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1 [2025齐齐哈尔]假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查两次等可能试验的概率计算，解题时先明确每一枚鸟卵孵化的等可能结果，再通过列举法列出所有总等可能结果，最后找出“2只雏鸟都是雄鸟”的符合条件的结果数，利用“概率=所求情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可。
【解析】
每枚鸟卵孵化的等可能结果有2种：雌鸟、雄鸟，两枚鸟卵孵化的所有等可能结果为：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种；其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，侧重考查对两次等可能试验结果的列举能力，解题时注意不要遗漏“雌、雄”和“雄、雌”两种不同的结果，避免误算总情况数导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查两次等可能试验的概率计算，解题时先明确每一枚鸟卵孵化的等可能结果，再通过列举法列出所有总等可能结果，最后找出“2只雏鸟都是雄鸟”的符合条件的结果数，利用“概率=所求情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可。
【解析】
每枚鸟卵孵化的等可能结果有2种：雌鸟、雄鸟，两枚鸟卵孵化的所有等可能结果为：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种；其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，侧重考查对两次等可能试验结果的列举能力，解题时注意不要遗漏“雌、雄”和“雄、雌”两种不同的结果，避免误算总情况数导致出错。
【难度系数】
0.8
2 [2025 福建]在三张分别写有－1,1,2 的相同卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是
（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
（
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道两步不放回试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步，明确事件的所有等可能结果，本题是从3张卡片中不放回抽2张，可通过列举法（列表或树状图）列出所有情况；第二步，确定符合“两张卡片上的数互为相反数”的结果数，互为相反数的两个数和为0，本题中只有-1和1互为相反数；第三步，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算概率即可。
【解析】
我们用列举法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果：
第一次抽取有3种可能，第二次不放回抽取有2种可能，所有结果为：$(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)$，共6种等可能的结果。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果为$(-1,1)、(1,-1)$，共2种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、相反数的概念、不放回试验概率计算
【点评】
本题属于基础概率题，解题核心是准确梳理不放回抽取的所有等可能结果，易错点是误将不放回试验当成放回试验计数，或漏数符合条件的结果，掌握基础的概率列举方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道两步不放回试验的概率求解问题，解题思路如下：第一步，明确事件的所有等可能结果，本题是从3张卡片中不放回抽2张，可通过列举法（列表或树状图）列出所有情况；第二步，确定符合“两张卡片上的数互为相反数”的结果数，互为相反数的两个数和为0，本题中只有-1和1互为相反数；第三步，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算概率即可。
【解析】
我们用列举法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果：
第一次抽取有3种可能，第二次不放回抽取有2种可能，所有结果为：$(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)$，共6种等可能的结果。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果为$(-1,1)、(1,-1)$，共2种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、相反数的概念、不放回试验概率计算
【点评】
本题属于基础概率题，解题核心是准确梳理不放回抽取的所有等可能结果，易错点是误将不放回试验当成放回试验计数，或漏数符合条件的结果，掌握基础的概率列举方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3 新情境游戏活动 甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题思路：首先判断该事件属于等可能事件，符合古典概型的适用条件。我们可以先通过列举法找出甲乙随机出手一次的所有等可能结果总数，再找出其中甲获胜的结果数，最后利用概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能结果数”计算即可。具体步骤：第一步确定甲乙每人的出手选择共3种，计算总等可能结果数；第二步梳理甲获胜的所有对应情况；第三步代入公式计算并约分得到结果。
【解析】
解：甲、乙两人随机出手，每人都有石头、剪刀、布3种等可能的选择，因此所有等可能的结果总数为$3×3=9$种。
其中甲获胜的情况有3种：①甲出石头，乙出剪刀；②甲出剪刀，乙出布；③甲出布，乙出石头。
