求出GD的长度；最后在直角三角形AGD中再次运用勾股定理即可算出AD的长度。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，CF是$\odot O$的弦，根据垂径定理可得$CG=GF=5$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$AG=12$，$CG=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
3. 因为四边形ACDE是菱形，所以菱形的四条边相等，即$CD=AC=13$。
4. 因此$GD=CD-CG=13-5=8$。
5. 又因为$AB⊥ CD$，所以$∠ AGD=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AGD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AG^2+GD^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础综合题，解题的核心是熟练掌握垂径定理、菱形的性质以及勾股定理的应用，通过线段的等量关系逐步推导求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
10 已知$\odot O$的直径为20，弦AB的长为12，P是弦AB上一动点，则满足线段OP的长为整数的点P有
5
处不同的位置。答案
10. 5
解析
【分析】
解决本题首先要明确弦上动点到圆心的距离的取值范围：①根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，垂线段是圆心到弦的最短距离，此时OP最小；②当动点与弦的端点重合时，OP等于半径，为最大值。求出OP的取值范围后，找出范围内的整数值，再分析每个整数值对应的点P的个数，相加即可得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为20，$\therefore$半径$OA=OB=10$。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理，得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
即OP的最小值为8，当P与点A或点B重合时，$OP=OA=OB=10$，为最大值，
$\therefore$OP的取值范围是$8≤ OP≤10$，其中整数取值为8、9、10。
当$OP=8$时，仅垂足C这1个点符合要求；
当$OP=9$时，在点C两侧各有1个点满足$OP=9$，共2个点；
当$OP=10$时，点P与A、B重合，共2个点。
$\therefore$符合要求的点P总共有$1+2+2=5$处。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中典型的动点取值问题，需要结合垂径定理确定动点到圆心的距离范围，再根据对称性分析不同取值对应的点的个数，解题时需注意最短距离仅对应1个点，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确弦上动点到圆心的距离的取值范围：①根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，垂线段是圆心到弦的最短距离，此时OP最小；②当动点与弦的端点重合时，OP等于半径，为最大值。求出OP的取值范围后，找出范围内的整数值，再分析每个整数值对应的点P的个数，相加即可得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为20，$\therefore$半径$OA=OB=10$。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理，得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
即OP的最小值为8，当P与点A或点B重合时，$OP=OA=OB=10$，为最大值，
$\therefore$OP的取值范围是$8≤ OP≤10$，其中整数取值为8、9、10。
当$OP=8$时，仅垂足C这1个点符合要求；
当$OP=9$时，在点C两侧各有1个点满足$OP=9$，共2个点；
当$OP=10$时，点P与A、B重合，共2个点。
$\therefore$符合要求的点P总共有$1+2+2=5$处。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中典型的动点取值问题，需要结合垂径定理确定动点到圆心的距离范围，再根据对称性分析不同取值对应的点的个数，解题时需注意最短距离仅对应1个点，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.6
11 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点$C$为圆心、$AC$长为半径的$\odot C$与$AB$相交于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,则$AD$的长为________.
答案
11. $\frac{36}{5}$ 【解析】如图，连接CD，过点C作$CH⊥AB$于点H，则
$AH=\frac{1}{2}AD$. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=$
$\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，即$\frac{1}{2}×6×8=$
$\frac{1}{2}×10CH$，得$CH=\frac{24}{5}$. 在Rt△AHC中，由勾股定理，得$AH=$
$\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$. $\therefore AD=2AH=\frac{36}{5}$.
解析
【分析】
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作AD的垂线CH，根据垂径定理可得AH=HD，因此只需求出AH的长度即可。第一步先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，第二步通过三角形的等面积法求出AB边上的高CH，第三步在Rt△ACH中用勾股定理算出AH，最后乘以2就能得到AD的长。
【解析】
解：连接CD，过点C作$CH⊥AB$于点H，根据垂径定理可得$AH=\frac{1}{2}AD$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CH$
解得$CH=\frac{24}{5}$
在$\mathrm{Rt}△AHC$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
因此$AD=2AH=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心解题技巧是作弦的垂线（弦心距），结合垂径定理把弦长问题转化为直角三角形的边长问题，其中等面积法求高是几何中常用的计算技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作AD的垂线CH，根据垂径定理可得AH=HD，因此只需求出AH的长度即可。第一步先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，第二步通过三角形的等面积法求出AB边上的高CH，第三步在Rt△ACH中用勾股定理算出AH，最后乘以2就能得到AD的长。
【解析】
解：连接CD，过点C作$CH⊥AB$于点H，根据垂径定理可得$AH=\frac{1}{2}AD$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CH$
解得$CH=\frac{24}{5}$
在$\mathrm{Rt}△AHC$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
因此$AD=2AH=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心解题技巧是作弦的垂线（弦心距），结合垂径定理把弦长问题转化为直角三角形的边长问题，其中等面积法求高是几何中常用的计算技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12 新情境 生活实际 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点O，桥下水面的宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
答案
12. 如图，连接ON，OB. $\because OC⊥AB$，$\therefore D$为AB的中点. $\because AB=$
7.2 m，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3.6$ m. 设$OB=OC=ON=r$ m，则$OD=$
$(r-2.4)$m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$，即
$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$，解得$r=3.9$. $\because CD=2.4$ m，船舱顶部高出水
面AB 2 m，$\therefore CE=2.4-2=0.4$(m)，$\therefore OE=3.9-0.4=3.5$(m).
易知$OC⊥MN$，$\therefore MN=2EN$. 在Rt△OEN中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=$
$\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}$(m). $\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}≈3.44$(m).
$\because 3.44＞3$，$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥
解析
【分析】
要判断货船能否顺利通过拱桥，需计算出船舱顶部所在高度对应的拱桥内部宽度，再与货船宽度3m比较即可。解题思路分两步：第一步，利用垂径定理得到AB的一半长度，设圆的半径为r，结合CD的长度用r表示出OD的长度，在Rt△BOD中用勾股定理列方程求出半径r；第二步，根据船舱高出水面2m，求出该高度对应的圆心到弦MN的距离，再用垂径定理和勾股定理求出MN的长度，与3m比较大小得出结论。
【解析】
连接ON，OB。
∵ OC⊥AB，
∴ D为AB的中点。
∵ AB=7.2 m，
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=3.6$ m。
设$OB=OC=ON=r$ m，则$OD=(r-2.4)$m。
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$，即$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$，
展开得$r^2=r^2-4.8r+5.76+12.96$，化简解得$r=3.9$。
∵ CD=2.4 m，船舱顶部高出水面AB 2 m，
∴ $CE=2.4-2=0.4$(m)，$OE=OC-CE=3.9-0.4=3.5$(m)。
由题意可知OC⊥MN，根据垂径定理得$MN=2EN$。
在Rt△OEN中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}$(m)，
∴ $MN=2EN=2×\sqrt{2.96}≈3.44$(m)。
∵ 3.44＞3，
∴ 此货船能顺利通过这座拱桥。
【答案】
12. 如图，连接ON，OB. $\because OC⊥AB$，$\therefore D$为AB的中点. $\because AB=$7.2 m，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3.6$ m. 设$OB=OC=ON=r$ m，则$OD=$$(r-2.4)$m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$，即$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$，解得$r=3.9$. $\because CD=2.4$ m，船舱顶部高出水面AB 2 m，$\therefore CE=2.4-2=0.4$(m)，$\therefore OE=3.9-0.4=3.5$(m).
易知$OC⊥MN$，$\therefore MN=2EN$. 在Rt△OEN中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=$$\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}$(m). $\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}≈3.44$(m).