根据概率公式可得，甲获胜的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题结合生活中常见的游戏场景考查概率的基础计算，解题的关键是准确梳理所有等可能结果以及甲获胜的对应结果，属于基础应用题，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先判断该事件属于等可能事件，符合古典概型的适用条件。我们可以先通过列举法找出甲乙随机出手一次的所有等可能结果总数，再找出其中甲获胜的结果数，最后利用概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能结果数”计算即可。具体步骤：第一步确定甲乙每人的出手选择共3种，计算总等可能结果数；第二步梳理甲获胜的所有对应情况；第三步代入公式计算并约分得到结果。
【解析】
解：甲、乙两人随机出手，每人都有石头、剪刀、布3种等可能的选择，因此所有等可能的结果总数为$3×3=9$种。
其中甲获胜的情况有3种：①甲出石头，乙出剪刀；②甲出剪刀，乙出布；③甲出布，乙出石头。
根据概率公式可得，甲获胜的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题结合生活中常见的游戏场景考查概率的基础计算，解题的关键是准确梳理所有等可能结果以及甲获胜的对应结果，属于基础应用题，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
4 [2024武汉]经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同。
若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆汽车向右转的概率是
若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆汽车向右转的概率是
$\frac{5}{9}$
。答案
4. $\frac{5}{9}$
解析
【分析】
本题考查两次独立等可能试验的概率计算。首先明确每辆汽车经过路口有直行、左转、右转3种等可能的选择，两辆汽车的选择互不影响。要求“至少一辆汽车向右转”的概率，我们可以先通过列表或树状图列举出所有9种等可能的总结果，再找出符合“至少一辆右转”的结果数代入概率公式计算；也可以先求其对立事件“两辆都不右转”的概率，再用1减去对立事件概率简化计算，避免漏数符合条件的结果。
【解析】
方法一：列表法
将直行记为Z，左转记为L，右转记为R，列出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果如下：
| 第一辆\第二辆 | Z | L | R |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| Z | (Z,Z) | (Z,L) | (Z,R) |
| L | (L,Z) | (L,L) | (L,R) |
| R | (R,Z) | (R,L) | (R,R) |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中至少一辆汽车向右转的结果有(Z,R)、(L,R)、(R,Z)、(R,L)、(R,R)，共5种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得$P(\mathrm{至少一辆右转})=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
“至少一辆汽车向右转”的对立事件为“两辆汽车都不向右转”。
每辆汽车不向右转的情况有2种（直行、左转），因此两辆都不右转的等可能结果有$2×2=4$种，总共有$3×3=9$种等可能结果。
因此$P(\mathrm{两辆都不右转})=\frac{4}{9}$，则$P(\mathrm{至少一辆右转})=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率计算的常见基础题型，解题时遇到“至少”“至多”类表述时，优先考虑用对立事件计算可简化运算过程，注意列举所有结果时要做到不重复不遗漏。
【难度系数】
0.7
本题考查两次独立等可能试验的概率计算。首先明确每辆汽车经过路口有直行、左转、右转3种等可能的选择，两辆汽车的选择互不影响。要求“至少一辆汽车向右转”的概率，我们可以先通过列表或树状图列举出所有9种等可能的总结果，再找出符合“至少一辆右转”的结果数代入概率公式计算；也可以先求其对立事件“两辆都不右转”的概率，再用1减去对立事件概率简化计算，避免漏数符合条件的结果。
【解析】
方法一：列表法
将直行记为Z，左转记为L，右转记为R，列出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果如下：
| 第一辆\第二辆 | Z | L | R |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| Z | (Z,Z) | (Z,L) | (Z,R) |
| L | (L,Z) | (L,L) | (L,R) |
| R | (R,Z) | (R,L) | (R,R) |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中至少一辆汽车向右转的结果有(Z,R)、(L,R)、(R,Z)、(R,L)、(R,R)，共5种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得$P(\mathrm{至少一辆右转})=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
“至少一辆汽车向右转”的对立事件为“两辆汽车都不向右转”。
每辆汽车不向右转的情况有2种（直行、左转），因此两辆都不右转的等可能结果有$2×2=4$种，总共有$3×3=9$种等可能结果。
因此$P(\mathrm{两辆都不右转})=\frac{4}{9}$，则$P(\mathrm{至少一辆右转})=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率计算的常见基础题型，解题时遇到“至少”“至多”类表述时，优先考虑用对立事件计算可简化运算过程，注意列举所有结果时要做到不重复不遗漏。
【难度系数】
0.7
5 [2025 苏州工业园区段考]在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数，分别为1,2,−1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数.
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是
（2）用画树状图法求两次抽出的卡片上的数都为正数的概率.
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是
$\frac{1}{3}$
；（2）用画树状图法求两次抽出的卡片上的数都为正数的概率.