$\because 3.44＞3$，$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题以拱桥过船的生活实际情境为载体，考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，解题核心是将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形求解相关线段长度再比较判断，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
要判断货船能否顺利通过拱桥，需计算出船舱顶部所在高度对应的拱桥内部宽度，再与货船宽度3m比较即可。解题思路分两步：第一步，利用垂径定理得到AB的一半长度，设圆的半径为r，结合CD的长度用r表示出OD的长度，在Rt△BOD中用勾股定理列方程求出半径r；第二步，根据船舱高出水面2m，求出该高度对应的圆心到弦MN的距离，再用垂径定理和勾股定理求出MN的长度，与3m比较大小得出结论。
【解析】
连接ON，OB。
∵ OC⊥AB，
∴ D为AB的中点。
∵ AB=7.2 m，
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=3.6$ m。
设$OB=OC=ON=r$ m，则$OD=(r-2.4)$m。
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$，即$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$，
展开得$r^2=r^2-4.8r+5.76+12.96$，化简解得$r=3.9$。
∵ CD=2.4 m，船舱顶部高出水面AB 2 m，
∴ $CE=2.4-2=0.4$(m)，$OE=OC-CE=3.9-0.4=3.5$(m)。
由题意可知OC⊥MN，根据垂径定理得$MN=2EN$。
在Rt△OEN中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}$(m)，
∴ $MN=2EN=2×\sqrt{2.96}≈3.44$(m)。
∵ 3.44＞3，
∴ 此货船能顺利通过这座拱桥。
【答案】
12. 如图，连接ON，OB. $\because OC⊥AB$，$\therefore D$为AB的中点. $\because AB=$7.2 m，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3.6$ m. 设$OB=OC=ON=r$ m，则$OD=$$(r-2.4)$m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$，即$r^2=(r-2.4)^2+3.6^2$，解得$r=3.9$. $\because CD=2.4$ m，船舱顶部高出水面AB 2 m，$\therefore CE=2.4-2=0.4$(m)，$\therefore OE=3.9-0.4=3.5$(m).
易知$OC⊥MN$，$\therefore MN=2EN$. 在Rt△OEN中，$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=$$\sqrt{3.9^2-3.5^2}=\sqrt{2.96}$(m). $\therefore MN=2EN=2×\sqrt{2.96}≈3.44$(m).
$\because 3.44＞3$，$\therefore$ 此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题以拱桥过船的生活实际情境为载体，考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，解题核心是将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形求解相关线段长度再比较判断，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.6
13 [2025 西宁]如图，AB，AC是$\odot O$的弦，$AB=AC$，半径$OE$，$OF$分别与弦$AB$，$AC$垂直，垂足分别为$G$，$H$，$AM// OF$交$OE$于点$M$，$AN// OE$交$OF$于点$N$，连接$OA$。
（1）求证：$∠ AOE=∠ AOF$；
（2）求证：四边形$AMON$是菱形；
（3）若$AB=16$，$OA=10$，则$OM$的长为
（1）求证：$∠ AOE=∠ AOF$；
（2）求证：四边形$AMON$是菱形；
（3）若$AB=16$，$OA=10$，则$OM$的长为
$\frac{25}{3}$
。答案
13. (1) $\because AB=AC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$. $\because$ 半径OE，OF分别与弦AB，AC
垂直，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，$\therefore ∠AOE=$
$∠AOF$ (2) $\because AM// OF$，$AN// OE$，$\therefore$ 四边形AMON为平行四边形，
$∠MAO=∠AOF$. $\because ∠AOE=∠AOF$，$\therefore ∠MAO=∠AOE$，
$\therefore AM=OM$，$\therefore ▱AMON$为菱形 (3) $\frac{25}{3}$ 【解析】$\because$ 半径$OE⊥AB$，$AB=16$，$\therefore AG=\frac{1}{2}AB=8$.
$\because OA=10$，$\therefore$ Rt△AOG中，$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$. 设$OM=AM=$
$x$，则$MG=OM-OG=x-6$. 在Rt△AGM中，由勾股定理，得$AG^2+$
$MG^2=AM^2$，即$8^2+(x-6)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{3}$，$\therefore OM=\frac{25}{3}$.