答案
5. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图所示. 由图可知,共有9种等可能的结果,其中两次抽出的卡片上的数都为正数的结果有4种,所以两次抽出的卡片上的数都为正数的概率为$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
（1）解答第一问时，先明确本次抽取是等可能事件，总共有3种等可能的抽取结果，其中抽到负数的结果只有1种，直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
（2）解答第二问时，首先明确是有放回的两次抽取，两次抽取结果互不影响，用树状图可以不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中找出“两次都是正数”的结果数，代入概率公式计算即可得到所求概率。
【解析】
（1）三张卡片上的数分别为1、2、-1，其中负数只有-1共1个，任意抽取1张共有3种等可能的结果，因此第一次抽到写有负数的卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画出树状图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，分别为：$(-1,-1)、(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)、(2,2)$，其中两次抽出的卡片上的数都为正数的结果有$(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)$，共4种，因此两次抽出的卡片上的数都为正数的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图，两次抽出的卡片上的数都为正数的概率为$\frac{4}{9}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型试验概率计算
【点评】
本题是概率基础题，第一问考查单步试验的概率计算，直接套用公式即可求解；第二问考查两步放回试验的概率计算，需要掌握用树状图枚举所有等可能结果的方法，解题时注意区分放回和不放回试验的差异。
【难度系数】
0.85
（1）解答第一问时，先明确本次抽取是等可能事件，总共有3种等可能的抽取结果，其中抽到负数的结果只有1种，直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
（2）解答第二问时，首先明确是有放回的两次抽取，两次抽取结果互不影响，用树状图可以不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中找出“两次都是正数”的结果数，代入概率公式计算即可得到所求概率。
【解析】
（1）三张卡片上的数分别为1、2、-1，其中负数只有-1共1个，任意抽取1张共有3种等可能的结果，因此第一次抽到写有负数的卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画出树状图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，分别为：$(-1,-1)、(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)、(2,2)$，其中两次抽出的卡片上的数都为正数的结果有$(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)$，共4种，因此两次抽出的卡片上的数都为正数的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图
，两次抽出的卡片上的数都为正数的概率为$\frac{4}{9}$【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型试验概率计算
【点评】
本题是概率基础题，第一问考查单步试验的概率计算，直接套用公式即可求解；第二问考查两步放回试验的概率计算，需要掌握用树状图枚举所有等可能结果的方法，解题时注意区分放回和不放回试验的差异。
【难度系数】
0.85
6 [2024高新区段考]一年一度的校园体育节来临，体育节每个人都要从两个项目中选择一个。已知小明与小华在篮球和足球之间选择，则他们选择相同项目的概率是（
A.1
B.0.33
C.0.5
D.0.75
C
）A.1
B.0.33
C.0.5
D.0.75
答案
6. C
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率求解问题，解题思路为：首先通过列表或树状图列举出两人选择项目的所有等可能结果，再从中筛选出两人选择相同项目的结果数，最后根据等可能事件的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们可以通过树状图列举所有等可能的选择结果：
第一步：小明的选择有2种：篮球、足球；
第二步：对应小明的每一种选择，小华的选择都有2种：篮球、足球。
因此总共有$2×2=4$种等可能的结果，分别为：（篮球，篮球）、（篮球，足球）、（足球，篮球）、（足球，足球）。
其中两人选择相同项目的结果有2种：（篮球，篮球）、（足球，足球）。
根据概率公式可得，选择相同项目的概率为$P=\frac{2}{4}=0.5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步试验下的概率求解方法，只要能正确不重不漏地列举出所有等可能结果，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这是一道两步试验的概率求解问题，解题思路为：首先通过列表或树状图列举出两人选择项目的所有等可能结果，再从中筛选出两人选择相同项目的结果数，最后根据等可能事件的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们可以通过树状图列举所有等可能的选择结果：
第一步：小明的选择有2种：篮球、足球；
第二步：对应小明的每一种选择，小华的选择都有2种：篮球、足球。
因此总共有$2×2=4$种等可能的结果，分别为：（篮球，篮球）、（篮球，足球）、（足球，篮球）、（足球，足球）。
其中两人选择相同项目的结果有2种：（篮球，篮球）、（足球，足球）。
根据概率公式可得，选择相同项目的概率为$P=\frac{2}{4}=0.5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步试验下的概率求解方法，只要能正确不重不漏地列举出所有等可能结果，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7 新情境 传统文化 [2025 河南]甲骨文是我国已发现的最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.现有正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
B
）A.$\dfrac{1}{12}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
7. B
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确试验为从4张仅正面不同的卡片中不放回随机抽取2张，所有结果出现的可能性相等；接下来用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再统计出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、列表法求概率
【点评】
本题结合甲骨文传统文化创设情境，考查基础概率计算，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，注意本题为不放回抽取，不要混淆为放回抽取算错总结果数。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确试验为从4张仅正面不同的卡片中不放回随机抽取2张，所有结果出现的可能性相等；接下来用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，再统计出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、列表法求概率
【点评】
本题结合甲骨文传统文化创设情境，考查基础概率计算，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，注意本题为不放回抽取，不要混淆为放回抽取算错总结果数。
【难度系数】
0.8