垂直，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，$\therefore ∠AOE=$
$∠AOF$ (2) $\because AM// OF$，$AN// OE$，$\therefore$ 四边形AMON为平行四边形，
$∠MAO=∠AOF$. $\because ∠AOE=∠AOF$，$\therefore ∠MAO=∠AOE$，
$\therefore AM=OM$，$\therefore ▱AMON$为菱形 (3) $\frac{25}{3}$ 【解析】$\because$ 半径$OE⊥AB$，$AB=16$，$\therefore AG=\frac{1}{2}AB=8$.
$\because OA=10$，$\therefore$ Rt△AOG中，$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=6$. 设$OM=AM=$
$x$，则$MG=OM-OG=x-6$. 在Rt△AGM中，由勾股定理，得$AG^2+$
$MG^2=AM^2$，即$8^2+(x-6)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{3}$，$\therefore OM=\frac{25}{3}$.
解析
【分析】
（1）要证∠AOE=∠AOF，可通过证明两角所对的弧相等推导：首先由等弦对等弧得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，再结合垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，进而得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，即可得证。
（2）要证四边形AMON是菱形，先由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合（1）的结论推出一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得证。
（3）求OM的长时，先利用垂径定理求出AG的长度，再在Rt△AOG中用勾股定理算出OG的长，结合菱形的性质可知AM=OM，设OM为x，用含x的式子表示MG，在Rt△AGM中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB=AC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
$\because$ 半径$OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOF$。
（2）证明：$\because AM// OF$，$AN// OE$，
$\therefore$ 四边形$AMON$是平行四边形，且$∠ MAO=∠ AOF$。
由（1）知$∠ AOE=∠ AOF$，
$\therefore ∠ MAO=∠ AOE$，
$\therefore AM=OM$，
$\therefore □ AMON$是菱形。
（3）解：$\because OE⊥ AB$，$AB=16$，
$\therefore AG=\frac{1}{2}AB=8$。
在$Rt△ AOG$中，$OA=10$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$OM=AM=x$，则$MG=OM-OG=x-6$，
在$Rt△ AGM$中，由勾股定理得：
$AG^2+MG^2=AM^2$，即$8^2+(x-6)^2=x^2$，
解得$x=\frac{25}{3}$，
$\therefore OM=\frac{25}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$\frac{25}{3}$
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊四边形的判定与勾股定理的应用，核心是熟练运用垂径定理得到线段、弧的等量关系，再结合几何图形的性质推导结论，第三问利用方程思想求解线段长是几何计算的常用方法。
【难度系数】
0.6
（1）要证∠AOE=∠AOF，可通过证明两角所对的弧相等推导：首先由等弦对等弧得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，再结合垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，进而得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，同圆中等弧所对的圆心角相等，即可得证。
（2）要证四边形AMON是菱形，先由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合（1）的结论推出一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得证。
（3）求OM的长时，先利用垂径定理求出AG的长度，再在Rt△AOG中用勾股定理算出OG的长，结合菱形的性质可知AM=OM，设OM为x，用含x的式子表示MG，在Rt△AGM中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because AB=AC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
$\because$ 半径$OE⊥ AB$，$OF⊥ AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOF$。
（2）证明：$\because AM// OF$，$AN// OE$，
$\therefore$ 四边形$AMON$是平行四边形，且$∠ MAO=∠ AOF$。
由（1）知$∠ AOE=∠ AOF$，
$\therefore ∠ MAO=∠ AOE$，
$\therefore AM=OM$，
$\therefore □ AMON$是菱形。
（3）解：$\because OE⊥ AB$，$AB=16$，
$\therefore AG=\frac{1}{2}AB=8$。
在$Rt△ AOG$中，$OA=10$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$OM=AM=x$，则$MG=OM-OG=x-6$，
在$Rt△ AGM$中，由勾股定理得：
$AG^2+MG^2=AM^2$，即$8^2+(x-6)^2=x^2$，
解得$x=\frac{25}{3}$，
$\therefore OM=\frac{25}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$\frac{25}{3}$
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊四边形的判定与勾股定理的应用，核心是熟练运用垂径定理得到线段、弧的等量关系，再结合几何图形的性质推导结论，第三问利用方程思想求解线段长是几何计算的常用方法。
【难度系数】
0.6
